2. 间断 点的分类与判别 ;

1. 复习 1. 连续函数的三个等价定义; 2. 间断点的分类与判别; 可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 间断点 第二类间断点: 无穷间断点,振荡间断点. . 至少一个不存在

2. 基本初等函数在定义域内连续 连续函数的四则运算结果仍连续 初等函数在定义区间内连续 单调连续函数的反函数单调连续 复合函数的连续性(两个定理) 利用函数的连续性求极限 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右 连续性. 定义域与定义区间的区别

3. 常用等价无穷小:

4. 第十节 闭区间上连续函数性质 一、有界性与最值定理 二、零点定理与介值定理

5. 一、有界性与最值定理 函数 在区间 I上有定义，如果有 定义 使得 都有 则称 为函数 在区间I上的 最小值. 最大值.

6. 函数y=sgnx在区间(- +)内，

7. 应注意的问题: 并非任何函数都有最大值和最小值 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值

8. 定理1. 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有 最大值和最小值. 则 即: 设 使得 注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断 点, 结论不一定成立 .

9. 推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 设 由定理 1 可知有 证: 上有界 .

10. 二、零点定理与介值定理 则称 为函数 的零点. 定义： 如果

11. 定理2 ( 零点定理 ) 且 若 则至少有一点 使得 若连续曲线弧的两个端点位于 轴的不同侧， 注意：若连续曲线弧的两个端点位于 轴的同侧， 则结论不一定成立。 则曲线弧与 轴至少有一个交点。

12. 例1. 方程 在区间 内至少有一个根 设 则 证明 由于 即 根据零点定理 在 内至少有一点 ，使得 在区间 内至少有一个根 从而方程

13. 例1. 方程 在区间 内至少有一个根 可用此法求近似根. 取 的中点， 二分法 则 则 内必有方程的根； 内必有方程的根； 取 的中点， 如此继续

14. 且 设 定理3. ( 介值定理 ) 则对 A与 B之间的任一数 C , 至少 使得 有一点 证:作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使得 即

15. 且 设 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与 且 若 定理3. ( 介值定理 ) 则对 A与 B之间的任一数 C , 至少 则至少有一点 使得 使得 有一点 最大值之间的任何值 . 推论: 定理2 ( 零点定理 )

16. 例2 设函数 在区间 上连续，且 证明 使得 证 则 在 上连续， 由零点定理,

17. 例3. 设 在 [a, b] 上连续 , 且恒为正 , 试证明: 必 使得 则 证 令 则有 或 当 取 时, 使得 即 故由零点定理知 , 当 时,

18. 练习. 证明至少存在 使 一点 令 提示: 易证 则 注意分析 的情况.

19. 例4. 至少有一个不超过 4 的正根。 证明 证： 令 且 显然, 在闭区间 上连续， 在开区间 内至少存在一点 根据零点定理 , 原命题得证 .

20. 例5. 证明奇次多项式 至少存在一个实根. 证： 不妨设 根据零点定理

21. 例6. 设 且 a c  d  b , 证明: 必有一点 使得 证: 故 即 由介值定理,

22. 练习. 设 且 证明: 至少有一点 使得 由于 在 上连续, 故必在 上 证: 取得最大值和最小值. 由于 由介值定理知结论成立.

23. 例7. 任给一张面积为 A的纸片(如图), 证明必可 将它一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图. 则面积函数 因 故由介值定理可知:

24. 内容小结 设 则 在 上有界; 在 上达到最大值与最小值; 在 上可取最大与最小值之间的任何值; 时, 4.当 时必存在 使

25. 思考题 下述命题是否正确？ 在 内连续， 且 若 在 上有定义， 则 在 内必有零点. 思考题解答 不正确. 在 内连续， 例 函数 但 在 内无零点.

26. 提高题1. 设 且 证明: 至少有一点 使得 令 则 证: 则命题得证. 否则，在 不妨设

27. 与题设 矛盾！

28. 2. 研究方程 的实根 解： 试算： 从而方程在 内有一实根 从而方程在 内有一实根 从而方程在 内有一实根 根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根, 故 为方程的全部实根.

29. 3. 证明方程 至少有两个实根. 证： 则 在开区间 内分别连续. 利用无穷大量的定义可以证明，存在闭区间

30. 根据零点定理， 在区间[a, b]上， 从而在区间(1,2) 内至少有一个实根. 同理可证 在区间(2,3) 内至少有一个实根. 综上，方程至少有两个实根.

31. 作 业 • P74： 2，3, 5. 作业提交时间：2012年10月22日上午8:00