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第二章 随机变量及其分布

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  1. 第二章 随机变量及其分布 关键词: 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数

  2. 常见的两类试验结果: §1 随机变量 示数的——降雨量; 候车人数; 发生交通事故的次数… 示性的——明天天气(晴,云…); 化验结果(阳性,阴性)…

  3. s x e 中心问题:将试验结果数量化 X=f(e)--为S上的单值函数,X为实数

  4. 常见的两类随机变量 离散型的 连续型的

  5. … … … §2 离散型随机变量及其分布 定义:取值至多可数的随机变量为离散型的随机变量。概率分布(分布律)为

  6. 概率分布

  7. 例:若随机变量X的概率分布律为 求常数c.

  8. 解:

  9. 例:某人骑自行车从学校到火车站,一路上要经过3个独立的交通灯,设各灯工作独立,且设各灯为红灯的概率为p,0<p<1,以X表示首次停车时所通过的交通灯数,求X的概率分布律。例:某人骑自行车从学校到火车站,一路上要经过3个独立的交通灯,设各灯工作独立,且设各灯为红灯的概率为p,0<p<1,以X表示首次停车时所通过的交通灯数,求X的概率分布律。

  10. 解:设Ai={第i个灯为红灯},则P(Ai)=p,i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。

  11. 3 2 1 X 0 p p(1-p) p (1-p)2p (1-p)3

  12. X 0 1 q p p 一、0-1分布 若X的分布律为: 几个重要的离散型随机变量 随机变量只可能取0、1 两个值 (p+q=1,p>0,q>0) 则称X服从参数为p的0-1分布,或两点分布.

  13. 记为它的分布律还可以写为

  14. 对于一个随机试验,如果它的样本空间只包含两个元素,即 ,我们总能在S上定义一个服从(0-1)分布的随机变量。 来描述这个随机试验的结果。

  15. 检查产品的质量是否合格,对新生婴儿的性别进行登记,检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用(0-1)分布的随机变量来描述

  16. 一个随机试验,设A是一随机事件,且P(A)=p,(0<p<1).若仅考虑事件A发生与否, 定义一个服从参数为p的0-1分布的随机变量: 来描述这个随机试验的结果。只有两个可能结果的试验,称为Bernoulli试验。

  17. 二、二项分布 • n重贝努利试验:设试验E只有两个可能的结果: ,p(A)=p,0<p<1,将E独立地重复进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验。 即每次试验结果 互不影响 在相同条件下 重复进行

  18. 独立重复地抛n次硬币,每次只有两个可能的结果:正面,反面,独立重复地抛n次硬币,每次只有两个可能的结果:正面,反面, • 将一颗骰子抛n次,设A={得到1点},则每次试验只有两个结果:

  19. 从52张牌中有放回地取n次,设A={取到红牌},则每次只有两个结果:从52张牌中有放回地取n次,设A={取到红牌},则每次只有两个结果: 如果是不放回抽样呢?

  20. 设A在n重贝努利试验中发生X次,则 并称X服从参数为p的二项分布,记

  21. 推导:设Ai={ 第i次A发生 },先设n=3

  22. 例:由6位品酒师独立投票评定某种酒是否为优质酒。若6位中有4位投票同意,则定该酒为优质酒,设每位品酒师作出正确判断的概率为p,0<p<1。求:例:由6位品酒师独立投票评定某种酒是否为优质酒。若6位中有4位投票同意,则定该酒为优质酒,设每位品酒师作出正确判断的概率为p,0<p<1。求: (1)若该酒为优质酒时,能作出正确判断的概率α; (2)若该酒不为优质酒时,能作出正确判断的概率β.

  23. 例:有一大批产品,其验收方案如下:先作第一次检验,从中任取10件,经检验无次品接受这批产品,次品数大于2拒收;否则作第二次检验,从中任取5件,仅当5件中无次品便接受这批产品,设产品的次品率为p.求这批产品能被接受的概率.例:有一大批产品,其验收方案如下:先作第一次检验,从中任取10件,经检验无次品接受这批产品,次品数大于2拒收;否则作第二次检验,从中任取5件,仅当5件中无次品便接受这批产品,设产品的次品率为p.求这批产品能被接受的概率.

  24. 解:设A={接受该批产品}。 设X为第一次抽得的次品数,Y为第2次抽得的次品数. 则X~B(10,p),Y~B(5,p),且{X=i}与{Y=j}独立。

  25. 例:设随机变量

  26. 若随机变量X的概率分布律为 泊松分布(Poisson分布) 称X服从参数为λ的泊松分布,记

  27. 例:设某汽车停靠站单位时间内候车人数 求(1)随机观察1个单位时间,至少有3人候车的概率; (2)随机独立观察5个单位时间,恰有4个单位时间至少有3人候车的概率。

  28. 例:某地区一个月内每200个成年人中有1个会患上某种疾病,设各人是否患病相互独立。若该地区一社区有1000个成年人,求某月内该社区至少有3人患病的概率。例:某地区一个月内每200个成年人中有1个会患上某种疾病,设各人是否患病相互独立。若该地区一社区有1000个成年人,求某月内该社区至少有3人患病的概率。

  29. 超几何分布 若随机变量X的概率分布律为 称X服从超几何分布

  30. 例:一袋中有a个白球,b个红球,a+b=N,从中不放回地取n个球,设每次取到各球的概率相等,以X表示取到的白球数,则X服从超几何分布。例:一袋中有a个白球,b个红球,a+b=N,从中不放回地取n个球,设每次取到各球的概率相等,以X表示取到的白球数,则X服从超几何分布。

  31. 几何分布 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数p的几何分布

  32. 例:从生产线上随机抽产品进行检测,设产品的次品率为p,0<p<1,若查到一只次品就得停机检修,设停机时已检测到X只产品,则X服从参数p的几何分布。例:从生产线上随机抽产品进行检测,设产品的次品率为p,0<p<1,若查到一只次品就得停机检修,设停机时已检测到X只产品,则X服从参数p的几何分布。

  33. 巴斯卡分布 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布.

  34. 例:独立重复地进行试验,每次试验的结果为成功或失败,每次试验中成功的概率均为p,0<p<1,试验进行到出现r次成功为止,以X表示试验次数,则X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布。例:独立重复地进行试验,每次试验的结果为成功或失败,每次试验中成功的概率均为p,0<p<1,试验进行到出现r次成功为止,以X表示试验次数,则X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布。

  35. §3 随机变量的分布函数 任何随机变量都有相应的分布函数

  36. X 1 0 p p q 例: p>0,q>0,q+p=1.

  37. 1 q 0 1 解:

  38. 例:设一物体在A,B两点间移动,A,B之间距离3个单位。该物体停留在A,B两点的概率各为1/4,落在A,B间任一子区间的概率与区间长度成正比。设它离A点的距离为X ,求X的分布函数。

  39. §4 连续型随机变量及其概率密度 定义:对于随机变量X的分布函数 若存在非负的函数 使对于任意实数 有: 则称X为连续型随机变量,