三垂线定理

1. 三垂线定理

2. 温州育英实验中学 ljh 提问： （1）直线和平面垂直的定义。 （2）直线和平面垂直的判定定理 （3）如何证明线面垂直？ 如何证明线线垂直？ （4）空间中的两条直线具有什么样的位置关系？

3. ljh 自一点P向平面 引垂线，垂足 叫做点P在平面 内的正射影（简称射影） • 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图形 F ’, 则叫做图形F在这个平面内的射影 • 如果一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,那么这条直线叫做平面的斜线 • 斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段。 温州育英实验中学

4. 斜线在平面内的射影是直线；斜线段在平面内的射影是线段；垂线在平面内的射影是点。斜线在平面内的射影是直线；斜线段在平面内的射影是线段；垂线在平面内的射影是点。

5. 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱A'D', D'C', A'A 的中点分别为E, F, G, 请作出三角形EFG在平面ABCD及面B'BCC'内的射影。 在AC面内的射影

6. 在平面B'BCC'内的射影

7. 两条异面直线在一个平面内的射影是: A. 两条平行直线 B. 两条相交直线 C. 两条平行直线 或 两条相交直线 D. 以上都不正确 答案:除两直线平行或相交外, 还可能是一条直线及其外一点 应选D

8. 提问： • 平面内是否存在直线与斜线垂直？ • 平面内的直线与斜线的射影垂直时,直线与斜线垂直吗？

9. 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

10. 已知:PO, PA分别是平面α的垂线,斜线,OA是PA在α内的射影, A α内, 且a OA . a 在面α内 求证: a PA . 证明:

11. P a O a A  三垂线定理基本图形的特点分析 1:一面 2:四线 线面垂直 3:三垂直 线射垂直 P 线斜垂直 A O 

12. D ^ H ABC PH ABC 已知 是 的垂心， 平面 ， ^ AH BC D PA BC 连 交 于 ，求证： P C A H D B

13. P M C D A B 例２： 已知：在矩形ABCD中， AB=2BC，M是DC的中点。 PA⊥平面ABCD 则：PM ⊥ MB 吗 ？ 答案：此时PM 与 MB 一定垂直！

14. P M C D A B 证明 取AB的中点N， 连结MN，在矩形ABCD中， ∵AB=2BC，DM=MC ∴ AB=2MN， 故AM  MB， 又∵PA  平面ABCAD ∴ BM  PM

15. 课堂小结： １.立体几何中求点线距离的一般操作程序： 　一找（点到直线所在平面的垂线） 　二作（过垂足作直线的垂线） 　三证（证明直线与斜线垂直） 　四指（指出线段的长度即为所求） 　五计算（化归到直角三角形中求长度） ２.线线垂直　　　线面垂直 ３.三垂线定理的结构 　“一面四线“

16. 例３: D1 C1 已知：长方体AC1中， BD1为体对角线， 当底面ABCD满足 条件 时， 有BD1 ⊥A1C1 A1 B1 D C A 解： B 当AC ⊥BD时结论成立。

17. 例４：ABCD是矩形，PA 面ABC,　连结PD,PB,PC,指 出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由。

18. 变式训练： １.如图。PA 矩形ABCD,AB = 3, AD = 4, PA = 3, 求点P到CD,BC和BD的距离。 ２.正方体AC1中，下列各对直线是否垂直，为什么？ (1) BD 与AC (2) D1B 与A1C1 (3) D1B 与AB1 (4) D1B 与B1C

19. 如图，PA 垂直于以AB为直径的圆Ｏ平面，Ｃ为圆Ｏ上 任一点（异于Ａ，Ｂ），试判断图中共有几个直角三角 形，并说明理由。 已知矩形ABCD中，AB = 3,BC = a,PA 平面ABCD，在 BC边上取点E,使PE DE,则满足条件的点E有２个时， 求a的取值范围。 思考题： 研究题：

20. 布置作业： 课本作业：P24练习第2题；习题 9.4第5 题。