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第七章 多元函数微分学

第七章 多元函数微分学. | |. 7.1 向量代数与空间解析几何. 向量的概念 :. 向量：. 既有大小又有方向的量. 向量表示：. 或. 向量的大小. 向量的模：. 或. 单位向量：. 模长为 1 的向量. 或. 零向量：. 模长为 0 的向量. 空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量. 自由向量：. 不考虑起点位置的向量. —— 本书讨论的是自由向量. 相等向量：. 大小相等且方向相同的向量. 负向量：. 大小相等但方向相反的向量. 向径：. ‖. 向量的线性运算 :. [1] 加法：.

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第七章 多元函数微分学

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  1. 第七章 多元函数微分学

  2. | | 7.1 向量代数与空间解析几何 向量的概念: 向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 或 向量的大小. 向量的模： 或 单位向量： 模长为1的向量. 或 零向量： 模长为0的向量.

  3. 空间直角坐标系中任一点与原点构成的向量. 自由向量： 不考虑起点位置的向量. ——本书讨论的是自由向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量. 向径：

  4. ‖ 向量的线性运算: [1] 加法： （平行四边形法则） （三角形法则） 分为同向和反向 特殊地：若

  5. 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） [2] 减法

  6. [3] 向量与数的乘法

  7. 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 关于两个向量的平行关系有如下结论：

  8. 非零向量单位化:

  9. Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系: 1、坐标系 空间直角坐标系 有三个坐标面和八个卦限

  10. 坐标轴上的点 坐标面上的点 有序数组 空间的点 特殊点的表示:

  11. 2、向量的坐标分解式 _____向量的坐标分解式

  12. 利用坐标作向量的线性运算: 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式

  13. 向量的模与方向角、投影: 1、向量的模

  14. 空间两点间距离公式

  15. 解 原结论成立.

  16. 非零向量 的方向角： 2、方向 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.

  17. 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向. 向量模长的坐标表示式

  18. 当 时， 向量方向余弦的坐标表示式

  19. 方向余弦的特征 特殊地：单位向量的方向余弦为

  20. 3、向量在轴上的投影

  21. 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 解

  22. 解

  23. 两向量的数量积: 1. 定义 数量积也称为“点积”、“内积”.

  24. 2. 数量积的性质

  25. 若 、 为数： 3. 数量积符合下列运算规律： （1）交换律： （2）分配律： （3）结合律：

  26. 4. 数量积的坐标表达式 设

  27. ——两向量夹角余弦的坐标表示式 两向量垂直的充要条件为

  28. 平面及其方程： 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 量 求该平面的方程. 则有 故 ① 称①式为平面的点法式方程, 法向量.

  29. 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 时, 平面方程为 此式称为平面的截距式方程.

  30. 设有三元一次方程 平面的一般方程： ② 任取一组满足上述方程的数 则 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 显然方程②与此点法式方程等价, 因此方程②的图形是 的平面, 此方程称为平面的一般 法向量为 方程.

  31. 特殊情形： • 当D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于x轴; 平行于y轴的平面; •A x+C z+D = 0 表示 •A x+B y+D = 0 表示 平行于z轴的平面; •C z + D = 0 表示 平行于 xOy面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yOz面 的平面； •B y + D = 0 表示 平行于 zOx面 的平面.

  32. 例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程

  33. 三、两平面的夹角 两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角的余弦为 即

  34. 特别有下列结论：

  35. 例4. 一平面通过两点 和 且 垂直于平面∏: x + y + z = 0,求其方程 . 解:设所求平面的法向量为 则所求平面 方程为 即 故 的法向量 因此有 约去C , 得 即

  36. 例5. 设 是平面 外一点,求 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 在平面上取一点 ,则P0到平面的距离为 (点到平面的距离公式)

  37. 解:设球心为 例6. 求内切于平面x + y + z = 1与三个坐标面所构成 四面体的球面方程. 则它位于第一卦限,且 故 因此所求球面方程为

  38. 空间直线方程： 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， 因此其一般式方程 (不唯一)

  39. 2. 对称式方程 已知直线上一点 和它的方向向量 设直线上的动点为 则 故有 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 说明:某些分母为零时, 其分子也理解为零. 例如, 当 直线方程为

  40. 3. 参数式方程 设 得参数式方程 :

  41. 1. 两直线的夹角 线面间的位置关系： 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 设直线L1, L2 的方向向量分别为 则两直线夹角 满足

  42. 特别有:

  43. 例2.求以下两直线的夹角 解: 直线L1的方向向量为 直线L2的方向向量为 二直线夹角 的余弦为 从而

  44. ︿ 2.直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角称为直线与平面间的夹角; 当直线与平面垂直时,规定其夹角为 设直线L 的方向向量为 平面 的法向量为 则直线与平面夹角满足

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