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复合函数求导法则与隐函数的求导. 一、复合函数的求导法则 二、隐函数的求导法则 三、对数求导法. 证 由 得到. 当 时，由 u=g ( x ) 可导知 u=g ( x ) 连续，. 一、 复合函数的求导法则. 定理 3.6 设 u=g ( x ) 在 x 可导， y=f ( u ) 在相应点 u=g ( x ) 可导，则复合函数 y=f ( g ( x )) 在 x 可导，且有.
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复合函数求导法则与隐函数的求导 一、复合函数的求导法则 二、隐函数的求导法则 三、对数求导法
证 由 得到 当 时，由u=g(x)可导知u=g(x)连续， 一、复合函数的求导法则 定理3.6设u=g(x)在x可导，y=f(u)在相应点u=g(x)可导，则复合函数y=f(g(x))在x可导，且有
此时必有 或者 .因而总有 .故 复合函数的求导法则一般称为链式法则，它也适用于多层复合的情况.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，则只要满足相应的条件，复合函数y=f(g(h(x)))就可导，且有
解 令 例8设y=sin3x，求 .
解 令 例9设y=lncos x，求 .
解 令 例10设
解 例11设
解 例12设y=ln(x+tan x)，求 .
解 例13
例14计算 解 若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初等函数求导时，就可以“一步到位”.
解 例15
解 例16
经过t秒人走过的距离为x=2t，船走过的距离为y= t,此时人与船的距离为s,则s满足 解 例17一人以2米/秒的速度通过一座高为20米的桥，在此人的正下方有一小船以 米/秒的速度与桥垂直方向前进，求第5秒末人与小船的分离速度. 两端关于t求导，得
二、隐函数的求导法则 隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问题是通过方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，如何来求 .容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导”不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的.对于隐函数求 自变量x和因变量y是通过一个方程建立起函数关系.比如 建立了x和y之间的关系，此时对应规则是对x在允许范围内的每一个值，y将以方程的解与之对应，这种函数称为隐函数.
导，可以采用这样的方法：首先在等式两边对x求导,遇到y时将其认作中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含 的方程，解出 即可.
解 两边对x求导，得 解方程得 例18设y=y(x)由 确定，求 .
解 例19求隐函数 的导数
解 切线斜率 法线斜率 所以切线方程为 法线方程为 例20求椭圆曲线 处的切线方程和法线方程.
三、对数求导法 在求导运算中，常会遇到下列两类函数的求导问题，一类是幂指函数，即形如 的函数，一类是一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数. 所谓对数求导法，就是在y=f(x)的两边分别取对数，然后用隐函数求导法求导的方法.
用对数求导法，则两边分别取对数 解 两边对x求导，得 所以 例24
解 例25
