第四节极限的运算法则

第四节极限的运算法则 一、极限的运算法则

一、极限的运算法则 设lim f(x)=A, limg(x)=B, 则定理1 lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x) (=A±B)．定理2 设limf(x)=A, limg(x)=B, 则 lim(f(x)g(x))=(lim f(x))(limg(x))(=AB)．定理3 设limf(x)=A, limg(x)=B,且B≠0，则

注：(1) 以上的定理中，符号“lim”下方没有标明自变量的变化过程，意思是指以上定理对自变量的任何一种变化过程都成立．对每个定理，“lim”表示自变量的同一个变化过程． (2) 以上定理都要求f(x), g(x)的极限存在，商的法则还要求分母的极限不为零．

现证明定理2， 因为limf(x)=A, limg(x)=B，由第四节定理1， f(x)=A+α(x)，g(x)=B+β(x)，其中α(x)、β(x)为无穷小，并简记作α、β，所以 f(x)·g(x) =(A+α)(B+β) =AB+(Bα+Aβ+αβ) 由第四节定理3及其推论，Bα、Aβ、αβ 都是无穷小，且Bα+Aβ+αβ也是无穷小，再由第四节定理1， Lim[f(x)g(x)]=AB=[limf(x)][limg(x)]．

定理1和定理2可以推广到有限个函数的 情形．例如limf(x)、limg(x)、limh(x)都存在，则 lim[f(x)+g(x)+h(x)]=limf(x)+limg(x)+limh(x)．推论1 如果limf(x)存在，c为常数，则 lim(cf(x))= c limf(x)．推论2 如果limf(x)存在，n∈N, 则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n．

. 任意x0∈R，证明例1设Pn(x)= a nx n+an-1x n-1+…+a１x+a０，证由例1可见，求当x→x0时多项式函数Pn(x)的极限，只要计算Pn(x)在x0的函数值Pn(x0)．

例2求 例3 设 , 其中Pn(x)、Pm(x)分别解表示x的n次、m次多项式，Pm(x0)≠0，证明证由定理3和例1，

例4求 解因为2·2３-22+1=13≠0，由例3，例5求解x→1时，x2-1→0，x2+x-2→0．因此不能用商的极限的运算法则.

以上这种两个非零无穷小的比的极限， 通常记为“ ”．由于这种形式的极限，可能存在，也可能不存在，因此这种极限通常也称为不定式，它可以通过约去使分子、分母同时为零的因式来求解．例如

例6求 解 x→∞时，分子、分母都是无穷大，所以不能直接用商的极限的运算法则. 这种两个无穷大的比的极限是不定式，通常记为“ ”．因为分子、分母关于x的最高次幂是x4, 所以这时可用x4同时去除分子、分母，然后取极限，得

例7求 解x→1时，x2-1→0，但x2+x→2(≠0)，不能直接用商的极限的运算法则，由于因此由第四节定理4，

例8求 解因为所以不能用差的极限的运算法则，这种两个无穷大的差的极限也是不定式，通常记为“∞-∞”．这时可以恒等变形成“ ”或“ ”的极限求解．

(k∈Z)，证明： 例9x０∈R，x0≠kπ+ 证因为x0≠kπ+ (k∈Z)，由第三节例3，，由商的极限运算法则，有

第四节 极限的运算法则