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第七章 点的合成运动

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第一节 点的绝对运动、相对运动和牵连运动 第二节 速度合成定理 第三节 牵连运动为平移时,点的加速度. 合成定理. 第四节 牵连运动为转动时,点的加速度. 合成定理. 第七章 点的合成运动. 第一节 点的绝对运动、相对运动和牵连运动. 合成运动: 相对于某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而合,称这种运动为合成运动. 沿直线轨道滚动的圆轮,轮缘上 A 点的运动,对于地面上的观察者来说,点的轨迹是旋轮线,但对站在轮心上的观察者来说是圆。. A 点的运动可看成随轮心的平动与绕轮心转动的合成。. 参考系.

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Presentation Transcript
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第一节 点的绝对运动、相对运动和牵连运动

  • 第二节 速度合成定理
  • 第三节 牵连运动为平移时,点的加速度

合成定理

  • 第四节 牵连运动为转动时,点的加速度

合成定理

第七章 点的合成运动

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第一节 点的绝对运动、相对运动和牵连运动

合成运动:相对于某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而合,称这种运动为合成运动

沿直线轨道滚动的圆轮,轮缘上A点的运动,对于地面上的观察者来说,点的轨迹是旋轮线,但对站在轮心上的观察者来说是圆。

A点的运动可看成随轮心的平动与绕轮心转动的合成。

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参考系

  • 静坐标系或定坐标系:固结在地球上的坐标系;以Oxyz表示。
  • 动坐标系:固定在其它相对于地球运动的参考体上的坐标系;以Oxyz表示
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三种运动

绝对运动:

动点相对于静坐标系的运动。

相对运动:动点相对于动坐标系的运动

牵连运动:动坐标系相对于静坐标系的运动

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讨 论

  • 动点的绝对运动和相对运动都是点的运动,它可能是直线运动,也可能是曲线运动。
  • 牵连运动则是动坐标系的运动,属于刚体的运动,有平移、定轴转动和其它形式的运动。
  • 动坐标系作何种运动取决于与之固连的刚体的运动形式。
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第二节 速度合成定理

  • 绝对速度、相对速度和牵连速度

绝对速度va:动点相对于静坐标系运动的速度

相对速度vr:动点相对于动坐标系运动的速度

牵连速度ve:某瞬时,与动点相重合的动坐标系上的点(牵连点)相对于静坐标系运动的速度。

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牵连点:在任意瞬时,与动点相重合的动坐标系上的点,称为动点的牵连点。

讨 论

动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的运动空间,除动坐标系作平移外,动坐标系上各点的运动状态是不相同的。在任意瞬时,只有牵连点的运动能够给动点以直接的影响。为此,定义某瞬时,与动点相重合的动坐标系上的点(牵连点)相对于静坐标系运动的速度称为动点的牵连速度

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例如,直管OB以匀角速度绕定轴O转动,小球M以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动,如图示。将动坐标系固结在OB管上,以小球M为动点。随着动点M的运动,牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置,例如,直管OB以匀角速度绕定轴O转动,小球M以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动,如图示。将动坐标系固结在OB管上,以小球M为动点。随着动点M的运动,牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置,

则动点的牵连速度分别为

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动点与牵连点

  • 动点和牵连点是一对相伴点,在运动的同一瞬时,它们是重合在一起的。
  • 动点是与动系有相对运动的点 。
  • 牵连点是动系上的几何点 。
  • 在运动的不同瞬时,动点与动坐标系上不同的点重合,而这些点在不同瞬时的运动状态往往不同 。
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瞬时t,动点位于M处

t后,动点运动到 处

绝对运动轨迹

是此牵连点的轨迹。

M1是瞬时t的牵连点,

  • 速度合成定理

动点在一个任意运动的刚体K上沿弧AB相对于刚体K运动

动坐标系固结在刚体K上,静坐标系固结在地面上

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速度合成定理

显然:

动点的绝对速度等于它的牵连速度与相对速度的矢量和

上式为矢量方程,它包含了绝对速度、牵连速度和相对速度的大小、方向六个量,已知其中四个量可求出其余的两个量。

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相对运动:以C为圆心的

圆周运动

  • 牵连运动:动坐标系绕O轴

的定轴转动

选A为动点,动坐标系Oxy固结在凸轮上,

  • 绝对运动:直线运动

方向如图

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关于动点动系选择的讨论

  • 本题中,选择AB杆的A点为动点,动坐标系与凸轮固结。因此,三种运动、特别是相对运动轨迹十分明显、简单且为已知的圆,使问题得以顺利解决。
  • 若选凸轮上的点(例如与A重合之点)为动点,而动坐标系与AB杆固结,这样,相对运动轨迹不仅难以确定,而且其曲率半径未知。因而相对运动轨迹变得十分复杂,这将导致求解(特别是求加速度)的复杂性。
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解:该机构在运动过程中,滑块A与摇杆O1B相对运动,且A相对于摇杆O1B的直线运动轨迹为已知,

  • 动点:滑块A
  • 动系:与摇杆O1B固连
  • 绝对运动:圆周运动
  • 相对运动:滑块沿滑槽的直线运动
  • 牵连运动:摇杆绕O1轴的转动

图(b)是A点的速度矢量图,建立图示A坐标轴,并将速度合成定理的矢量方程分别向轴上投影,

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例7-3火车车厢以速度v1沿直线轨道行驶(图7-5)。雨滴M沿铅垂落下,其速度为v2。求雨滴相对于车厢的速度。例7-3火车车厢以速度v1沿直线轨道行驶(图7-5)。雨滴M沿铅垂落下,其速度为v2。求雨滴相对于车厢的速度。

解:动点:雨滴M,动系Oxy与车厢固结,

静系:Oxy

  • 绝对运动:雨滴相对地面铅垂落下
  • 相对运动 :雨滴相对于车厢的运动
  • 牵连运动:车厢的运动(平动)
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例7-3火车车厢以速度v1沿直线轨道行驶(图7-5)。雨滴M沿铅垂落下,其速度为v2。求雨滴相对于车厢的速度。例7-3火车车厢以速度v1沿直线轨道行驶(图7-5)。雨滴M沿铅垂落下,其速度为v2。求雨滴相对于车厢的速度。

vr与铅垂线的夹角

解:

绝对速度为va= v2

车厢作移动,故雨滴M的牵连点的速度为v1,即雨滴M的牵连速度ve = v1

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第三节牵连运动为平移时,点的加速度

合成定理

  • 动点的绝对加速度、相对加速度和牵连加速度

绝对加速度aa:动点相对于静坐标系运动的加速度

相对加速度ar:动点相对于动坐标系运动的加速度

设:动点M在动坐标系中的坐标为xyz

牵连运动为平移,单位矢量i、j、k大小、方向不变

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牵连加速度ae :指某瞬时动坐标系上与动点相重合之点(牵连点)相对于静坐标系运动的加速度

动坐标系作平移时,动点的牵连速度和牵连加速度等于动坐标系原点O的速度和加速度

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牵连运动为平移时,点的加速度合成定理

设动点在动坐标系Oxyz上沿相对轨迹曲线AB运动,而动坐标相对静坐标系Oxyz作平行移动

当牵连运动为平移时,动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。这是牵连运动为平移时,点的加速度合成定理

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解:

动点:小环M

动系:固连在连杆BC上

静系:固连在地面上

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第四节 牵连运动为转动时,点的加速度

合成定理

牵连运动为转动时,动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和

当牵连运动为转动时,由于转动的牵连运动与相对运动相互影响的结果而产生一种附加的加速度,称为科里奥利加速度,简称科氏加速度,以符号ak表示

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设圆盘以匀角速度绕固定轴O顺时针转动,同时圆盘上有一动点M,在半径为R的圆槽内以大小不变的相对速度vr顺时针作圆周运动,那么M点对于静参考系的绝对加速度应该是多少?

动系固连于圆盘上,随同圆盘一起转动

相对运动:匀速圆周运动

在t瞬时相对速度为vr

相对加速度:

牵连速度 :R

牵连加速度R2

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绝对速度大小

常量

绝对运动也为匀速圆周运动

绝对加速度大小

方向指向圆心O点

从上式中可以看出,动点的绝对加速度除了牵连加速度R2和相对加速度两项外,还多了一项,可见牵连运动为转动时,动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。上述虽然是在牵连运动为转动的特殊例子导出的,但对牵连运动为一般运动的情况也适用。

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式中:

将vr顺着的转向转过90,即得ak的方向

  • 若vr∥,则有
  • 若vr⊥,则有
  • 科氏加速度的计算

:与vr间的夹角

方向垂直于与vr所决定的平面,它的指向按右手定则决定如图

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绝对运动:沿AB方向的直线运动

方向已知,沿AB

相对运动:以C为圆心的圆周运动

方向已知,垂直于AC方向

牵连运动:动坐标系以O为定轴转动

动坐标系为转动

A为动点,动坐标系固结在凸轮上

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根据加速度合成定理

将此矢量方程向Ox轴投影

aA为负值,说明aA的方向与图假设的方向相反。在此瞬时,aA的实际方向铅直向下。

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例7-6 河流在北半球纬度为处沿经线自北向南以匀速v流动,如图所示。考虑地球自转的影响,求在纬度处水滴M的科氏加速度。

解:取地心坐标系为静坐标系Oxyz,以地轴为z轴;

以纬度处河水水滴M为动点

选动坐标系Mxyz固结在地面上,轴z铅直向上

地球绕z轴自转的角速度以表示

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绝对运动:某曲线运动;相对运动:圆周运动;牵连运动:定轴转动。绝对运动:某曲线运动;相对运动:圆周运动;牵连运动:定轴转动。

如果顺着河流流动方向看过去,科氏加速度的方向指向左侧

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由牛顿第二定律可知,水流有向左的科氏加速度是由于河床的右岸对水流作用有向左的力。根据作用反作用定律,水流对右岸必有反作用。由于这个力的经常不断地作用,使河床的右岸受到冲刷。由牛顿第二定律可知,水流有向左的科氏加速度是由于河床的右岸对水流作用有向左的力。根据作用反作用定律,水流对右岸必有反作用。由于这个力的经常不断地作用,使河床的右岸受到冲刷。

这就解释了在自然界观察到的一种现象:在北半球,顺着河流流动的方向看过去,河流的冲刷现象右岸比左岸显著。