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第二章 随机变量及其分布

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第二章 随机变量及其分布. 关键词: 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数. 常见的两类试验结果:. §1 随机变量. 示数的 —— 降雨量; 候车人数; 发生交通事故的次数 …. 示性的 —— 明天天气(晴,云 … ); 化验结果(阳性,阴性) …. s. x. e. 中心问题:将试验结果数量化. X=f(e) --为 S 上的单值函数, X 为实数.

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Presentation Transcript
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第二章 随机变量及其分布

关键词:

随机变量

概率分布函数

离散型随机变量

连续型随机变量

随机变量的函数

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常见的两类试验结果:§1 随机变量

示数的——降雨量;

候车人数;

发生交通事故的次数…

示性的——明天天气(晴,云…);

化验结果(阳性,阴性)…

slide3
s

x

e

中心问题:将试验结果数量化

X=f(e)--为S上的单值函数,X为实数

slide5
常见的两类随机变量

离散型的

连续型的

slide6

§2 离散型随机变量及其分布

定义:取值至多可数的随机变量为离散型的随机变量。概率分布(分布律)为

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3

2

1

X

0

p

p(1-p)

p

(1-p)2p

(1-p)3

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X

0

1

q

p

p

一、0-1分布

若X的分布律为:

几个重要的离散型随机变量

随机变量只可能取0、1 两个值

(p+q=1,p>0,q>0)

则称X服从参数为p的0-1分布,或两点分布.

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对于一个随机试验,如果它的样本空间只包含两个元素,即 ,我们总能在S上定义一个服从(0-1)分布的随机变量。

来描述这个随机试验的结果。

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二、二项分布
  • n重贝努利试验:设试验E只有两个可能的结果: ,p(A)=p,0

即每次试验结果

互不影响

在相同条件下

重复进行

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独立重复地抛n次硬币,每次只有两个可能的结果:正面,反面,
  • 将一颗骰子抛n次,设A={得到1点},则每次试验只有两个结果:
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设A在n重贝努利试验中发生X次,则

并称X服从参数为p的二项分布,记

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例:由6位品酒师独立投票评定某种酒是否为优质酒。若6位中有4位投票同意,则定该酒为优质酒,设每位品酒师作出正确判断的概率为p,0

(1)若该酒为优质酒时,能作出正确判断的概率α;

(2)若该酒不为优质酒时,能作出正确判断的概率β.

slide25
例:有一大批产品,其验收方案如下:先作第一次检验,从中任取10件,经检验无次品接受这批产品,次品数大于2拒收;否则作第二次检验,从中任取5件,仅当5件中无次品便接受这批产品,设产品的次品率为p.求这批产品能被接受的概率.
slide29
若随机变量X的概率分布律为

泊松分布(Poisson分布)

称X服从参数为λ的泊松分布,记

slide30
例:设某汽车停靠站单位时间内候车人数

求(1)随机观察1个单位时间,至少有3人候车的概率;

(2)随机独立观察5个单位时间,恰有4个单位时间至少有3人候车的概率。

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超几何分布

若随机变量X的概率分布律为

称X服从超几何分布

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几何分布

若随机变量X的概率分布律为

称X服从参数p的几何分布

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巴斯卡分布

若随机变量X的概率分布律为

称X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布.

slide43
§3 随机变量的分布函数

任何随机变量都有相应的分布函数

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X

1

0

p

p

q

例: p>0,q>0,q+p=1.

slide46
1

q

0

1

解:

slide50
§4 连续型随机变量及其概率密度

定义:对于随机变量X的分布函数 若存在非负的函数 使对于任意实数 有:

则称X为连续型随机变量,

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例:设X的概率密度为

(1)求常数c的值;

(2)写出X的概率分布函数;

(3)要使 求k的值。

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例:一银行服务需要等待,设等待时间X(分钟)的概率密度为

某人进了银行,且打算过会儿去办另一件事,于是先等待,如果超过15分钟还没有等到服务就离开,设他实际的等待时间为Y,(1)求Y的分布函数;(2)问Y是离散型随机变量吗?连续型随机变量吗?

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均匀分布定义:X具有概率密度几个重要的连续量

称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b)

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例:(1)在区间(-1,2)上随机取一数X,试写出X的概率密度。并求 的值;

(2)若在该区间上随机取10个数,求10个数中恰有两个数大于0的概率。

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解:(1) X为在区间(-1,2)上均匀分布

(2)设10个数中有Y个数大于0,则:

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例:杭州某长途汽车站每天从早上6点(第一班车)开始,每隔30分钟有一班车开往上海。王先生在早上6:20过X分钟到达车站,设X服从(0,50)上的均匀分布,

(1)求王先生候车时间不超过15分钟的概率;

(2)如果王先生一月中有两次按此方式独立地去候车,求他一次候车不超过15分钟,另一次候车大于10分钟的概率。

slide63
6:30 6:50

解: (1)P(候车时间不超过15钟)=25/50=0.5

(2) P(候车时间大于10分钟)=30/50=3/5

P(一次候车时间不超过15分钟,另一次时间大于10分钟)=2×1/2×3/5=3/5

6:20 6:30 6:45 7:00 7:10

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称μ为位置参数(决定对称轴位置)

σ为尺度参数(决定曲线分散性)

slide76
X的取值呈中间多,两头少,对称的特性。
  • 当固定μ时,σ越大,曲线的峰越低,落在μ附近的概率越小,取值就越分散,即σ是反映X的取值分散性的一个指标。
  • 在自然现象和社会现象中,大量随机变量服从或近似服从正态分布。
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例:用天平称一实际重量为 的物体,天平的读数为随机变量 ,设 时,

(1)求读数与 的误差小于0.005的概率;

(2)求读数至少比 多0.0085的概率。

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例:一批钢材(线材)长度

(1)若μ=100,σ=2,求这批钢材长度小于97.8cm的概率;

(2)若μ=100,要使这批钢材的长度至少 有90%落在区间(97,103)内,问σ至多取何值?

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例:设一天中经过一高速公路某一入口的重型车辆数X近似服从 ,已知有25%的天数超过400辆,有33%的天数不到350辆,求
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例如,若要测量一个圆的面积,总是测量其半径,半径的测量值可看作随机变量X,若

则Y服从什么分布?

§5 随机变量的函数分布

问题:已知随机变量X的概率分布,

且已知Y=g(X),求Y的概率分布。

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1

0

-1

X

pi

0.2

0.5

0.3

例:已知X具有概率分布

且设Y=X2,求Y的概率分布。

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解:Y的所有可能取值为0,1

即找出(Y=0)的等价事件(X=0);

(Y=1)的等价事件(X=1)与(X=-1)的和事件

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0

1

-1

X

例:设

Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。

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2

Y

-2

0

1

0

Z

p

p

解:Y的可能取值为-2,0,2

Z的可能取值为0,1

(Y=-2)的等价事件为(X=-1)…

(Z=1)的等价事件为(X=1)∪(X=-1)

故得:

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y

y=g(x)

y

h(y),y

0

x

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