1 / 19

§3.1 交比与调和比 （下）

§3.1 交比与调和比 （下）. § 3.1 交比与调和比 ( 续 ). 一、点列中四点的交比. 二、线束中四直线的交比. 1 、直线的交角. 设 a , b 为线束 S 中取定的相异二直线. 在线束中任取一条不与 a ,. b 重合的直线 u ，. 则定义 a , b 的交角为不含. S. 直线 u 的那一个角度，记作 ( a , b ). u. 注：若 a , b 边的顺序与逆时针方向一致，则 规定 ( a,b ) 为正值，反之则为负值。. a. b. § 3.1 交比与调和比 ( 续 ).

cai
Download Presentation

§3.1 交比与调和比 （下）

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. §3.1 交比与调和比 （下）

  2. § 3.1 交比与调和比(续) 一、点列中四点的交比 二、线束中四直线的交比 1、直线的交角 设a, b为线束S中取定的相异二直线. 在线束中任取一条不与a, b重合的直线u， 则定义a, b的交角为不含 S 直线u的那一个角度，记作(a, b). u 注：若a, b边的顺序与逆时针方向一致，则 规定(a,b)为正值，反之则为负值。 a b

  3. § 3.1 交比与调和比(续) 当c是(a,b)的角平分线时，有(a,b,c)= -1 二、线束中四直线的交比 2、线束中三直线的单比 设a, b,c为线束S中的三直线. 则 叫做a, b,c三直线的单比， a, b叫基线，c 叫做分线。 u a b 注：如果直线c不在(a,b)中，则(a,b,c)>0； 如果直线c在(a,b)中，则(a,b,c)<0。 c 这与u的选取相关。

  4. § 3.1 交比与调和比(续) 二、线束中四直线的交比 3、线束中四直线的交比 定义：pi (i=1,2,3,4)是线束中的四直线，则 的交比，其中 叫做 注：交比值与直线u的选择方法无关. ¨

  5. § 3.1 交比与调和比(续) 二、线束中四直线的交比 S 定理4. 设线束S中四直线a,b,c,d被直线s 截于四点A,B,C,D. 则 h D s B A C H d c a b 证明：用 表示线段SA,SB,SC的长度， h表示从点S 则 向直线s所作的垂线SH的长度.

  6. § 3.1 交比与调和比(续) 在s上选择向右为正方向，u的选择如图： S u 则： h D s B A C 利用此公式代入交比定义： H d a b c

  7. § 3.1 交比与调和比(续) 推论1.设Pi为点列l(P) 中四点, Pi与不在l上的定点S连线 依次为pi(i=1,2,3,4). 则 注：此推论与定理4完全对偶； 由定理4和推论, 立即可得下述重要结论： 定理5.交比为射影不变量.（点交比与线交比） 由此可知，关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通 过对偶的方式相互移植、相互转化. 调和比： ，则称线偶 为第四调和线. 调和分离（共轭），也称 -1称为调和比。

  8. § 3.1 交比与调和比(续) 二、线束中四直线的交比 4. 交比的代数表示： 定理6：设p1, p2, p3, p4为线束S(p)中四直线，且p1≠p2，其齐次 坐标依次为a, b, a+λ1b, a+ λ2b. 则： 定理7. 设线束S(p)中四直线pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则：

  9. § 3.1 交比与调和比(续) 二、线束中四直线的交比 5、直线交比的初等几何意义 定理8.对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有 证明方法:(1)一般直线平移为过原点的直线； (2) 普通方程化为齐次方程； (3)利用定理7求解.

  10. § 3.1 交比与调和比(续) 二、线束中四直线的交比 6、直线交比的计算 (1). 由已知条件求交比. 方法一. 与点的交比计算完全对偶. 方法二. 以一条特殊直线截已知线束, 转化为点的交 比计算. 技巧是, 取合适直线, 使截点坐标简单, 易于计算. (2). 由已知交比和其中三直线坐标, 求第四条直线. 与点的情况完全对偶。

  11. § 3.1 交比与调和比(续) 二、线束中四直线的交比 的方程顺次为 例1：已知四直线 求证四直线共点，并求 的值。 [证法一]与点的交比计算完全对偶. [证法二]以一条特殊直线截已知线束, 转化为点的交比计算.

  12. § 3.1 交比与调和比(续) 二、线束中四直线的交比 例2：求证：一角的两边与这个角的内外角平分线调和共轭。 d O 分析：寻找直线l，使得l与a,b,c,d的 交点调和共轭 l 证明：即求 b a c 作直线l与d平行，记直线d,l的 交点为 则

  13. § 3.1 交比与调和比(续) 三、完全四点形与完全四线形的调和性 定理9完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离. 定理9'完全四线形的一对对顶被在此二对顶连线上的对顶三线形的二顶点调和分离. 如图, 在三条对顶线x, y, z上各有一个调和点组, 比如x 如图, 经过三个对边点X,Y,Z各有一个调和直线组, 比如X 此二定理说明：上述两图中各有三个调和元素组

  14. § 3.1 交比与调和比(续) 三、完全四点形与完全四线形的调和性 证明定理9 用综合法. 只要证明 以直线AB截此四直线，得 只要证明 再以直线CD截此四直线，得 以点Y分别与上述等式两边的四点相连，据定理5可得 也就是 证毕. 注意到A, B, P, Z四点互异，必有

  15. § 3.1 交比与调和比(续) 三、完全四点形与完全四线形的调和性 推论2'通过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一个调和直线组, 其中一对为对顶线，另一对为该顶点与第三对对顶的连线. 推论2在完全四点形的对边三点形的每条边上, 有一个调和点组, 其中一对为对边点, 另一对为该边与第三组对边的交点. 比如 比如 此二推论说明：上述两图中又各有三个调和元素组

  16. § 3.1 交比与调和比(续) 三、完全四点形与完全四线形的调和性 推论3在完全四点形的每条边上有一个调和点组, 其中一对为顶点, 另一对中一个为对边点, 一个为该边与对边三点形的边的交点. 推论3'通过完全四线形的每个顶点有一个调和直线组, 其中一对为边，另一对中, 一条为对顶线, 一条为该顶点与对顶三线形顶点的连线. 比如 比如 此二推论说明：上述两图中又各有六个调和元素组

  17. § 3.1 交比与调和比(续) 三、完全四点形与完全四线形的调和性 1、第四调和元素的作图 例1已知直线l上相异三点P1, P2, P3. 求作第四调和点P4. 分析：利用推论2, 构造一个完全四点形, 以l为其对边三点形的一边, P1, P2是对边点, 使第三对对边中, 一条过P3, 则另一条与l的交点即为P4. 解. 作法: (1). 在l外任取一点A, 连AP1, AP2. (2). 过P3作直线分别交AP1, AP2于B, D. (3). 连P1D, P2D交于C. (4). 连AC交l于P4为所求. 证明: (略)请自行补出.

  18. § 3.1 交比与调和比(续) 三、完全四点形与完全四线形的调和性 注2 本例引申 1、给定三点如图，如何作图? 2、给定共点三直线如图，求作第四调和直线. 3、给定共点三直线如图，求作第四调和直线. 由上述作图，(P1P2, P3P4)= –1 存在一个完全四点形, 以P1, P2为两个对边点, 并使P3, P4在另一对对边上. 注3 注4 注3的对偶命题.

  19. 今日作业 P.57, 4; P.58 8,11,12 The Class is over. Goodbye!

More Related