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第一节 机械求积

第一节 机械求积. 主要内容. 求积公式的构造方法之一 代数精度 插值型求积公式. 一、 数值求积的基本思想. 1 、定积分的计算. 当 f ( x ) 是闭区间上的连续函数时,如何计算下列定积分?. 积分中值定理. 底为 而高为 的矩形面积恰好等于所求曲边梯形的面积 。. 问题 :如何确定 ?. y. I ( f ). x. O. 上述公式的几何意义. 2 、定积分常用的近似公式. 左矩形. 右矩形. 矩形. 中矩形. 辛浦生( Simpson ).

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  1. 第一节 机械求积 主要内容 求积公式的构造方法之一 代数精度 插值型求积公式

  2. 一、数值求积的基本思想 1、定积分的计算 当 f(x)是闭区间上的连续函数时,如何计算下列定积分? 积分中值定理

  3. 底为 而高为 的矩形面积恰好等于所求曲边梯形的面积 。 问题:如何确定 ? y I(f) x O 上述公式的几何意义

  4. 2、定积分常用的近似公式 左矩形 右矩形 矩形 中矩形 辛浦生(Simpson)

  5. 一般地,在积分区间[a,b]上n+1个节点 处的高度为 ,通过加权平均的方法,近似得出平均高度,于是有 形如上式(4)的求积公式称为机械求积公式,其中 称为求积节点, 称为求积系数。 A x k k 3、一般方法

  6. 利用公式(4)进行定积分计算的方法称为机械求积方法。利用公式(4)进行定积分计算的方法称为机械求积方法。 特点: 具有通用性好,即求积系数仅仅与节点有关,而与被积函数的具体形式没有关系。

  7. 二、求积公式的代数精度 如果在求积公式(4)中,对于任意不高于m次的多项式都准确地成立,而对于 都不能准确地成立,则称该求积公式的代数精度为m.

  8. 数值求积方法是近似方法,为保证精度,自然希望所提供求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。数值求积方法是近似方法,为保证精度,自然希望所提供求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。 如果机械求积公式对 均能准确成立, 但对 不准确,则称机械求积公式具有 次代数精度。 事实上,令求积公式对 准确成立,即 得 可见,在求积公式节点给定的情况下,求积公式的构造问题本质上是个解线性方程组的代数问题。

  9. 例1: 的代数精度是m=1. 当 ,原式恒成立; 当 ,原式不成立。 分析:对于 ,有

  10. 设已给出 在节点的函数值,作Lagrange插值多项式 三、插值型求积公式 式中 为Lagrange插值基函数。 对其进行积分,有

  11. 其中: 依据公式(5)所确定的求积系数的求积公式,称为插值型求积公式。

  12. 四、求积公式的余项 如果求积公式是插值型,则有 于是插值型余项为

  13. 小 结 定理1形如(4)的求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是:插值型的。 机械求积公式具有通用性好,即求积系数仅仅与节点有关,而与被积函数的具体形式没有关系。 作业:P94 2、3、6

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