第 Ⅱ 部　社会構造概念の彫琢

第Ⅱ部　社会構造概念の彫琢 第8章　統計的社会ネットワークモデル 2008/10/06(月) Social Network Seminar Ｍ１　浦田淳司

8.1　統計モデルと社会ネットワーク分析 ‐妥協か進歩か 8.2　トライアッド・センサスと推移性の測定 ‐三者関係の統計分析 8.3　社会ネットワークのマルコフ連鎖過程モデル ‐社会関係の離散確率モデル 8.4　　　モデル族 ‐結合関係の諸傾向をパラメーター化し、推定する 8.5　　　モデルの展開と　　統計的社会ネットワーク・モデリングの定着内容

妥協か、進歩か。 統計モデルと社会ネットワーク分析

統計的・・・ 統計的なモデル：データ間の独立性を仮定社会ネットワークモデル：社会単位間の結合従属性を仮定 ⇒マルコフモデルや独立性の議論の進展により、実用化残る問題点・専門の統計技法に偏り、社会ネットワーク分析本来の自由な数学的モデル化が制限・社会構造というよりも、結合対の属性や属性間の有意な関係を分析しているに過ぎないなおも、統計的社会ネットワークモデルは　社会ネットワーク分析にとって独自の進歩なのか、　　　　　　　　　　　　　あるいは統計的方法への妥協に過ぎないのかといった問いが残る

対の相互化モデル　（Katz and Powell 1955）ダイアッド間の結合の測定のためのモデル（相互対について検討）ネットワークメンバーN人、各人の選択数d ◆個人の間に偶然相互対が形成される確率 ◆ネットワークの中で期待される相互対の総数 ◆条件付き確率とパラメータ選択しない部分

三者関係の統計分析 トライアッド・センサスと推移性の測定

トライアッド・センサス ・ダイアッド：アクターiとjの二者関係・トライアッド：アクターi,j,kの三者関係　 →相互対の数m、非対象対の数a、無結合数nを並べて名前をつける布置というベクトルで集計　　　　　　　102 個人の小集団のモデル化には適するが、組織全体の分析には対応していないトライアッドのタイプ別出現頻度をベクトルT上で整理 ↓ 固有の重みをかけて、ダイアッドの数を計算

社会関係の離散確率モデル 社会ネットワークの　マルコフ連鎖過程モデル

離散過程のモデル化 ●ランダム・ダイグラフアクターij間の結合のあるなしをランダムに決定→ネットワークを生成 ●マルコフ連鎖前提：時間軸t導入　　時点tの二項結合関係Xij(t)={xij(t)}　　（0 or 1）時間間隔(t,t+dt)における、遷移確率はすべて事前の状態{X(s):s<t}に依存し、これに限定を加えないと手に負えない ●モデル化のための仮定仮定1X（ｔ）はマルコフ連鎖である Pab(t,t+dt)=P{Xij(t+dt)=b|X(t)=a} 仮定2　ひとつの結合の変化しか同時には与えられない

相互性モデル 仮定1，2より同時遷移率はと示される。マルコフ連鎖X(t)における微小遷移率であり、時間tのときの特性に依存。 ●相互性モデル ij間の結合の生成・切断は、 jからiへの相互結合の有無に関係しているとするパラメータ推定は煩雑で、連続時間確率過程において、マルコフ過程が仮定されているが、非常に厳しい仮定といえ、より現実的なモデルへの置き換えが必要ダイアッドの状態：Dij(t)={Xij(t),Xji(t)} には、(0,0) (1,0) (0,1) (1,1)　の4つがありうる。相互性モデルで測定されるべきはであり、うち2つがわかれば、パラメータが推定できる

結合関係の諸傾向をパラメータ化し、推定する結合関係の諸傾向をパラメータ化し、推定する P1モデル族

ｐ1モデルとは n×nの二項行列Xにおいて、相互対数、ノードjの入次数をで表し、平均や分散と比較すると、相互対と結合の受信は偶然以上に頻繁に起こっていること　　がわかる。（社会的諸関係の相互化傾向、差別的受信傾向）このような偏向した相互対、受信対が存在するMとX+jをコントロールするパラメータをもった分布族が要請され、ログリニアモデルを応用し、p1モデルが考案された特徴・偏向パラメータを指数族として表現・マルコフ性などの仮定を導入せず　　　　→きわめて柔軟なモデル化

ｐ1モデルとは n×nの隣接行列A上の確率関数p1(x)は相互性全結合出次数入次数正規化のための定数特徴：ダイアッドDijは独立的である→推移性や派閥化は表現できない相互化傾向、差別的受信のみ表現各種対の確率は Xの確率分布はとなると表現され、

ｐ1モデルとは 指数形を強調して書き換えると、ただしまた、この二つのパラメータに対して、（全てのi<jに関して）という制約がある

パラメータ解釈 • ρ,{αi},{βi}を0と仮定する • 隣接行列Aにおける分布は独立同等分布(iid)になり、 • となる。これは、Xij＝1に対するそうでない場合の比率、準密度を表しているので、 • このパラメータθを密度パラメータという。 • (2)θ,{βi}を0と仮定する • 上と同様に、各行においてiidで、 • αiはXの出次数を統制し、 αiが大きく正であると結合の送信の増加になるので、 • このパラメータαiを生産性パラメータをいう。 • (3)θ, {αi}を0と仮定する • 上と同様に、各行においてiidで、 • βiはXの入次数を統制し、 βiが大きく正であると結合の受信の増加になるので、 • このパラメータβiを牽引性パラメータをいう。

ｐ1モデルの意義とその拡張 p1モデルは「社会単位の独立性の仮定」をとりはずし、ダイアッドの独立性を仮定。否定意見：確率が0.5をも下回っているのに、隣接行列を予測しようというのはおかしい。　個人と関係の構造を対の積み重ねへと分解してしまっている（ぶつぎりにされたダイアッドの統計分析）肯定意見（Fienberg and Wesserman 1981b） 3因子交互作用のないログリニアモデルを、4元分割表に適合させればよい。と配列。 p1はという関係にある。

ｐ1モデルの拡張 ｐ1の最尤推定法は、以下の対数尤度関数を最大化することである。対数尤度比LLRは　　モデルの拡張・結合（k,l）を二項関係から有値関係に発展させること。（Xij=k,Xji=l　として、そこに強度を表現）・カテゴリーを考慮するには、4つの変数のうち、どれか2つの相互作用（周辺度数）をモデルにふくめればよい。

Ｐ*モデルの展開と 統計的社会ネットワーク・モデリングの定着

p*モデルとは マルコフ・ランダム・グラフと呼ばれるグラフに依拠した指数族のモデルであり、ダイアッド間の独立性を前提としない統計的なモデル化（Frank and Strauss, 1986） Xを単独、二項、有向関係に対するソシオマトリクスとし、下のように表記できる。観測データxに関する全ての関数z1(x),z2(x),・・・,zr(x) とする。（※結合数、相互対数、アクターのある属性値、などなんでも）また、θをパラメータとすると、下のように表記できる確率は0から1の間でなくてはならないので、対数変換して、

p*モデルのパラメータ もっとも単純な形正規化定数を求めることが困難 ⇒ロジットモデルの適応

ロジットp*・モデル p*モデルは、個別の結合に対する確率でなく、結合の全コレクションについてのもの。なので、ネットワークの他のすべての結合に条件づけられた確率が使われる。他のネットワークすべてを含み、正規化定数に依存していないまた、これはパラメータを属性に依存させ、なおかつ構造をみることが可能

マルコフ・グラフ ダイアッド間の従属性を仮定するマルコフ・グラフの導入その推定法としての準尤度推定法の考案 ⇒p*モデルのモデル化従属グラフ：条件的に従属したすべての対を結合するような線からなるグラフ 12 2 23 24 1 13 14 3 4 34 G：マルコフグラフ D：従属グラフ・Dのクリークは、Gではトライアングルかスター →クリークを問題にする時は、トライアッドかスターのみ考えればよい　　　モデル化の仮定を単純化してくれる

準尤推定？？ 従属構造をモデル化しているので、尤度計算において、手に負えない正規化のためパラメータの推定において最尤推定が不可能 ⇒条件的確率のロジットωijを統計的に独立的であると仮定した準尤推定を用いる準尤度関数最大化することは、ロジスティック回帰モデルをロジット｛ ωij ｝にフィットさせることと同値であるのでネットワークデータと関連するアクターの属性をとって、反応変数に関するパラメータのベクトルと説明変数に関するパラメータの行列を作成すれば、最大準尤度推計値と概算的な誤差値を得るために、ロジスティック回帰の一般計算パッケージを利用できる具体事例は　Anderson, Wasserman and Crouch(1999)の小学生の友人関係モデルジェンダーに注目。ただ詳しくわからないので、いつか論文ゼミで・・・

ｐ*モデルのゆくえ この分野のモデルの発展はほぼ完成 ↓ 実用的な段階にきている。が、応用研究はイリノイ大学の一部のみ理由1：社会ネットワーク分析の主流とは関係なく、純統計学的な知識が必要理由2：複数の統計ソフトを使いこなさなければならないしかし、統計学社会ネットワーク分析が新しい可能性を示しているのは間違いない（筆者談）

ＥＮＤ

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