kombinatorika s val sz n s g sz m t s n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Kombinatorika és VALÓSZÍNŰSÉG SZÁMÍTÁS PowerPoint Presentation
Download Presentation
Kombinatorika és VALÓSZÍNŰSÉG SZÁMÍTÁS

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 40

Kombinatorika és VALÓSZÍNŰSÉG SZÁMÍTÁS - PowerPoint PPT Presentation


  • 319 Views
  • Uploaded on

Kombinatorika és VALÓSZÍNŰSÉG SZÁMÍTÁS. Készítette: Horváth Zoltán. Hányféle sorrendben lehet az E,F,G betűket pontosan egyszer leírni? Írjuk le az összes lehetőséget!. E F G. E G F. F G E. F E G. G E F. G F E. Összesen 6 különböző sorrendet alkot a három elem.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Kombinatorika és VALÓSZÍNŰSÉG SZÁMÍTÁS' - cambria-jovan


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
h nyf le sorrendben lehet az e f g bet ket pontosan egyszer le rni rjuk le az sszes lehet s get
Hányféle sorrendben lehet az E,F,G betűket pontosan egyszer leírni? Írjuk le az összes lehetőséget!

E F G

E G F

F G E

F E G

G E F

G F E

Összesen 6 különböző sorrendet alkot a három elem.

slide3
Hányféle sorrendben lehet az 1,2,3,4 számjegyeket pontosan egyszer leírni? Írjuk le az összes lehetőséget!

3124

4123

1234

2134

3142

4132

1243

2143

3214

4213

1324

2314

3241

4231

1342

2341

3412

4312

1423

2413

3421

4321

1432

2431

Összesen 24 különböző sorrendet alkot a négy elem.

slide4

Egy n számú, egymástól különböző elemek egy meghatározott sorrendjét

permutációnak nevezzük.

Jele:

Kiszámítása:

Ejtsd: n faktoriális

slide5
6 ember hányféle sorrendben szállhat fel a busz első ajtóján, ha az ajtón egyszerre csak egy ember mehet át?

azaz 6 elem permutációja.

Ez 6 elem sorrendje,

720 különböző sorrendben szállhat fel a buszra a 6 ember.

egy 20 f s oszt ly tanul i egy sz nh zban egy sorba egym s mell le lhetnek h ny l srend alakulhat
Egy 20 fős osztály tanulói egy színházban egy sorba egymás mellé leülhetnek. Hány ülésrend alakulhat?

Ez 20 elem sorrendje,

azaz 20 elem permutációja.

2 432 902 008 176 640 000 különböző sorrendben ülhetnek a színház székeire egy sorba egymás mellé.

h ny olyan 10 jegy sz m van amelyben minden sz mjegy pontosan egyszer fordul el
Hány olyan 10 jegyű szám van, amelyben minden számjegy pontosan egyszer fordul elő?

Az első helyre 0 kivéve bármi írható, azaz 9 elem.

A maradék pedig 9 elem sorrendje,

azaz 9 elem permutációja.

3 265 920 különböző számjegyű 10 számjegyű számállítható elő a számjegyekből.

h nyf lek ppen rendezhet egy sorba 5n s 7 f rfi gy hogy a n k el l llnak
Hányféleképpen rendezhető egy sorba 5nő és 7 férfi úgy, hogy a nők elől állnak?

A nők 5 elem permutációját,

A férfiak 9 elem permutációját alkotják.

604 800 különböző sorrendet alkothat az 5 nő és 7 férfi a fenti feltételeknek megfelelően.

slide9

Hányféleképpen rendezhető egy polcon egy sorba 5 Mozart, 9 Beethoven, 3 Wagner és 4 Händel CD úgy, hogy a CD-k egy csoportot alkossanak előadónként?

A 4 előadó gyűjteményei 4! féleképpen rendezhetők,

És előadónként rendre 5!, 9!, 3! és 4!

Féleképpen cserélődhetnek az előadókon belül.

150 493 593 600 különböző rendezettséget alkothat a 4 előadó CD-i.

slide10
Egy 10 fős csoportban Jancsi és Juliska egymásmellé szeretnének ülni. Hányféleképpen valósulhatmeg a szándékuk?

Kezeljük a szerelmes párt 1 elemként, ami két különbözősorrendet jelöl, azaz két elem permutációját!

Így összesen a maradék 8 fő és a szerelmes pár 9elemnek tekinthető, ami 9 elem permutációját adja.

725 760 különböző sorrendet alkothat a 10 fős csoport úgy, hogy Jancsi és Juliska egymás mellé üljön le.

slide11

Egy 10 fős csoportban Pistike és Sanyika egymásmellé nem ülhet a mozi székeire egy sorba. Hányféleképpen ültetheti le a csoportot a tanító néni?

Az összes lehetőség a feltételek nélkül (10!) 10 elem permutációja lenne, amiből a feltételeket ki kell válogatni:

Rossz esemény az, amikor a két fiú egymás mellé ül:

Ennek száma: 2!9!

2903040 különböző sorrendet alkothat a 10 fős csoport úgy, hogy Pistike és Sanyika egymás mellé ne üljön le.

egy 3 f s kerek asztalhoz h nyf lek ppen lhet le 3 f
Egy 3 fős kerek asztalhoz hányféleképpen ülhet le 3 fő?

A bekeretezett ülésrendek nemjelentenek különbözőülésrendet, mert ezekegymással forgás-szimmetrikusak.

Ez 3 elem permutációja,

de 2 -2 háromszor fordul elő

Három fős asztalhoz kétféleképpen lehetleülni.

egy p kerasztalhoz 6 an lnek le h nyf lek ppen lhetnek le j tszani
Egy pókerasztalhoz 6-an ülnek le.Hányféleképpen ülhetnek le játszani?

Ha láncba ülnének, akkor ez hat elem permutációjalenne.

De minden lehetséges sorrend a lánc összefűzésévela forgásszimmetria miatt annyiszor fordul elő, ahányan az asztalhoz ülnek.

A pókerasztalhoz hatan 120 féleképpen ülhetnek le.

egy t bort zet 8 an lik k rbe h nyf lek ppen lhetnek a t zh z
Egy tábortüzet 8-an ülik körbe.Hányféleképpen ülhetnek a tűzhöz?

Ha láncba ülnének, akkor ez nyolc elem permutációjalenne.

De minden lehetséges sorrend a lánc összefűzésévela forgásszimmetria miatt annyiszor fordul elő, ahányan a tűzhöz ülnek.

A tábortüzet nyolcan 5040 féleképpen ülhetik körbe.

slide15

Egy nemzetközi konferencián 5 magyar, 3 cseh és 4 lengyel egy asztalhoz ülnek le.Hányféleképpen ülhetnek le, ha az azonos nemzetiségűek egymás mellé ülnek?

Adott 5, 3 és 4 elem permutációja,

amely csoportok három elem permutációját adják.

Ha kört alkotnak, akkor a forgásszimmetria miatt egy elrendezés 12-szer ismétlődik.

A konferencián a feltételeknek megfelelően 8640ülésrend alakulhat ki az asztal körül.

slide16
Ha van 2 tíz és 2 húsz forintos érmém, hányféle sorrendben rakhatom le azokat, ha az azonos értékűeket nem különböztetjük meg?

Összesen 6 féle sorrendben lehet lerakni ezeket az érméket.

slide17

Ha van n számú elemünk, és abból k1, k2, … kmelemek megegyezők, akkor ennek egy meghatározott sorrendjét ismétlésespermutációnaknevezzük.

Jele:

Kiszámítása:

slide18
Ha van 2 tíz és 2 húsz forintos érmém, hányféle sorrendben rakhatom le azokat, ha az azonos értékűeket nem különböztetjük meg?

Ez 4 elem permutációja,

Amelyben 2-2 elem ismétlődik!

Összesen 6 féle sorrendben lehet lerakni ezeket az érméket.

a matematika sz bet ib l h ny db sz alkothat ha minden bet t legfeljebb egyszer haszn lhatunk fel
A matematika szó betűiből hány db „szó” alkotható, ha minden betűt legfeljebb egyszer használhatunk fel?

A matematika szó 10 elemű, ez 10 elem permutációja.

De az M betű 2-szer ismétlődik,

az A betű 3-szor ismétlődik,

a T betű 2-szer ismétlődik, ezért:

Összesen 151200-féle szót lehet alkotni a matematika szó betűiből.

slide20
A paralelogramma szó betűiből hány db „szó” alkotható, ha minden betűt legfeljebb egyszer használhatunk fel?

A paralelogramma szó 14 elemű, ez 14 elem permutációja.

De az A betű 4-szer ismétlődik,

az R betű 2-szer ismétlődik,

az L betű 2-szer ismétlődik,

az M betű 2-szer ismétlődik, ezért:

Összesen 454053600-féle szót lehet alkotni a paralelogramma szó betűiből.

slide21

Egy dobozban van 2 sárga golyó. Hány pirosat kell betenni ahhoz, ha azt szeretnénk elérni, hogy a dobozból kihúzott golyókat összesen 21 sorrendben lehessen kihúzni?

Adott n számú golyó, amiből 2 db sárga, többi piros.

A sárga golyó 2-szer ismétlődik,

A piros golyó (n-2)-szer ismétlődik, ezért:

7-2, vagyis 5 piros golyót kell betenni a dobozba!

slide22

Egy dobozban van 2 zöld golyó. Hány pirosat kell betenni ahhoz, ha azt szeretnénk elérni, hogy a dobozból kihúzott golyókat összesen 36 sorrendben lehessen kihúzni?

Adott n számú golyó, amiből 2 db zöld, többi piros.

A zöld golyó 2-szer ismétlődik,

A piros golyó (n-2)-szer ismétlődik, ezért:

9-2, vagyis 7 piros golyót kell betenni a dobozba!

slide23
Egy szépségversenyen 10 csinos nő indul, akik közül kiválasztják a három legszebbet! Hányféleképpen alakulhatott a helyezési sorrend?

Az első helyre 10 jelentkező van.

A második helyre 9 jelentkező van.

A harmadik helyre 8 jelentkező van.

A 10 fős szépségversenyen az első három helyezés720 különböző sorrendben alakulhat!

slide24
Egy szépségversenyen 10 csinos nő indul, akik közül kiválasztják a három legszebbet! Hányféleképpen alakulhatott a helyezési sorrend?

Ez 10 olyan elem permutációja, ahol 7 elem sorrendje nem számít, csak az első háromé!

Az ilyen jellegű sorrendet variációnak nevezzük.

A 10 fős szépségversenyen az első három helyezés720 különböző sorrendben alakulhat!

slide25

Ha van n db egymástól különböző elemünk, ésebből k db elem meghatározott sorrendjétállítjuk elő, akkor n elem k-ad osztályúvariációjának nevezzük.

Jele:

Kiszámítása:

egy p ly zatra 9 en jelentkeznek ezek k z l kett t d jaznak h nyf lek ppen alakulhat a d jaz s
Egy pályázatra 9-en jelentkeznek, ezek közül kettőt díjaznak. Hányféleképpen alakulhat a díjazás?

Ez kilenc elem másodosztályú variációja:

A pályázat díjazása 72 különböző módon alakulhat.

slide27
Egy 11 tagú csoprtból 6-ot feleltetnek egy órán. Hányféleképpen alakulhat a feleltetés, ha számít a felelés sorrendje?

Ez tizenegy elem hatodosztályú variációja:

A feleltetés sorrendje 332 640 módon alakulhat.

slide28

Ha van n db egymástól különböző elemünk, ésebből bármilyen k db elem meghatározott sorrendjétállítjuk elő, miközben bármelyik elem k-szor iselőfordulhat, akkor n elem k-ad osztályúismétléses variációjának nevezzük.

Jele:

Kiszámítása:

slide29
Egy érmével 3 dobást végzünk. Hányféle dobássorozat adódhat, ha a dobások sorrendjét is figyelembe vesszük?

Minden dobás alkalmával két lehetőségünk van.

Az érmével a 3 dobás 8 különböző dobássorozat állít elő.

slide30
Egy kockával 4 dobást végzünk. Hányféle dobássorozat adódhat, ha a dobások sorrendjét is figyelembe vesszük?

Minden dobás alkalmával hat lehetőségünk van.

4 kockadobás 1296 különböző dobássorozat állít elő.

h ny szelv nyt kellene a tot n kit lteni hogy az els 13 m rk z st biztosan eltal ljuk
Hány szelvényt kellene a totón kitölteni, hogy az első 13 mérkőzést biztosan eltaláljuk?

Minden mérkőzésre három tipplehetőségünk van.

A totón 1 594 323 szelvény hibátlan kitöltése szükséges a biztos találathoz..

egy n gyszem lyes lifthez 6 ember rkezik h nyf lek ppen mehetnek fel az els lifttel
Egy négyszemélyes lifthez 6 ember érkezik. Hányféleképpen mehetnek fel az első lifttel?

Ez esetben hatból négyet kell kiválasztani.

Ez lehetne hat elem negyedosztályú variációja is,

De az első négy ember sorrendje ekkor nem számít!

Vagyis sem a felmenők, sem a lent maradók sorrendjenem számít. Akkor a két részre eső társaságok sorrendjeivel egyszerűsítsük a hat fő sorrendjét!

A hat ember közül 4-et 15-féleképpen választhatunk ki!

slide33

Ha van n db egymástól különböző elemünk, ésebből k db elemet kiválasztunk úgy, hogy annak sorrendje nem számít, akkor n elem k-adosztályúkombinációjának nevezzük.

Jele:

Kiszámítása:

Ejtsd: n alatt a k.

8 f s t rsas gban h ny k zfog s t rt nik ha mindenki mindenkivel pontosan egyszer fog kezet
8 fős társaságban hány kézfogás történik, ha mindenki mindenkivel pontosan egyszer fog kezet?

Egy kézfogáshoz két ember szükséges.

Vagyis: hányféleképpen tudunk 2 főt 8 közül sorrendfüggetlenül választani?

Ez nyolc elem másodosztályú kombinációja.

8 fő között összesen 28 kézfogás történhet.

slide35

20-an jelentkeztek körmérkőzéses lebonyolítású sakkversenyre. Összesen hány meccset játszottak, ha mindenki mindenkivel csak egyszer játszott?

Egy játszmához két ember szükséges.

Vagyis: hányféleképpen tudunk 2 főt 20 közül sorrendfüggetlenül választani?

Ez 20 elem másodosztályú kombinációja.

20 fő között összesen 190 játszma volt a körmérkőzéses sakkversenyen.

h ny szelv nyt kell megv s rolni az t s lott biztos nyerem ny hez
Hány szelvényt kell megvásárolni az ötös lottó biztos nyereményéhez?

Vagyis: hányféleképpen tudunk 5 elemet 90 közül sorrendfüggetlenül választani?

Ez 90 elem ötödosztályú kombinációja.

Az ötöslottó biztos főnyereményéhez 43 949 268kitöltött, különböző szelvény szükséges.

h ny szelv nyt kell megv s rolni a hatos lott biztos nyerem ny hez
Hány szelvényt kell megvásárolni a hatos lottó biztos nyereményéhez?

Vagyis: hányféleképpen tudunk 6 elemet 45 közül sorrendfüggetlenül választani?

Ez 45 elem hatodosztályú kombinációja.

A hatoslottó biztos főnyereményéhez 8 145 060kitöltött, különböző szelvény szükséges.

slide38
Egy 30 fős osztályban 10 fiú, és 20 lány van. Hányféleképpen választhatunk ki 5 főt, hogy pontosan 2 fiú legyen?

A fiúk közül 10 főből 2-t kell sorrend-függetlenül,

A lányok közül 20 főből 3-t kell

sorrend-függetlenül választani.

10 fiúból 2-t és 20 lányból 3-t 51300-féleképpen lehetkiválasztani.

slide39

Pista bácsi az ötszemélyes skodájával 12 embert el szeretne szállítani, de a szabályok betartásával ezt 3 fordulóval tudja csak teljesíteni. Hányféleképpen teheti?

Először 12 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül,

azután már csak 8 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül,

végül már 4 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül választania.

Pista bácsinak 34650 lehetősége van a fuvarozásra.

slide40

Zsolti bácsi az ötszemélyes audijával 12 embert el szeretne szállítani úgy, hogy első fuvarban Mari nénit elvigye. 3 fordulóval tudja csak teljesíteni a fuvarozást. Hányféleképpen teheti?

Először 11 fő közül 3-t kell sorrend-függetlenül (Mari néni a negyedik utas),

azután már csak 8 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül,

végül már 4 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül választania.

Zsolti bácsinak 11550 lehetősége van a fuvarozásra,ha Mari nénit az első körben el kell vinnie.