第一节　函　数

第一章　函数　极限　连续 第一节　函　数一、函数的概念二、函数的表示法三、分段函数四、反函数五、初等函数六、函数的基本性态七、建立函数关系举例八、常见曲线的图形

一、函数的概念 1、定义：设D为一个非空实数集合，若存在确定的对应规则f，使得对于数集D中的任意一个数x , 按照f 都有唯一确定的实数y 与之对应，则称f 是定义在集合D上的函数. D : f 的定义域 x : 自变量 y : 因变量

2、函数值： 　　例1：已知　　　　 ,求：f(0), , f(-x), 称为函数 f 的值域 . 实数集合

(其中 为大于 0 的常数)的一切 x，称为点 x0的d 邻域，记作 U( x0 , d ). 满足不等式 x0- d x0 +d x0 -d x0 + d x0 x0 O x O x (a) (b) 3、邻域：如图（a）所示：空心邻域，记作 U (, d) . 如图 (b)所示. 如：

确定下列函数的定义域： 例2 解也可以用集合形式表示为

≥ ≤ 解：　用集合形式表示为：

二、函数的表示法 　　函数的表示法通常有三种：公式法、表格法和图示法. 1、公式法：如 2、表格法：如：某商店一年中各月份毛线的销售量（单位：100kg）的关系如下表1－1所示：表1－1　各月份毛线销售量　月份x123456789101112 销售量y 100kg 818445459561594161144123

3、图示法： 14.1 下图是气象站用自动温度记录仪记录下来的某地一昼夜气温变化曲线：注：y表示气温，x表示时间。 O4812162024x

三、分段函数 例3旅客乘坐火车可免费携带不超 20 kg 的物品，超过 20 kg 而不超过 50 kg 的部分每 kg 交费 a元，超过 50 kg 部分每 kg 交费 b元 . 求运费与携带物品重量的函数关系 . 　　解　设物品重量为 x kg，应交运费为 y 元. 由题意可知这时应考虑三种情况：

情况一：重量不超过20 kg，这时 情况二：重量大于20 kg，但不超过 50 kg，这时情况三：重量超过50 kg，这时

因此，所求的函数是一个分段函数

例4、设求上述函数称为符号函数，记为sgnx。即：如图所示：例4、设求上述函数称为符号函数，记为sgnx。即：如图所示： 1 O x -1

对于所有的实数x，下列关系式成立： 例5　取整函数：设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记为y=[x].

≤ ≤ 例6函数

四、反函数 设 y =f (x)为定义在 D 上的函数，其值域为 A . 若对于数集 A 中的每个数 y , 数集 D 中都有唯一的一个数 x使 f (x) = y，这就是说变量x 是变量 y的函数. 这个函数称为函数 y =f (x)的反函数, 其定义域为 A . 值域为D . 函数 y = f (x)与 x = f -1(y) 二者的图形是相同的. 注：一般记为　　　　　　，图形关于y=x对称。步骤：记为x=f -1(y).

例8 解交换x、y 的位置, 即得所求的反函数

五、初等函数 1.基本初等函数幂函数指数函数对数函数 y = sinx, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = sec x, y = csc x ；三角函数反三角函数 y = arc sinx, y = arc cos x, y = arc tan x, y = arc cot x ；等五类函数统称为基本初等函数 .

2.复合函数 函数 u = j (x) 的值域为 U2, 若函数 y = F(u), 定义域为 U1 , 则 y 通过变量 u 成为 x的函数, 这个函数称为由函数 y = F(u) 和函数 u = j (x) 构成的复合函数, 记为其中变量 u 称为中间变量.

例9 　　　　　　　　　　　　　　　　即为所求的复合函数解其定义域为 (, ) .

例11 解1 求 f [j (x)] 时, 应将 f (x) 中的 x 视为j (x), 因此因此

例12 解方法一令 u = x  1, 得 f (u) = (u 1)2, 再将 u = 2x  1 代入, 即得复合函数于是问题转化为方法二因为f (x 1) = x2 = [(x 1) + 1]2, 求 y = f (x) = (x 1)2与 j (x) = 2x 1 的复合函数 f [j(x)] , 因此

例13 是由哪些函数复合而成的. 解

3.初等函数 经过有限次四则运算和有限次复合构成, 由基本初等函数及常数并且可以用一个数学式子表示的函数, 叫做初等函数.例如等等, 都是初等函数.

六、函数的基本性态 1.奇偶性　　设函数 y = f (x) 的定义域关于原点对称，如果对于定义域中的任何 x，都有 f (x) = f (-x) ，则称 y = f (x) 为偶函数；如果有 f (-x) = -f (x) ，则称 f (x) 为奇函数. 不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数.

奇函数和偶函数的加减乘除。

2.周期性 　　设函数 y = f (x) 的定义域为 (-, +  ) ，若存在正数 T，使得对于一切实数 x，都有： f (x + T) = f (x). 则称 y = f (x) 为周期函数. 如；三角函数

3.单调性 设x1 和x2 为区间(a, b) 内的任意两个数，若当x1 < x2时, 函数y = f (x) 满足或称递增；则称该函数在区间(a, b) 内单调增加，若当x1 < x2时有或称递减；则称该函数在区间(a, b) 内单调减少，

y y x x O O y = cot x 在(0, p) 内递减. 从几何直观来看，　　函数的递增、递减统称函数是单调的. 递增，就是当x 自左向右变化时，函数的图形上升； y = f (x) y = f (x) 递减，就是当x 自左向右变化时，函数的图形下降. a a b b

≤ 4.有界性设函数f (x) 在区间I 上有定义，若存在一个正数M，当x I 时，恒有如果不存在这样的正数M，则称函数f (x) 为在I 上的无界函数. 成立，则称函数f (x) 为在I 上的有界函数，

例如，因为当x  ( , ) 时,恒有|sin x|≤1,所以函数f (x) = sin x 在 ( , ) 内是有界函数.

x a - 2x 七、建立函数关系举例例17设有一块边长为a的正方形薄板， x 将它的四角剪去边长相等的小正方形制作一只无盖盒子，试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数. 解设剪去的小正方形的边长为x, 盒子的体积为V. 　　　　　　　　　　　　　　　　　因此所求的函数关系为则盒子的底面积为(a - 2x)2 ，高为 x，

y B C 1 2 x O 例18由直线y = x， y = 2  x 及 x轴所围的等腰三角形OBC ，在底边上任取一点 x [0, 2].过x 作垂直x 轴的直线，将图上阴影部分的面积表示成x 的函数. y = x y = 2  x x 解设阴影部分的面积为A ，当 x [0, 1)时，

y B C x O 当x ∈ [1, 2]时， y = x y = 2x 1 2 x 所以

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