３囚人問題は図による問題表象

３囚人問題は図による問題表象 寺尾敦（青山学院大学）　　　伊藤朋子

なぜ難しいのか構築支援の効果 （日本学術振興会・早稲田大学）

目的 • ３囚人問題の解決援助を行い，高い正答率を達成することで，３囚人問題の難しさがどこにあるのかを明らかにする． • 支援の効果あり＝解決の難所 • 高い正答率を達成した先行研究なし． • ベイズの定理を学習後に３囚人問題に取り組む．先行研究での参加者のほとんどはベイズの定理を知らない．

（変形）３囚人問題 • ３人の囚人Ａ，Ｂ，Ｃがいて，１人が釈放され，２人が処刑される． • それぞれの釈放確率は，1/4，1/4，1/2． • 誰が処刑されるか知っている看守に対し，囚人Ａが，「ＢとＣのうち，処刑される１人の名前を教えてくれないか」と頼む． • 看守は「Ｂは処刑される」と答えた． • Ａの釈放される確率はいくらか？

３囚人問題の難しさ • 多くの先行研究で，正解者はほとんどいない． • さらに，正解をきいても納得できない． • ベイズの定理を学習し，「ベイズ型くじびき課題」への正答率が上がった後（54.4%）でも，３囚人問題での正答率は０％だった．（2009年の教育心理学会に報告した実験での，未発表データ）

ベイズ型くじ引き課題 くじびき遊びをします．くじ袋の中には，白箱と黒箱がひとつずつ入っています．白箱の中には赤いボール２個と青いボール１個，黒箱の中には赤いボール１個と青いボール１個が入っています．箱もボールもそれぞれ同形同大で，触っただけでは区別できません．袋の中の箱もその中のボールもよく混ぜてから，袋の中を見ないで手を入れ，まず箱をひとつ選び，さらに，選んだ箱の中から，箱の中を見ないで手を入れボール（くじ）をひとつ選びます．取り出したボールが赤なら当たりで，青ならはずれです．

赤青赤赤青

方法 • 参加者：青山学院大学社会情報学部での１年生必修科目「統計入門」の受講者57名.

方法 • 手続き：確率についての授業を２週にわたって実施．問題演習くじびき第１週学習（加法定理・乗法定理）テスト問題演習くじびき第２週学習（ベイズの定理）テスト３囚人（１）３囚人（２）

方法 • 授業で学習した樹形図あるいはルーレット図を描いて，課題解決を試みた． • くじびき：樹形図50名，ルーレット図7名 • ３囚人：樹形図54名，ルーレット図3名 • ３囚人問題への１回目のトライでは未完成の図，２回目は完全な図（＋説明）が提示された． • 授業資料参照可．３囚人問題ではくじびき課題の正解を参照することが許された．

方法 • 樹形図（未完成）Ａ釈放Ｂ釈放Ｃ釈放

方法 • 樹形図（完成）「Ｂは処刑される」と言うＡ釈放「Ｃは処刑される」と言う１Ｂ釈放「Ｃは処刑される」と言う１Ｃ釈放「Ｂは処刑される」と言う

方法 • ルーレット図（未完成） P{A釈放}= P{C釈放}= P{B釈放}=

方法 • ルーレット図（完成） P{A釈放and 「Bは処刑される」と言う} = P{C釈放and 「Bは処刑される」と言う} = P{A釈放}= P{C釈放}= P{B釈放}=

２つの課題での成績

３囚人問題でのパフォーマンス • １回目のチャレンジ（不完全な図提示） • ３名が正しい樹形図を作成 • ３囚人問題への正解者なし． • ２回目のチャレンジ（完全な図提示） • 33名（58%）が正解． • くじ引き課題に失敗しても，３囚人問題を解決できているのは，（くじ引き課題への解答後に）くじ引き課題の正解が提示されたため？

結論 • ベイズの定理を学習し，正しい表象形成の支援を受ければ，高い確率で３囚人問題に正解することができる． • 正答率は58％．先行研究および出発点データでの（ほぼ）０％の正答率に比べれば，非常に高い． • 尤度の表象を形成することが難しい． • ベイズの定理を使用するスキルがあっても（くじ引き課題に正答できても），完全な図なしでは３囚人問題は困難．

３囚人問題 は 図による問題 表象