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第六章 常態分配

第六章 常態分配. 某次 IQ 測驗有 1 萬人參加. 平均分數為 100 分，標準差為 15 分， 且 IQ 測驗成績直方圖呈鐘形， 約有 6800 人的成績在 85 分到 115 分之間，約有 9500 人的成績在 70 分到 130 分之間，約有 9970 人的成績在 55 分到 145 分之間， 也可由此推得 IQ 成績低於 55 分約有 15 人，而 IQ 超過 145 分的大約有 15 人. 中國人常講 〝 萬一 〞 ，. 表示 〝 一萬次中最多只有可能一次發生 〞 的事件為意外。. 依統計的說法.

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第六章 常態分配

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Presentation Transcript

  1. 第六章 常態分配

  2. 某次IQ測驗有1萬人參加 • 平均分數為100分，標準差為15分， 且IQ測驗成績直方圖呈鐘形， • 約有6800人的成績在85分到115分之間，約有9500人的成績在70分到130分之間，約有9970人的成績在55分到145分之間， • 也可由此推得IQ成績低於55分約有15人，而IQ超過145分的大約有15人

  3. 中國人常講〝萬一〞， • 表示〝一萬次中最多只有可能一次發生〞的事件為意外。

  4. 依統計的說法 • 統計學家則以〝20次實驗中最多只有1次發生〞，此種機率低於5%的事件為異常。 • 10000人中大約會有500位是異常的， 其中優良者有250位，而不佳者有250位

  5. 例如，在IQ測驗中 • 平均分數是100分，標準差為15分， • IQ超過130分者為智優， 低於70分者為智劣

  6. IQ成績直方圖

  7. IQ成績直方圖頂邊中點連線

  8. IQ成績次數分配折線圖

  9. IQ成績常態分佈圖

  10. 常態曲線

  11. m s 2 , 1 p s 2 常態曲線圖 N ( ) f m

  12. 鐘形分佈

  13. 例6.1、燈泡壽命直方圖呈鐘形

  14. 6.2 標準常態分配及查表

  15. 標準常態分配密度函數呈對稱鐘形

  16. 標準常態的性質

  17. 2 1 - z £ £ = = b b 1 P ( a Z b ) f ( z ) dz e dz ò ò 2 a a p 2 a b

  18. 分配函數(Distribution Function)

  19. 例6.2 求(1) (1.35) (-2.17) 由查表得 • (1) = 0.8413 • (1.35) = 0.9115 • (-2.17) = 1- (2.17) = 1- 0.9850= 0.0150

  20. 例6.4、若Z ~ N(0,1)，求下列各機率值

  21. 0.45 0.30 68% 0.15 95% 99.7% 0.00 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 圖6.11 經驗法則(68%,95%,99.7%)

  22. 圖 6.12 給α求zα zα

  23. 例6.5求 z0.01z0.025z0.05z0.1 由查表 (1) z0.01 = 2.33 (2) z0.025 = 1.96 (3) z0.05 = 1.645 (4) z0.1 = 1.28

  24. 6.3 資料標準化的應用

  25. 例6.6 • 某產品規格訂為20  1公分，但製造的產品平均數是m =19.8公分，s=0.5公分。 • 試問 (1) 產品中合格的比例是多少？ (2) 問產品中有多少比例是超過規格上界？

  26. 寫成數學式子為X ~ N(19.8, 0.5) (1) P (19 <X < 21) = ?

  27. (2) P(X>21)= ?

  28. 例6.7 • 某生國文考80分，數學考60分， 是否此生在班上國文表現比數學好？

  29. 例6.8 成績標準化算法： • 某次考試全班考的不理想，老師想給學生加分，如何加分才算公平呢？

  30. 傳統上有三種做法 (1)所有學生一律加a分 (2)開平方再乘以10，如某生考16分 則開平方再乘以10，加分後變成40分。 (3)分數乘a再加b分， 但問題是a,b如何取才好？

  31. 解決之道是利用標準化方式 得標準化成績後乘以a再加b 其中a表示老師想給的全班標準差， b表示老師想給全班的平均分數。

  32. 例如原先全班平均分數50分、標準差6分 但老師想調為全班平均70分、標準差8分 則某生原先考62分，標準化分數為， 因此加分後得2×8+70=86分。

  33. 很多離散型隨機變數其機率分配圖 長相也有中間高、兩邊低的現象， • 例如第五章例5.25 (其中p=0.5、0.2、0.8三個二項分配機率圖 • ( 尤其是p=0.5)都像一鐘形

  34. 當很大時，以二項分配求此機率值不容易

  35. 修正公式

  36. 二項分配線圖

  37. P(a≦x≦b)=P(a)+P(a+1)+…+P(b)

  38. 二項分配長方形面積

  39. 常態分配近似二項分配

  40. 例6.9、(例5.13續) • 分別以 (1)二項分配 (2)常態分配 • 求 =?

  41. 二項分配

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