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现代控制理论基础. 2.2 线性定常连续系统 Φ ( t ) 的算法. 2.2.1 拉氏变换法 Φ ( t ) = e At = L 1 [( sI A ) 1 ] 1. 对低阶系统（三阶以下）计算较方便，写出的结果是解析式，在实际中最常用。 2. 对于高阶系统，求逆比较的困难。 2.2.2 幂级数法 —— 直接计算法. 是一种无穷开式，很难写成闭式，一般采用近似计算，精度将取决于所取项数的多少，适合于计算机计算。. 例：已知系统的状态方程为. 试求其状态转移矩阵。. 解：将 A 阵代入幂级数展开式.
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2.2 线性定常连续系统Φ(t)的算法 2.2.1 拉氏变换法 Φ(t) = e At = L1[(sI A)1 ] 1.对低阶系统（三阶以下）计算较方便，写出的结果是解析式，在实际中最常用。 2.对于高阶系统，求逆比较的困难。 2.2.2 幂级数法——直接计算法 是一种无穷开式，很难写成闭式，一般采用近似计算，精度将取决于所取项数的多少，适合于计算机计算。
例：已知系统的状态方程为 试求其状态转移矩阵。 解：将A阵代入幂级数展开式
2.2.3 对角形法与约当形法 1.矩阵A的特征值 1， 2，… , n互不相同，其状态转移矩阵可由下式求得 其中：P是使A化成对角线标准形的线性变换矩阵。
利用对角线法 eAt的方法: 1. 求 1， 2，… , n; 2. 求特征矢量： P1 ，P2 ，… ，Pn; 3. 写出变换阵 P=[P1 P2 … Pn], 求出P 1; 4. 求 eAt。 特点：求P阵比较麻烦，常用于理论推导。
例：已知 用对角形求Φ(t)。 解 ：1.求特征值：
3.求P，P-1： 4.求eAt：
其中：Q是使A化为约当标准形J的线性变换阵。 证明:若A阵具有重特征值，且每个互异特征值对应一个独立的特征矢量，则必存在一个非奇异阵Q，使A阵化为约当标准形J。 则 J=QAQ-1
其中：若Ji为J的约当块，则eJit为Φ（t）中对应的约当块。其中：若Ji为J的约当块，则eJit为Φ（t）中对应的约当块。
步骤：求 eAt的方法同对角形求法相一致 1.求λi； 2.求Qi ； 3.求eAt=QeJtQ-1
例：已知 用对角形法求Φ(t)。 解 ：
2.2.4 化 eAt为A的有限项法： 1.基本概念: 1）矩阵A的零化多项式： 定理：设有变量s的多项式 ，矩阵A是n×n阶方阵，若满足： 则称 为矩阵Ａ的零化多项式。
2).Caley—Hamilton定理 定理：矩阵Ａ的特征多项式是Ａ的零化多项式。 证明：
eAt能化成有限项的依据： 则An可表示成 由凯—哈定理知：
由此可推得： 上式表明：对于k≥n，Ak均可用 An-1，…，A,I这n个独立项的线性组合来表示。所以可将eAt无穷项化成有限项。
式中， —n个待定系数，是t的标量函数。 故可令： 2.待定系数 的求法 第一种情况：A的特征值互异 按上式对n个根都有以下结果即
3.待定系数i(t)的求法 第一种情况：A的特征值互异
例：已知 试用化eAt为A的有限项法求eAt。
解：1.求特征值 2.求系数i(t)
第二种情况：A有相重特征值 设A有n重特征值λ1，则按以上方法必有下式
第三种情况：系统有单根，也有重特征根 例：已知系统矩阵 试用化eAt为A的有限项法求eAt。 解：1.求特征值：
3）矩阵A的最小多项式： 定义：A的零化多项式中，次数最低的首一零化多项式，称为A的最小多项式。用 表示。 的求法： 定理：设A的伴随矩阵 全部元素的最大公因子为d(s)则.
注：1.该定理证明要用到矩阵多项式的概念. 2.计算 要先求 。将 各元变为因子相乘的多项式。从中找出各元的最大公因子 ，且 取首1多项式的形式. 例： 已知： 试求A的最小多项式并验证凯—哈定理。
解： 1.
所以最大因子： 故A的最小多项式为： 进一步可验证上式是以A为根的零化多项式
