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第 3 章 电路分析中的常用定理

第 3 章 电路分析中的常用定理. 3.1 叠加定理和齐次性定理  3.2 置换定理 3.3 戴维南定理与诺顿定理 3.4 最大功率传输定理. 3.1 叠加定理和齐次性定理. 3.1.1 叠加定理 对于线性电路，当电路中有多个激励时，总响应同样是各个激励分别产生的响应的线性叠加。 1 、叠加定理的含义和应用 以图 3-1-1 （ a ）所示电路为例，介绍叠加定理（ superposition theorem ）的含义和应用。 . 图 3-1-1. +. u. /. R. i. R. R. R.

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第 3 章 电路分析中的常用定理

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  1. 第3章 电路分析中的常用定理 3.1 叠加定理和齐次性定理 3.2 置换定理 3.3 戴维南定理与诺顿定理 3.4 最大功率传输定理

  2. 3.1 叠加定理和齐次性定理 • 3.1.1 叠加定理 • 对于线性电路，当电路中有多个激励时，总响应同样是各个激励分别产生的响应的线性叠加。 • 1、叠加定理的含义和应用 • 以图3-1-1（a）所示电路为例，介绍叠加定理（superposition theorem）的含义和应用。

  3. 图 3-1-1

  4. + u / R i R R R = = + S 1 S 3 1 3 v u i A s s + + + 1 / R 1 / R R R R R 1 3 1 3 1 3 v 1 R = = + A 1 i u i 3 s s + + R R R R R 3 1 3 1 3 • 在图3-1-1（a）所示电路中，有两个激励源（us和is）同时作用于电路，我们用节点电位法（也可以用支路电流法或回路电流法）来计算R3支路的响应（电流i3）。以B点为参考点，A点的节点电位方程为 • 解方程得 •  R3支路电流i3为

  5. 式（3-1-1）的正确性是毫无疑问的。分析式（3-1-1）可以发现：第一项仅与us和电阻R1、 R3有关。若us＝0，则第一项为零（但并不能说明R1中的电流i1＝0， 读者可自行推导出 i1的表达式，即能说明i1≠0）；第二项仅与is和电阻R1、R3有关，若is＝0，则第二项为零（但并不能说明电流源端电压u＝0，同样可以推导出u的表示式， 即能说明此时u≠0）。在此， 令 则有

  6. 式（3-1-2）中的i′3可以看做仅由us作用而is不作用（即is=0，将之开路）时R3上的电流，其电路相当于图3-1-1（b）所示； i″3可以看做is作用而us不作用（即us =0，将之短路）时R3上的电流， 其电路相当于图3-1-1（c）所示。此例告诉我们R3上的响应（电流i3）可以看做独立激励源1（理想电压源us）和独立激励源2（理想电流源is）分别单独作用时，分别在R3上所产生的响应（i′3和i”3）的代数和。响应和激励之间的这种规律是具有惟一解的线性电路的共同规律，这种特性被总结为叠加定理。用同样的方法可以计算出电压u为 

  7. 2、叠加定理 • 在任何由线性元件、线性受控源和独立激励源组成的线性电路中，任一支路的响应（电压或电流）等于各个独立激励源单独作用时在该支路所产生的响应的代数和。  （3-1-3）

  8. 3、叠加定理应注意的问题：  • (1) 定理中所说的“独立激励源单独作用”的含义是： 一个独立电源作用时，其它独立电源“置零”。含有内阻的实际独立源置零时，仅对理想电源置零，而内阻保持不变， 同时电路其它元件参数也保持不变。 在具体应用这一点时，对理想电压源，去掉后短路，对理想电流源， 去掉后开路即可。

  9. (2) 叠加时应注意各个响应分量是“代数和”，即响应分量的参考方向与总响应参考方向一致取正号，相反取负号。  • (3) 受控源不要单独作用，任一独立源单独作用时受控源均要保留。  • (4) 由于叠加定理仅适用于线性电路，因此只能用来计算电路中的电压、电流等一次函数关系的物理量， 不能计算功率、电能等二次函数关系的物理量。  • (5) 叠加的方式是任意的，一次可以是一个独立源作用， 也可以是两个或几个独立源同时作用， 这要根据电路结构的复杂程度而定。

  10. 例3-1-1 已知图3-1-2（a）所示电路中， Us= 10 V， Is = 2 A， R1 = 5 Ω， R2 = 3 Ω， R3 = 3 Ω， R4 =2 Ω，应用叠加定理计算各支路电流。  图 3-1-2

  11. 解：该电路有两个独立激励源（Us和Is），设各支路电流参考方向如图3-1-2（a）中所标，将电路分解成图3-1-2（b）和（c），注意在图3-1-2(c)中，个别支路电流参考方向与图3-1-2（a）一致。在图3-1-2（b）中有解：该电路有两个独立激励源（Us和Is），设各支路电流参考方向如图3-1-2（a）中所标，将电路分解成图3-1-2（b）和（c），注意在图3-1-2(c)中，个别支路电流参考方向与图3-1-2（a）一致。在图3-1-2（b）中有

  12. 在图3-1-2（c）中，注意Us置零后，R1与R2并联，R3与R4并联，故可以用电阻并联分流的关系计算各支路电流。在图3-1-2（c）中，注意Us置零后，R1与R2并联，R3与R4并联，故可以用电阻并联分流的关系计算各支路电流。 • 

  13. 根据叠加定理计算各支路电流 • I1=I′1+I″1=1.25+0.75=2 A • I2=I′2+I″2=1.25+(-1.25)=0 A • I3=I′3-I″3=2-0.8=1.2 A • I4=I′4+I″4=2+1.2=3.2 A • I=I′-I″=3.25-0.05=3.2 A • 

  14. 例3-1-2 已知图3-1-3（a）所示电路中，Us = 1 V，Is= 2 A， R1 = 3Ω，R2 = 6Ω， R3 = 7 Ω，R4 = 2 Ω， 求电流I和电压U。 图 3-1-3

  15. 图 3-1-3

  16. 图 3-1-3

  17. 解：Us单独作用的电路如图3-1-3（b）所示，在该电路中， 要计算I′和U′， 应用回路电流法或节点电位法较方便，这里选用回路电流法。 设各网孔回路电流的参考方向如图3-1-3 (b) 所示。  • 根据KVL列方程为 • iA（R1＋R2）＋iBR2 = Us • iB（R2＋R3＋R4）＋iAR2＋iCR3 = 0

  18. 代入iC= 3U′， U′=-(iA＋iB)R2和已知条件，整理方程得 • 9iA＋6iB = 1 • 120iA＋111iB = 0 • 解方程得 • iA=0.4 A • iB=-0.43 A • 即I′=-0.43 A， U′=-R2(iA＋iB)=0.18 V

  19. Is单独作用的电路如图3-1-3（c）所示，这里选择节点电位法计算， 以D点为参考点， 则vA＝U″， vB= 0， 列出节点A和C的节点电位方程即可求解。 • 根据KCL列方程为 • iA（R1＋R2）＋iBR2 = Us • iB（R2＋R3＋R4）＋iAR2＋iCR3 = 0 • 代入iC= 3U′，U′=-(iA＋iB)R2和已知条件，整理方程

  20. 得 • 9iA＋6iB = 1 • 120iA＋111iB = 0 • 解方程得 • iA=0.4 A • iB=-0.43 A • 即I′=-0.43 A， U′=-R2(iA＋iB)=0.18 V  • Is单独作用的电路如图3-1-3（c）所示，这里选择节点电位法计算， 以D点为参考点，则vA＝U″，vB = 0，列出节点A和C的节点电位方程即可求解。 

  21. 根据KCL列方程为 • 代入U″= vA和已知条件， 整理方程得 • -33vA-7vC = 28 • 40vA＋9vC = 0 • 解方程得 •  vA=-1.16 V， vC=5.16 V

  22. 即 • 根据叠加定理有 •  I =I′＋Ｉ″=-0.43＋2.58=2.15 A • U =U′＋U″=0.18＋(-1.16)=-0.98 V

  23. 3.1.2 齐次性定理 • 对图3-1-1 (a)所示电路，我们已经求得i3为 • 对于线性电路，上式可表示为 • i3 =k1us＋k2is （3-1-4） • 在式（3-1-4）中, k1、k2为比例常数。若us或is变化，i3按比例变化，这是线性电路的又一重要特性，称为齐次性（或比例性、均匀性）。该特性被总结成线性电路的另一重要定理——齐次性定理（homogeneous theorem）。 

  24. 齐次性定理：在线性电路中当所有独立激励源同时增大k倍时， 响应也同时增大k倍。  • 比较式（3-1-2）和式（3-1-4）知：i′3= k1us，i″3= k2is，把叠加定理和齐次性定理综合考虑，当每一个激励变化的比例倍数不相等时，响应也按不同的比例倍数变化。令各激励为xj（t），其变化的比例倍数分别为kj，响应为y(t)，则响应可表示为 • 式（3-1-5）中j为大于等于1的正整数，代表激励的序号，n为激励源的个数。  （3-1-5）

  25. 例3-1-3 图3-1-4中的NR为一个内部结构未知的纯线性电阻网络， 当us= 1 V， is= 1 A时， 响应u =0； • 当us = 10 V，is = 0时， 响应u = 1 V。问：当us = 30 V， is = 10 A时， 响应u为多少？ • 解：根据叠加定理和齐次性定理有 • u = k1us＋k2is  • 代入两组已知条件得到两个方程： • 0 = k1×1＋k2×1 • 1 = k1×10＋k2×0

  26. 图3-1-4

  27. 联立求解可计算出k1和k2分别为 •  k1 = 0.1，k2 = -0.1即 • u = 0.1us-0.1is • 代入us = 30 V， is= 10A，得 • u= 0.1×30-0.1×10 = 2 V • 

  28. 例3-1-4 图3-1-5电路为一个链形、梯形网络，已知R1 = 2Ω， R2 = 20 Ω，Us = 120V, 求电流I8。  图 3-1-5

  29. 解：先假设一个I′8，从右向左逐节推出响应为I′8时的激励U′s，再按齐次性定理求出I8。  • 设I′8=1 A， 以E为参考点， 则 • vD =I′8（R1＋R2）= 1×（2＋20）= 22 V • I′6=I′7+I′8=1+1.1=2.1 A

  30. vC=I′6R1＋vD = 2.1×2＋22 = 26.2 V • I′4=I′5+I′6=1.31＋2.1=3.41 A • vB =I′4R1＋vC = 3.41×2＋26.2 = 33.02 V •  • 

  31. I′2=I′3+I′4=1.651＋3.41=5.061 A • vA=I′2R1＋vB=5.061×2＋33.02=43.14 V • I′=I′1+I′2=2.157＋5.061=7.218 A • U′s=I′R1+vA=7.218×2＋43.14=57.58 V •  故

  32. 小结 • 1．线性电路具有的叠加性质被总结为叠加定理， 即响应等于各个独立源单独作用时所产生的响应的代数和。  2．在应用叠加定理时应注意五个方面的问题。  • 3．齐次性质是线性电路的另一重要性质，将之总结为齐次定理。 使用齐次性定理分析电路时应注意与叠加定理的结合应用。

  33. 3.2 置换定理 • 1、置换定理的基本含义 • 以图3-1-1（a）所示电路为例，介绍置换定理的含义和应用。为了方便， 将其画于图3-2-1（a）。 图 3-2-1

  34. （3-2-1） • 在上节已经推导出i3和u的表达式为 • 在图3-2-1（a）中， 若用数值为u3 = i3R3的理想电压源代替R3，则电路为图3-2-1（b），在该图中用叠加定理再计算电压u。us、is共同作用(u3电压源不作用)的电路如图3-2-2（a）所示，u3单独作用时的电路如图3-2-2（b）所示。  （3-2-2）

  35. 图 3-2-2

  36. 在图3-2-2（a）中 • u′=isR2 • 在图3-2-2（b）中 • u″=u3 • 因为 所以 故 （3-2-3）

  37. 式（3-2-3）与式（3-2-2）完全相同。 若在图3-2-1（b）中计算电流i3， 其结果必然与式（3-2-1）相同。 • 同理，若用数值为i3的理想电流源代替R3， 则其等效电路如图3-2-1（c）所示， 在该电路中计算u，其结果与式（3-2-2）也相同。  • 2、置换定理 • 具有惟一解的电路中， 若已知某支路k的电压为uk，电流为ik，且该支路与其它支路无耦合关系， 则无论该支路是由什么元件组成的，均可以用下列任一元件置换：电压为uk的理想电压源，电流为ik的理想电流源，阻值等于uk/ik的电阻。置换后其它支路的电压、电流、功率等均保持不变。

  38. 3、置换定理的图示 图 3-2-3

  39. 例3-2-1 已知图3-2-4（a）所示电路中， Is= 1 A， Us = 2V，R1= 5 Ω， R2 = 3Ω，R3 = 4 Ω，R4 = 12Ω， 求R4上流过的电流I。  图 3-2-4

  40. 解：将该电路图改画成图3-2-4（b）所示形式，则其连接关系没有发生变化， R4支路的电流也保持不变。 由于虚线框内的电路与电流源串联，因此，流入的电流为Is，流出的电流也为Is，应用置换定理将其等效成图3-2-4（c）形式，故

  41. 4、置换定理的四点说明：  • (1) 定理中所讲的“无耦合关系”，指的是被置换的支路中不含受控源和与受控源有关的控制量。  • (2) 与理想电压源并联和与理想电流源串联的任意电路， 对其它支路的电压、电流、电功率均不产生影响， 仅影响理想电压源支路的电流和理想电流源两端的电压， 以及它们的功率。 • (3) 理想电压源串联可被置换成一个理想电压源， 如图3-2-5（a）所示。理想电流源并联可被置换成一个理想电流源， 如图3-2-5（b）所示。 

  42. (4) 若电路中任一支路的电流等于零，则断开该支路不影响其它支路的电压、电流和功率；若电路中任意两点间的电压等于零，则短路该两点不影响其它支路的电压、 电流和功率。 图 3-2-5

  43. 例3-2-2 已知图3-2-6（a）所示电路中，i1=i2=1A，求us。 • 解：该电路可以改画成图3-2-6（b），其连接关系不变，进而应用置换定理等效成图3-2-6（c）。由图3-2-6（c）知，us支路电流为零， 故 • us = i2×3＋3=3＋3 = 6 V 图 3-2-6

  44. 例3-2-3 求图3-2-7（a）所示电路中的电流I和电压U。   图 3-2-7

  45. 解：该电路可以将24V电压源和4 Ω电阻以外的电路等效成一个电阻R， 然后在原电路中求出I1和UAB， 进而求出I和U。设在图3-2-7(b)中, A、 B间电压为U′B， 则

  46. 在图3-2-7（a）所示电路中有

  47. 小结 • 1．置换定理是集总参数电路理论中的一个重要定理， 适用范围较广。  • 2．掌握置换定理的基本内容和应用条件的使用范围。  3．掌握关于置换定理的四点说明。

  48. 3.3 戴维南定理与诺顿定理 • 有关概念： • 1、有源二端线性网络 • 在线性电路中，待求支路以外的部分电路若含有独立电源就称做有源二端线性网络 (active twoterminal network) ，用字母N表示。 

  49. 2、戴维南定理和诺顿定理含义的图示 在线性电路分析中，往往只需计算某一支路的电压、电 流、功率等物理量。此时，可以把待求支路以外的部分电路 等效成一个实际电压源或实际电流源模型， 这种等效分别称 做戴维南定理 和诺顿定理。 图 3-3-1

  50. 3.3.1 戴维南定理 • 首先我们分析一下图3-1-1所示电路， 该电路我们在前两节已经用两种方法计算了R3支路电流i3。 为了分析方便， 我们将其重画于图3-3-2（a）， 并用电源等效变换的方法求i3。  图 3-3-2

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