Розв`язування прямокутних трикутників

1. Розв`язування прямокутних трикутників

2. Теорема Піфагора

3. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90 С=90 А+В=90 Узагальнемо! А В С

4. В прямокутному рівнобедреному трикугнику гострі кути дорівнюютьпо 45. С = 90 АС=ВС А=45 В=45 С А В

5. Катет прямокутного трикутника, щолежить напроти кута в 30, дорівнює половині гіпотенузи. В=30  АС=АВ/2 В А С

6. Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, щолежить навпроти цього катета, дорівнює 30. АС=АВ/2  В=30 А В С

7. Висота прямокутного трикутника,проведена догіпотенузи,є середнім пропорційнимміжпроекціямикатетівнагіпотенузу А Н С В

8. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузоюійогопроекціяминагіпотенузу. А Н С В

9. Теоре́ма Піфаго́ра —встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що вона доведена грецьким математиком Піфагором, на честь котрого вона названа (є й інші версії, зокрема альтернативна думка, що ця теорема у загальному вигляді була сформульована математиком-піфагорійцем Гіппасом).

10. Піфагор(580 - 500 рр.до н.е.) Давньогрецький філософ, релігійний та політичний діяч, засновник піфагореїзму

11. Історична довідка Життя давньогрецького філософа й математика було бурхливим і драматичним. Помандрувавши по світу (Піфагор побував в Єгипті, Індії, Вавилоні) і повернувшись до Греції, він заснував в місті Кротон школу для молоді, де навчав своїх учнів не тільки математиці, а й дбав про їхнє духовне і фізичне здоров’я.

12. Сучасне формулювання теореми Піфагора «У прямокутномутрикутнику квадратгіпотенузи дорівнюєсумі квадратів катетів». За часів Піфагора формулювання теореми звучало так: «Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах».

13. «Піфагоровиштани на всісторонирівні»

14. Наслідки з теореми Піфагора c - ? a Наприклад: a=6 см, b=8 см b

15. Наслідки з теореми Піфагора a - ? c Наприклад: b=8 см, c=17 см b

16. Наслідки з теореми Піфагора c a Наприклад: a=5 см, c=13 см b - ?

17. На даний момент в науковій літературі зафіксовано 367 доведень даної теореми. • Теорема Піфагора є єдиною теоремою з таким значним числом доказів. • Наведемо деякі з них.

18. Доведення теореми Піфагора Доказ через рівноспівставленість Квадрат, побудований на гіпотенузі, перестановкою перетвориться в два квадрати, побудованих на катетах.

19. Доведення теореми Піфагора Доведення Евкліда Ідея доведення Евкліда: половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, рівна сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді і площі великого і двох малих квадратів рівні.

20. Доведення теореми Піфагора Доведення Леонардо да Вінчі Головніелементидоказу — симетріяірух.

21. Доведення теореми Піфагора Через подібнітрикутники Хай ABC є прямокутний трикутник з прямим кутом C. Проведемо висоту з C і позначимо її підставу через H. Трикутник ACH подібний до трикутника ABC по двох кутах. Аналогічно, трикутник CBH подібний ABC. Ввівши позначення отримуємоЩо еквівалентноСклавши, отримуємо або

22. Доведення теореми Піфагора Доведення на основі рівності фігур a b Квадрат зі стороною a+b a c • 4 прямокутних трикутники • з катетами aіb • та гіпотенузою c b c2 b c a • квадрат, побудований • на гіпотенузі c, площею c2 a b

23. Квадрат зі стороною a+b - 2 квадрати, зі сторонaми аі b, площі яких a2іb2відповідно -4 прямокутних трикутники з катетами a іb та гіпотенузою c b a b2 c b a2 a a c b

24. a a b a Порівняємо площі одержаних фігур b a b c b2 c b b c2 a2 c a a a c b b c2=a2+b2

25. Обернена теорема Піфагора Якщо квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то цей трикутник - прямокутний.

26. Трикутник Піфагора Якщоa, b, cтакі, що a2+b2=c2, то трійка чиселa, b, c – піфагорова трійка, а трикутники зі сторонамиa, b, c– піфагорові 12 8 10 15 8 5 13 17 6

27. Єгипецький трикутник ЗемлеміриДавньогоЄгипту для побудови прямого кута користувалисянаступнимприйомом. Мотузку вузламиділили на 12 рівнихчастинікінцізв'язували. Потіммотузкурозтягували на землі так, щовиходивтрикутникіз сторонами 3, 4 і 5 ділень. Кут трикутника, щопротилежитьстороніз 5 діленнями, був прямим. У зв'язкузвказаним способом побудови прямого кута трикутникіз сторонами 3, 4 і 5 одиницьінодіназиваютьєгипетським.

28. Єгипетський трикутник

29. Перпендикуляр і похила

30. Перпендикуляр і похила A AB– перпендикуляр до прямої a; B – основа перпендикуляра AC– похила до прямої a; C – основа похилої a B C BC– проекція похилої AC на пряму a;

31. Властивості перпендикуляра і похила Якщо AB┴a, AC, AD – похилі, то A 1) AC>AB, AC>BC; 2) AC=AD ↔ BC=BD; a D B C 3) AC>AD ↔ BC>BD.

32. Наслідки з теореми Піфагора • Якщо до прямої з однієї точки проведені перпендикуляр і похилі, то будь-яка похила більша перпендикуляра, рівні похилі мають рівні проекції, з двох похилих більше та, у якої проекція більша. a >h b >h a = b ah =bh b a a b h ah bh ah bh

33. Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника

34. А c b С a В Кути і сторони в прямокутному трикутнику АС – протилежний катет до кута В ВС – прилеглий катет до кута В

35. А c b С a В Кути і сторони в прямокутному трикутнику ВС - протилежний катет до кута А АС – прилеглий катет до кута А

36. Синусом гострого кута • прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи А c b С В a

37. Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи А c b С В a

38. Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого А c b С В a

39. Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до • протилежного А c b С В a

40. Властивості 1) 0<cos<1,0<sin<1, tg>0, ctg>0. 2) Якщо 0<<<90°, то sin<sin, cos>cos,tg<tg. 3) Якщо =, то sin=sin, cos=cos,tg=tg, ctg=ctg.

41. А 5 3 С В 4 Знайди синус, косинус, тангенс гострих кутів

42. А 5 3 С В 4 Знайди синус, косинус, тангенс гострих кутів

43. Катет і гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 6 см і 10 см. Знайдіть: Розв`яжіть задачу а) синус гострого кута, що лежить проти більшого катета; б) косинус гострого кута, прилеглого до меншого катета; в) тангенс гострого кута, що лежить проти більшого катета.

44. За теоремою Піфагора: А 10 6 С В

45. Тригонометричні тотожності

46. С 15 12 9 А В Розв`яжіть задачі за готовими рисунками Знайдіть :

47. D 20 16 О Е 12 Розв`яжіть задачі за готовими рисунками Знайдіть:

48. 15 N М 8 17 Р Розв`яжіть задачі за готовими рисунками Знайдіть:

49. Тригонометричні тотожності А С В

50. Основна тригонометрична тотожність Наслідок: