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§13 ． 4 一次函数

§13 ． 4 一次函数. 一、学习目标. 1 ．理解正比例函数、一次函数的概念； 2 ．能根据实际问题中的条件，写出正比例 函数和一次函数的解析式． 3 ．了解正比例函数与一次函数的区别与联 系，体会事物间的特殊与一般的辩证关 系．. 二、重点难点. 本节的重点是：一次函数和正比例函数的定 义与确定解析式的方法． 本节的难点是：确定实际问题中的函数解析式． 在中考中，确定实际问题中的函数解析式和

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§13 ． 4 一次函数

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  1. §13．4 一次函数

  2. 一、学习目标 1．理解正比例函数、一次函数的概念； 2．能根据实际问题中的条件，写出正比例 函数和一次函数的解析式． 3．了解正比例函数与一次函数的区别与联 系，体会事物间的特殊与一般的辩证关 系．

  3. 二、重点难点 本节的重点是：一次函数和正比例函数的定 义与确定解析式的方法． 本节的难点是：确定实际问题中的函数解析式． 在中考中，确定实际问题中的函数解析式和 函数自变量的取值范围是重点考查题型．

  4. 三、新课 1．利用定义，确定解析式中的待定字母 例1在 中，当常数n为何值时， y是x的正比例函数？ 【分析】要使函数为正比例函数，必须使系数n2－1≠0，且指数n2＋n－1＝1，由此可求得n的值． 【解】由题意，得 n2＋n－1＝1，且n2－1≠0， 故可解得 n＝－2或n＝1，且n≠±1． ∴　n＝－2． ∴　当n＝－2时，y是x的正比例函数．

  5. 【点评】(1)对于一个正比例函数解析式y＝kx， 要明确x的指数为1，同时其系数不等于0． (2)与本题类似的其他变式题有： 若函数y＝(3m－2)x2＋(1－2m)x(m为常数)是 正比例函数，则m的值为() (A)m＞(B)m＜(C)m＝　　(D)m＝ 三、新课 例1在 中，当常数n为何值时， y是x的正比例函数？

  6. 例2在一次函数y＝(m－3) 3中， 若x≠0， 则m的取值为_______． 【分析】此解析式中有两项含有自变量x，故当(m－3) 为一次项时，可与x合并同类项；当(m－3) 为常数时，与3合并，都可能使解析式为一次函数，故要分类讨论． 三、新课

  7. 例2在一次函数y＝(m－3) 3中， 若x≠0， 则m的取值为_______． 三、新课 【解】(1)当m－3＝0即m＝3时，y＝x＋3是一次函数； (2)当m－3≠0时，由m－1＝1得m＝2，此时y＝－x＋x＋3＝3不是一次函数，舍去．当m－1＝0即m＝1时，y＝－2x0＋x＋3＝x＋1是一次函数． ∴　m＝3或1．

  8. 【点评】(1)求一次函数的解析式中的待定字母的值，要同时讨论化简后解析式自变量的指数(等于1)和系数(不等于0)．本例中含自变量x的项有两项，既要考虑有待定字母的含x项为常数时，解析式为一次函数；又要考虑此项为一次项时，与另一个一次项合并后，可能为一次函数，也可能不为一次函数．【点评】(1)求一次函数的解析式中的待定字母的值，要同时讨论化简后解析式自变量的指数(等于1)和系数(不等于0)．本例中含自变量x的项有两项，既要考虑有待定字母的含x项为常数时，解析式为一次函数；又要考虑此项为一次项时，与另一个一次项合并后，可能为一次函数，也可能不为一次函数． (2)与本题类似的其他变式题有：当m＝_________时，函数y＝(m＋3) ＋4x－5(x≠0)是一个一次函数． 三、新课 例2在一次函数y＝(m－3) 3中， 若x≠0， 则m的取值为_______．

  9. 三、新课 2．求实际问题中的函数解析式 例3从A地向B地打长途电话，按时收费，3 分时间之内收费2.4元，3分后每加1分 收1元(不足1分按1分计算)，求t≥3(分) 时电话费y(元)与t(分)之间的函数关系式． 【分析】本题中的相等关系为：t(t≥3)时电话费y＝3分内的电话费＋(t－3)分的电话费． 【解】由题意，得y＝2.4＋(t－3)·1＝t－0.6， 即　y＝t－0.6(t≥3)．

  10. 例3从A地向B地打长途电话，按时收费，3 分时间之内收费2.4元，3分后每加1分 收1元(不足1分按1分计算)，求t≥3(分) 时电话费y(元)与t(分)之间的函数关系式． 【点评】(1)实际问题中的函数关系式的建立关键是找到问题中隐含的相等关系． (2)解本题易错的是未能正确理解分段收费的意义，在列式时，计算3分后的电话费时，没把时间t减去已收费的前3分，写成y＝2.4＋t·1． (3)与本题类似的其他变式题有： 学校为创建多媒体教学中心，备有资金180万元，现计划分批购进电脑x台，每台电脑售价6千元，求所剩资金与电脑台数之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

  11. 练 习 (一)选择题： 1．下列函数中，正比例函数是 () (A)y＝－3x(B)y=3x＋3 (C)y＝－3x2(D)y＝ A

  12. 练 习 (一)选择题： 2．下面各题中，成正比例关系的有 () (A)人的身高与体重 (B)正三角形的面积与它的边长 (C)买同一练习本所要的钱数与所买本数 (D)从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C

  13. 3．已知下列函数： (1)y＝3－2x；(2)y＝ x；(3)y＝ ＋2； (4)y＝ ；(5)y＝ ＋2． 其中一次函数有 () (A)2个　　(B)3个　　(C)4个　　(D)5个 练 习 (一)选择题： A

  14. 2．当m＝_______时，函数y＝(m2＋m) 为一次函数． 练 习 (二)填空题： 1．如果y＝(m2－1)x是正比例函数，则m的取 值范围是________． m≠±1 2

  15. 练 习 (二)填空题： 3．某油箱中有油20升，油从管道中均匀流出， 100分时间可以流尽，则油箱中余油量Q(升)与 流出时间t(分)之间的函数关系是__________， 自变量t的取值范围是___________． Q＝20－0.2t 0≤t≤100

  16. (三)解答题： 1．已知y＝P＋Z，P为常数，Z与x成正比例， 且x＝2时，y＝1；x＝3时，y＝－1．(1) 写出y与x间的函数关系式；(2)如果x的 取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围． (1)y＝－2x＋5 (2)1≤x≤4时，有－3≤y≤3

  17. (三)解答题： 2．设有三个变量x，y，z，其中y是x的正 比例函数，z是y的正比例函数， 求证z是x的正比例函数． 【证明】由题意设①y＝k1x，②z＝k2y， 其中k1，k2是不等于0的常数． 把①代入②式，得z＝k1k2x，此时k1·k2是 一个不等于0常数，故z是x的正比例函数．

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