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数学体验性作业 —— 完全数

数学体验性作业 —— 完全数. 蒲思宇. 前言. 这学期在数学资料袋里面出现了完全数，但只是简单的讲了一下，我想继续深入研究，查找一些关于完全数的资料。. 基本概念. 中文名称：完全数 外文名称： Perfect number 又称：完美数或完备数 类型：特殊的自然数 性质 1: 所有的完全数都是三角形数 性质 2: 可以表示成连续奇立方数之和. 定义. 完全数 　　各个小于它的约数（真约数 , 列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数）的和等于它本身的自然数叫做完全数（ Perfect number ），又称完美数或完备数。

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数学体验性作业 —— 完全数

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  1. 数学体验性作业——完全数 蒲思宇

  2. 前言 这学期在数学资料袋里面出现了完全数，但只是简单的讲了一下，我想继续深入研究，查找一些关于完全数的资料。

  3. 基本概念 中文名称：完全数 外文名称：Perfect number 又称：完美数或完备数 类型：特殊的自然数 性质1:所有的完全数都是三角形数 性质2:可以表示成连续奇立方数之和

  4. 定义 完全数 　　各个小于它的约数（真约数,列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数）的和等于它本身的自然数叫做完全数（Perfect number），又称完美数或完备数。 　　例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。

  5. 亏数 对于“4”这个数，它的真约数有1、2，其和是3，比4本身小，像这样的自然数叫做亏数。

  6. 盈数 对于“12”这个数，它的真约数有1、2、3、4、6，其和是16，比12本身大，像这样的自然数叫做盈数。所以，完全数就是既不盈余，也不亏欠的自然数。

  7. 完全数的特有性质 1.所有的完全数都是三角形数 例如： 6=1+2+3 28=1+2+3+4+5+6+7 496=1+2+3+……+ 30+31 8128=1+2+3……+126+127

  8. 完全数的特有性质 2.所有的完全数都是调和数 　　例如： 1/1+1/2+1/3+1/6=2 1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2

  9. 完全数的特有性质 3.可以表示成连续奇立方数之和 　　 除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。例如： 28=1^3+3^3 496=1^3+3^3+5^3+7^3 8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3 33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3

  10. 完全数的特有性质 4.都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和 　　不但如此，而且它们的数量为连续质数。例如： 6=2^1+2^2 28=2^2+2^3+2^4 496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8 8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12 33550336=2^12+2^13+……+2^24

  11. 完全数的特有性质 5.完全数都是以6或8结尾 如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾（目前科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。）

  12. 完全数的特有性质 6.各位数字辗转式相加个位数是1 除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。例如： 28：2+8=10，1+0=1 496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1 8128：8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=1

  13. 完全数的特有性质 7.它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1 　　 除6以外的完全数，它们被3除余1、9除余1、还有1/2被27除余1。例如： 28/3 商9，余1 28/9 商3，余1 28/27 商1，余1 496/3 商165，余1 496/9 商55，余1 8128/3 商2709，余1 8128/9 商903，余1 8128/27 商301，余1

  14. 已发现的完全数 1……6 2……28 3……496 4……8,128 5……33,550,336 6……8,589,869,056 7……137,438,691,328 8……2,305,843,008,139,952,128

  15. 已发现的完全数 9……2,658,455,991,569,831,744,654,692,615,953,842,176 10……191,561,942,608,236,107,294,793,378,084,303,638,130,997,321,548,169,216 11……13,164,036,458,569,648,337,239,753,460,458,722,910,223,472,318,386,943,117,783,728,128 12……14,474,011,154,664,524,427,946,373,126,085,988,481,573,677,491,474,835,889,066,354,349,131,199,152,128

  16. 已发现的完全数 …… …… 47 ……2^42643800 X （2^42643801-1) 48 ……2^57885160 X (2^57885161-1) 　　 由于后面数字位数较多，例子只列到12个，第13个有314位。 　　到第39个完全数有25674127位数，据估计它以四号字打出时需要一本字典大小的书。

  17. 小结 通过这次的研究。我觉得完美数（完全数）真真的非常完美，科学家们也才找出48个完全数来。这次研究我知道了许多知识，但我还想继续了解科学家们是怎样找的，完美数这么少，一个一个的找太慢了。

  18. 谢谢

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