Szimulacios Modszerek

1. 4 evMernokiInformatika BBTE MatematikaesInformatika SzimulaciosModszerek

2. Szimulacio Tudomanyoskutatasbanketteruletletezett kb az 1600as evektol (Galileikiserletei): ez a ketterulet a kiserletesazelmelet Azelmeletmatematikaileirast ad a jelensegekre – kepleteketirfelamelyekosszefuggeseketallapitanak meg – ennekprediktiverteke van

3. Szimulacio A kiserletmereseketvegez, ugy, hogykozbenegyvagytobbparametertellenorzottmodonmegvaltoztat – esugyhogyegyvagytobbkulsotenyezohatasatkikuszobolivagyminimizalja Azelmeletes a kiserletszoroskapcsolatbanallnakegymassal: azelmeletaltalelorekiszamolthatasokatellenoriznilehet

4. Szimulacio A kiserletsoraneszleltujjelensegekremagyarazatotkellkeresnielmeletileg Azelmeletigyegyrejobbmatematikaimodelleketgyartamelyekegyrejobbanleirjakaztami a “valosagban” azaz a kiserletekbentortennek

5. Szimulacio Azelsokiserletet Galileo Galileivegezte a pisaiferdetoronybol (1589): kihajitottegy fem esegyfagolyotamelyekazonosmeretuekvoltak Arisztoteleszszerint a nehezebbtargyhamarabbkelleneleessen (tehat a vasgolyohamarabbkelleneleessen mint a fagolyo), viszontegyszerreerkeztek meg

6. Szimulacio Arisztotelesz a surlodasmiattgondoltaaztamitgondolt: mindenholjelen van a surlodaskorulottunk. Viszontazegyszeruesetazhogyhanincssurlodas, ebbenazesetbenegy test mozogni fog amigegyeronem hat rahogymegallitsa. Ehhezkellhozzaadni a surlodasthogyleirjukaztazesetetamikor van surlodas. Kiserlet > atirtaazelmeletet

7. Szimulacio A Galileikiserletet el lehetvegezniegyvakumcsoben is – ezazamikorkiiktatjukazegyiktenyezot a kiserletbol (a levegovelvalosurlodast). A matematikaileiras a lehetolegegyszerubbkelllegyen (Occam borotvaja) escsakakkorteszunkhozza ha szuksegeshozzatenniahhozhogyleirjunkvalamit

8. Szimulacio Szuperpozicioelve: kulon-kulon le lehetirni a hatasokatesezekegyutteshatasa a hatasokosszege f(x1+x2) = f(x1) + f(x2) Vagyis a rendszerunklinearisesfelbonthatokomponensekreesmegertheto a komponensekmegertesealapjan

9. Szimulacio Pl. egy test esetenahhozhogymegertsuk a viselkedeset, felbontjukegyszerukomponensekre, megertjukezenegyszerukomponensekviselkedesetesosszegezzukezt a viselkedesthogymegertsuk a nagymeretu (makroszkopikus) test viselkedeset Mikroszkopikusleiras > Makroszkopikusviselkedes

10. Szimulacio Mikroszkopikusleiras > Makroszkopikusviselkedes Termodinamika: leirunkegyatomotvagymolekulat, ebbol a leirasbolkiszamolhatjukazthogynagyonsok (10^26) atom vagymolekulahogyanviselkedik

11. Szimulacio Mikortudjukeztmegcsinalnimatmatikailag? Ha azatomokfuggetlenekegymastoleselegegyetlenatomramegoldani a problemat (peldaulidealisgazmodelljeeseten) Ha fuggetlenek, esnemviselkedikminden atom ugyanugy, de ismerjukazeloszlast > StatisztikusFizika

12. Szimulacio Pelda: idealisgazmodellje Szukseg van arrahogyleirjamegyetlenmolekulamozgasat: egytomeggelrendelkezokispontnakveszemaminek a mozgasegyenletet a Newton torvenyeadja meg f=ma. Idealisgazeseteneltekintek a gravitaciotoles a molekulakkozottikolcsonhatastol: csakazutkozesekszamitanak

13. Szimulacio Idealisgazmodellje Azutkozesekkozul is csak a falakkalvaloutkozesekettekintem. Ebbenazesetben a reszecskekimpulzusamegvaltozik p=mv azimpulzus Δp=2mvxazimpulzusvaltozas a falnalΔt = 2L/vxidonkenterkezik meg ujbol ide

14. Szimulacio F=Δp/Δtazeroamivel hat a falra F=2mvx2/2L = mvx2/L p=F/A = F/L2 a nyomasezen a falon p = mvx2/L3 Most terek at arrahogyhogyanosszegzemeztmindenmolekulara: atlagbanmekkora a vxsebessegukeztkellfigyelembevegyem

15. Szimulacio p = N m<vx2>/L3 (L3=V) Ahol a <vx>-el azatlagossebessegetjelolom Ugyanolyan a sebessegx,y,ziranyba <vx2> = 1/3 <v2> pV = νNAm 1/3 <v2> aholhasznalomaz Avogadro-szamot (molekulakszama/mol)

16. Szimulacio pV = νNAm 1/3 <v2> Osszekellhozniazatlagsebessegetegymakroszkopikusmennyiseggel – ehhezkellenetudjamhogyoszlik el a molekulakmozgasienergiaja (statisztikusfizika) m<v2>/2 = 3/2kT mindenszabadsagifokraugyanannyienergia jut amiaranyos a homerseklettel pV = νNAk T ami mar csakmakroszkopikus

17. Szimulacio pV= νNAk T ; NA k=R pV = νRTaltalanosgaztorveny, nagyonhasznosmindenfelefolyamatleirasara (izochor, izobar, izoterm, politropstballapotvaltozasokra), le lehetveleirnijol a hoerogepekmukodesetstb. Azeredetimodellegyszerusegebolkovetkezikhogynemmindenttudleirni pl. amikorcseppfolyositjak a gazakat

18. Szimulacio Ezta modellt meg kilehetboviteniarrahogyleirja a cseppfolyositast, ekkorfigyelembekellvenni • Azthogy a molekulaknak van sajatterfogata • Azthogy van kozottukegyvonzoero

19. Szimulacio Ha azatomoknagyonszorosanfuggnekegymastol (plegykristalyracsbanvannak) de ez a kolcsonhatasugyanugynezkimindenholes a szerkezetperiodikus (ekkorugyanisszintenleirhatokegyetlenatomot, illetveazeloszlasokatismervekitudomszamolni a rendszerviselkedeset) Elmeletileiras <-> kiserletimeresek

20. Szimulacio Mikorlehetgondazhogykiszamoljam a makroszkopikusviselkedest a mikroszkopikusleirasalapjan? Ha nemfuggetlenekegymastolazatomok/molekulak: a kolcsonhatasnemelhanyagolhatoviszontnem is annyiraeros mint egyszilardkrisztalybanaholismetugyanolyan (periodikusan)

21. Szimulacio Folyadekokranemtudtakegytesztelhetomodelltkesziteni. Azelsokonyvamitszamitogepesszimulaciorolirtak, azAllen and Tildesley "Computer Simulation of Liquids” Azegyenleteketnemanalitikusanhanemnumerikusanoldjuk meg.

22. Szimulacio Mitjelentazegyenleteknumerikusmegoldasa?Aztjelentihogykiszamoljuk a reszecskekpalyajatazidofuggvenyeben, tehatmindenreszecskeremegkapjukaz x(t) y(t) es z(t) egyenleteket. Mivelnumerikus a megoldas, nemmagat a fuggvenytkapjuk meg hanem a fuggvenyertekeitegysorozatban x(t0), x(t0+dt), x(t0+2dt), x(t0+3dt), …

23. Szimulacio Ahhozhogyezt a megoldastmegkapjuk, szuksegunk van azegyetlenreszecsketleiromozgasegyenletre (equation of motion). Esetunkbenez a mozgasegyenlet a klasszikus Newton 2. torvenyelesz: f = ma ahol a=d2x/dt2 d2x/dt2 = 1/m f ezt a differencialegyenletetkellmegoldanimindenreszecskere

24. Szimulacio d2x1/dt2 = 1/m f1(x1,x2,x3,…) d2x2/dt2 = 1/m f2(x1,x2,x3,…) … ez a csatoltdifferencialegyenlet-rendszerunkvan.Ezazertcsatoltmertazerokkiszamolasabannemelegtudnicsakazilletoreszecskepoziciojat, hanemtudnikellmindenreszecskepoziciojat – tehatazegyenleteketegyszerrekellmegoldani

25. Szimulacio • lepes: megadnimindenreszecskepoziciojatessebesseget (hatarfeltetelek a differencialegyenlethez) • lepes: kiszamolnimindenerotami a reszecskekre hat: eztmegtehetjukmertismerjukazosszespoziciotessebesseget • egykislepestmegtennimindenreszecskevel– egyroviddtideigugytekintjukhogyazerokallandok

26. Szimulacio A 3. lepesutanujbolmegvannak a reszecskekpozicioiessebessegei, igy a 2. lepestujramegtehetjuk. A 2. es a 3.as lepestegymasutannagyonsokszorvegrehajtjuk (millioszor is) esigyfokozatosanmegkapjuk a reszecskekpalyajat, azx,y,zszamsorozatokat Szimulaciokbannemritkaesetazhogy a dtpikoszekundumnagysagrendumig a teljesidonanovagymikroszekundumnagysagrendu

27. Szimulacio Miez a kolcsonhatasieroamitkiszamolunk a reszecskekkozott? f1(x1,x2,x3,…)-el jeloltuk ez a rendszerben a reszecskeesminden mas reszecskehelyzetetolfuggigyaltalanosanfelirva. Felszoktakbontanikulonbozoosszegekreeztazerot, egyreszecske, ketreszecske, haromreszecskestb. kolcsonhatasra

28. Szimulacio f1(x1,x2,x3,…) = f1(x1) + Σf1(x1,xi) + Σ f1(x1,xi,xj)+ Σ f1(x1,xi,xj,xk)+ … az a tag aholcsak a reszecskekoordinatajaszerepel, az a kulsoeroketjelenti, ezekfugghetnekattolhogy a reszecskehol van a rendszerben (plaramlasegycsoben: azt a reszecsketamelykozepen van nagyobberovel huzza azaramlas mint ami a falkozeleben van)

29. Szimulacio Σf1(x1,xi) ez a paronkentikolcsonhatas (pairwise interaction) – ennek van a legnagyobbszerepe a rendszerbenesennek a szamolasa a legtobbmunka a molekularisdinamikaszimulaciofutasasoranΣ f1(x1,xi,xj) ez a harom-test kolcsonhatas, eztsokszorelhanyagoljak de vannakesetekamikorfontos (plelasztikusgombokvagydiszkekesetenez a tag nagyonfontos)

30. Szimulacio Σf1(x1,xi) hogy hat kolcsonket atom (molekula)? Vegyuk a semlegesatomokestetet. Ebbenazesetben a kolcsonhatastjolleirja a Van der Waals kolcsonhatas: nagyontavolegymastolazatomoknemhatnakkolcson, egyadotttavolsagonbelulvonzzakegymast, mighogyhatulkozelkerulnekegymashozakkortaszitjakegymast

31. Szimulacio Ahhozhogyezt a kolcsonhatast (illetvebarmilyenatomokkozottikolcsonhatast) pontosankiszamoljuk, meg kelleneoldaniazatommagokraesazelektronokra is azileltomozgasegyenleteket. Ezek a mozgasegyenletekmar nem a klasszikusegyenletek, hanem a Schrödinger- egyenletetkellenemegoldani: Hψ=Eψ. Ezekbolazegyenletekbolmegkapjuk a ψhullamfuggvenyt

32. Szimulacio A szamitasokatelegelvegeznicsakazelektronokra, mivelazatommagoktomegesokkalnagyobbazelektronoktomegenel, ezertmozgasuk is sokkallassubbesigykulonlehetvalasztani a ketmozgast: azelektronokgyorsesazatommagoklassumozgasat (Born-Oppenheimer kozelites). Igy a megoldasbanelsosorbanazelektronokrakiszamolthullamfuggvenyekerdekelnekminket.

33. Szimulacio A ψhullamfuggvenymagnitudoja (ψψ*) adja meg azelektronokvaloszinusegsuruseget a terben. Ezekkellehetpontosankiszamolniazthogymilyenkolcsonhatas van kulonbozoatomokkozott. Ha a szamolasokbaneztmindigelvegezzukaztazalapoktolindulorendszerneknevezikvagyisab initio szamitasnakesab initio molekularisdinamikanak. Eznagyonszamitasigenyes, viszontpontosmegoldas.

34. Szimulacio A gyakorlatbansokszorezeket a szamitasokatelvegzikegyszeresazigykapottkolcsonhatasthasznaljakfel a tovabbiakbananelkulhogyujrakiszamolnakazelektronokra a megoldasokat. Ez a kvazi-klasszikuskozelites. Ezek a kolcsonhatasipotencialokkivannakszamolvanagyonsokesetreeloreescsakfelhasznaljakoket (AMBER, CHARMM, stb)

35. Szimulacio Nezzunk meg egyilyenpotencialtazegyikelsopotencialtamithasznaltak: Lennard-Jones vagy 6-12-es potencial Ezketsemleges atom kolcsonhatasatirja le. Ezekkozott Van der Waals erokhatnak. Nagyontavollevoatomoknemhatnakkolcson.

36. Szimulacio Nohaazatomoksemlegesek, azelektronfelhokozpontjaesazatommagkozpontjanemmindigesikegybe, ilyenkorletrejonegyelektromosdipolus. Ez a dipolusfluktualesmagakorulegyelektromosterethozletre. Ha ezek a fluktualodipolusokelegkozelvannakegymashozakkorbefolyasoljakegymastugy, hogyvonzoerojonletre a ket atom (vagymolekula) kozott.

37. Szimulacio Ha azatomoknagyonkozelkerulnekegymashozakkorazelektronfelhokatfedodnekesolyankor mar taszitaslepfel. A kolcsonhatasierot le lehetvezetni a kolcsonhatasipotencialbol f(r)= - dU(r)/dr A LJ potencialtazertnevezik 6-12es potencialnakmertegy 1/r6esegy 1/r12 tag is van benne

38. Szimulacio Lennard-Jones (LJ) potencial: r6 a vonzo r12 a taszitoero

39. Szimulacio A LJ potencialtinkabb mar csakbemutatocellalhasznaljak, azanyagokszimulalasarasokkaljobbpotencialokleteznek. Pl az embedded atom potencial, kulonbozoelorekiszamoltpotencialok, polarizalhatopotencialok, stb. Bemutatunk meg egyegyszerupotencialtamitazelsolaborfeladatbanfogunkhasznalni, ez a toltottreszecskekrevonatkozik.

40. Szimulacio Coulomb potencial: f = 1/(4πε0) q1q2/r2 amennyibenkolloidokrolbeszelunkegypolarosfolyadekban, a folyadekarnyekolastvezet be esezazarnyekolasmiatt a kolcsonhatashamarabbesik le (exponencialis tag): f = 1/(4πε0) q1q2/r2 e-ar

41. Szimulacio Egyespotencialokatlevaghatunk, ezaztjelentihogyegyadottrcutofftavolsagontul 0-nak tekintjukazeroket: igyegycsomoszamolastmegsporolunk. Nemmindenpotencialvaghato le: 2 dimenzioban a LJ es a screened Coulomb levaghato, a Coulomb nemvaghato le.

42. Szimuláció Mekkorarendszerttudunkszimulálni?Egymillióatomot? Százmillióatomot? Ezek mind nagyonkisméretekahhozképesthogymekkoraegymakroszkopikusrendszer. A makroszkopikusrendszerugyanis ~1026részecséttartalmazegyetlenkmolbanNemvagyunkképesekennyirészecskétszimulálni: valamitkikelltaláljunk

43. Szimuláció Ha a rendszerbelsejébenlezajlófolyamatokravagyunkkíváncsiak (in the bulk), akkorúgytekinthetjük, hogy a rendszerfeloszthatósokkisrészreamelyeknagytöbbségbenmajdnemugyanúgyviselkednek(a felületnem, de nemazérdekel most). Ezt a majdnemugyanúgy-otkicseréljükarrahogypontosanugyanúgy. Ezzelaztmondjukhogyelégegykisdarabotszimulálniamitsajátmagamásolataivesznekkörül. Ez a periodikushatárfeltétel(PBC)

44. Szimuláció PBC: Periodic Boundary Conditions csakegyetlenkisrésztszimulálunk –a teljesrendszertleírjukezzel

45. Szimuláció PBC: Periodic Boundary Conditions Kétdolgotjelentez a szimulációnkban: • amikoregyrészecskemozgásasoránkikerül a dobozból, akkorazellenkezőoldalonbejön a dobozba (PBC fold back). • amikoregyrészecskeszomszédaitnézzük, azösszesszomszédosdobozzal is számolnikell

46. Szimuláció Azösszesszomszédosdobozzallevőkölcsönhatásszámolása: • ha levágható a potenciál, akkor a doboztolyannagynakvesszükhogycsakegyetlentükörképpelhassonkölcsön a részecske • ha nemvágható le a potenciálakkoregyvégtelensorozatotkellkiszámolni - helyessorrendberakással, csoportosítássalezkonvergál (Ewald summation)