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大学文科数学 之 线性代数与 概率统计

大学文科数学 之 线性代数与 概率统计. 北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院 2004-2005 学年第二学期 欧阳顺湘 2005.5.11. 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量 X 的概率分布，那么 X 的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的 . 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的. 在这些数字特征中，最常用的是. 期望和方差.

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大学文科数学 之 线性代数与 概率统计

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  1. 大学文科数学之线性代数与概率统计 北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院 2004-2005学年第二学期 欧阳顺湘 2005.5.11

  2. 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.

  3. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 在这些数字特征中，最常用的是 期望和方差

  4. When a large collection of numbers is assembled, as in a census, we are usually interested not in the individual numbers, but rather in certain descriptive quantities such as the average or the median. • In general, the same is true for the probability distribution of a numerically-valued random variable. In this and in the next section, we shall discuss two such descriptive quantities: the expected value and the variance.

  5. 随机变量的期望(均值) Expected Value or Expectation or Mean or Average Number

  6. 要点 • 期望的定义 • 离散型随机变量的期望 • 连续型随机变量的期望 • 期望的意义 • 期望的应用

  7. Expected Value of Discrete Random Variables

  8. 离散型随机变量的分布列完全描述了这个随机变量的取值规律, 但在许多实际问题中, 我们并不需要这样的“全面描述”, 而是希望能有一个数来描述这个随机变量的“平均取值”. • 例如, 同一品种的小麦, 每亩地的产量不会完全相同, 人们关心的是平均产量. • 同是7 岁的男孩，体重并不一致，为了考察儿童的发育状况, 人们更关心他们的平均体重.

  9. 随机变量的取值在事前无法预知, 取各个值的概率一般也不尽相同. • 那么, 怎样的一个数能够“代表” 这个随机变量取值的平均水平呢? • 我们先来看看下面常见的求平均值的问题

  10. 问题设有 12 个西瓜, 其中有 • 4 个重 5 公斤, • 3 个重 6 公斤, • 5 个重 7 公斤, • 求西瓜的平均重量. • 西瓜的平均重量应为12 个瓜的总重量除以瓜的总个数, 即

  11. 注意到上式的计算也可写成如下形式: 其中4/12 ,3/ 12 5/12分别为重量是5、6、7 公斤的西瓜数在总西瓜数中所占的比重.

  12. 加权平均 西瓜的平均重量可以写成各重量与相应重量的瓜数在所有瓜数中的比重的乘积和

  13. 现在从这12 个西瓜中随机取一个. 则取得的西瓜的重量 X (单位: 公斤) 是一个随机变量, 可能取值为5, 6, 7. X 的分布列为

  14. 如果 有限,定义X的数学期望 定义1设X是离散型随机变量，它的概率函数是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,… 也就是说,离散型随机变量的 数学期望是一个绝对收敛的级数的和.

  15. Example 2 Let an experiment consist of tossing a fair coin three times. HHH　３ HHT　２ HTH　２ THH　２ TTH　１ THT　１ HTT　１ TTT　０ 1/8 3/8 3/8 1/8 TTT　　　　　　　　０ TTH,THT,HTT　　　１ HHT,HTH,THH　　２ HHH　　　　　３

  16. Example 1Let an experiment consist of tossing a fair coin three times. • HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT • Let X denote the number of heads which appear. • Then the possible values of X are 0, 1, 2 and 3. • The corresponding probabilities are 1/8, 3/8, 3/8, and 1/8. • Thus, the expected value of X equals

  17. 二项分布的期望 • 设　Ｘ～Ｂ(n, p) • E(X)=np • Proof: • 例如，对上面的例子， • Ｘ～B(3,1/2) • E(X)=3/2

  18. Exercise２ In Las Vegas, a roulette wheel has 38 slots numbered 0, 00, 1, 2, . . . , 36. The 0 and 00 slots are green, and half of the remaining 36 slots are red and half are black. • A croupier spins the wheel and throws an ivory ball. • If you bet 1 dollar on red, you win 1 dollar if the ball stops in a red slot, and otherwise you lose a dollar. • We wish to calculate the expected value of your winnings, if you bet 1 dollar on red.

  19. Let X be the random variable which denotes your winnings in a 1 dollar bet on red in Las Vegas roulette. Then the distribution of X is given by

  20. 期望的解释

  21. 投掷一枚均匀的骰子, 只可能出现1 点, 2 点, …, 6 点, 怎样解释这个均值7/2 呢? 观察一个随机变量X, 你能期望它取得均值EX 吗? 投掷一枚骰子 100 次后所得点数和近似于100×7/2 = 350

  22. E(X) 例3某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望. 解: 设试开次数为X, P(X=k)= 1/n , k=1,2,…,n 于是

  23. 阴影面积 近似为 二、连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区间[xi, xi+1)的概率是 小区间[xi, xi+1)

  24. 取值xi的离散型r.v 因此X与以概率 近似, 阴影面积 近似为 由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值可以用xi来近似代替. 该离散型r.v的数学期望是 这正是 小区间[Xi, Xi+1) 的渐近和式.

  25. 由此启发我们引进如下定义. 定义2设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x),如果 有限,定义X的数学期望为 也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.

  26. 由随机变量数学期望的定义，不难计算得： 若X~U(a,b),即X服从( a,b)上的均匀分布,则

  27. 若X服从 特别, 如果 X 服从 N(0,1) 则,E(X)=0

  28. 已知某地区成年男子身高X~ 这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是1.68.

  29. 练习 The time between arrivals is an exponentially distributed random variable X with density function Find the expected value of the time between arrivals.

  30. 三、数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); 4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); （诸Xi独立时）

  31. 例 6某射击队共有9名队员,技术不相上下,每人射击中靶的概率均为0.8. • 进行射击时，各自打中靶为止为止，但限制每人最多只打3次，问大约要为他们准备多少发子弹? • 设 i为第i名队员所需子弹数， • 为9名队员所需子弹数目 • = 1+ 2+ 3+… 9 • E=E(1+ 2+ 3+… +9) =E1+ E2+ E3+…+E9 =9 E1

  32. S: success 射中 • F: Failure 不射中 • P(=1) =P(S)=0.8 • P(=2)= P(FS)=0.20.8 • P(=3) =P(FFS+FFF) =P(FFS)+P(FFF) = 0.20.20.8+ 0.20.20.2=0.2  0.2

  33. 例 • A coin is tossed twice. Xi = 1 if the ith toss is heads and 0 otherwise. • We know that X1 and X2 are independent. They each have expected value 1/2. • Thus • E(X1 · X2) = E(X1)E(X2) = (1/2)(1/2) = 1/4.

  34. 随机变量的独立性

  35. 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 两随机变量独立的定义是： 两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .

  36. 例 • We flip a coin and let X have the value 1 if the coin comes up heads and 0 if the coin comes up tails. • Then, we roll a die and let Y denote the face that comes up. • It reasonable to assume that X and Y are independent.

  37. What does X + Y mean, and what is its distribution? • This question is easily answered in this case, by considering the joint random variable Z = (X, Y ), whose outcomes are ordered pairs of the form (x, y)

  38. 用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .

  39. 对任意的 x, y, 有 几乎处处成立，则称X,Y相互独立 . 其中 是X,Y的联合密度， 这里“几乎处处 成立”的含义是： 在平面上除去面 积为0的集合外， 处处成立. 分别是X的 边缘密度和Y的边缘密度 . 若 (X,Y)是连续型r.v，则上述独立性的定义等价于：

  40. 对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有 则称X和Y相互独立. 若 (X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的定义等价于：

  41. 四、数学期望性质的应用 例1求二项分布的数学期望 若 X~B(n,p)， 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. 现在我们来求X的数学期望 .

  42. E(Xi)= = p 所以 E(X)= X~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. i=1,2，…，n 若设 则 X= X1+X2+…+Xn 因为 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1-p = np 可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.

  43. 例 保险问题 • 例 设某保险公司有10000 人参加人身意外保险. 该公司规定: 每人每年付公司120 元, 如果遇到意外死亡, 公司将赔偿10000 元. • 如果每人每年意外死亡率为0.006, 试讨论该公司是否会亏本 • (不考虑公司的其他赔偿费用、开支和收入).

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