P 基础算法

P基础算法 阿默

应该了解的基础知识 • Pascal基础：变量类型、表达式、常用系统函数 • 分支结构：if 、case • 循环结构：三种循环for、while、repeat • 数组、字符串 • 自定义函数、过程

一、循环 • 三种循环 • while 语句while语句用于“当满足某一条件时进行循环”的情况。while语句的语法格式：while 布尔表达式　do　　语句（复合）； • <表达式为真就进入循环体，最实用灵活> • repeat语句repeat 语句用于“重复执行循环体，一直到指定的条件为真时结束”。语法格式为：repeat　　语句1;…… 　　　语句n;until　布尔表达式； • <直到型、至少执行一次循环体，表达式为真退出循环> • for 语句用来描述已知重复次数的循环结构。for 语句有两种形式：(1) for 控制变量：＝初值　to　终值　do　语句；(2) for 控制变量：＝初值　downto　终值　do　语句； • <使用简单，但是变量必须是可数的>

循环应用 • 求1＋2＋。。＋100 • 求 N！ • 判断素数 • 打印花式图形 • ………… • ……

二、数组 • 为什么要使用数组？ • 例1　输入50个学生的某门课程的成绩，打印出低于平均分的同学号数与成绩。 • 分析：在解决这个问题时，虽然可以通过读入一个数就累加一个数的办法来求学生的总分，进而求出平均分。但因为只有读入最后一个学生的分数以后才能求得平均分，且要打印出低于平均分的同学，故必须把50个学生的成绩都保留下来，然后逐个和平均分比较，把高于平均分的成绩打印出来。如果，用简单变量a1，a2,…，a50存放这些数据，可想而知程序要很长且繁。

数组定义 var a,b,c:array[1..100] of integer; d:array[1..10,0..1] of real;

例1题解 Program ex; var tot,ave:real; a:array[1..50] of real; i:integer; begin tot:=0; {tot表示总分} for i:=1 to 50 do ｛循环读入每一个学生的成绩，并累加它到总分｝ begin read(a[i]); tot:=tot+a[i]; end; ave:=tot/50;｛计算平均分｝ for i:=1 to 50 do if a[i]<ave then writeln(‘No.’,i,’ ‘,a[i]:5:2);｛如果第i个同学成绩小于平均分，则将输出 } end.

算法 • 什么是算法？算法是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗点说，就是计算机解题的过程。

算法的优化 • 一个问题可能有多种算法，当然在这些算法中也有优劣。例：求1＋2＋..＋100 一种算法：直接累加另一种：高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和。他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和（1＋100，2＋99，3＋98……），同时得到结果：5050。

算法的优化 • 同一种算法中，我们也可以考虑到问题的各种条件来对算法进行一定的优化。 • 例：100元一张换成若干张10元、5元、2元、1元的零钱，要求每次都换成40张小钞票，每种至少1张。

程序1（为了便于了解程序工作效率，加入了一些统计变量）程序1（为了便于了解程序工作效率，加入了一些统计变量） var i,j,k,l,s:integer; c:longint; {用于统计最内部循环体执行的次数} begin s:=0;c:=0; for i:=1 to 40 do {10元的张数} for j:=1 to 40 do {5元的张数} for k:=1 to 40 do {2元的张数} for l:=1 to 40 do {1元的张数} begin c:=c+1; {统计循环执行次数} if (i+j+k+l=40) and (i*10+j*5+k*2+l=100) then begin {张数一共是40，并且总和是100元} {write('[',i,' ',j,' ',k,' ',l,']');} s:=s+1; {统计可行的方法} end; end; writeln(s);{显示换零方法总数} writeln(c);{显示内部执行总数} end. 程序运行结果： 34 2560000

程序2 • 当我们确定了i，j，k后，就直接可以确定l的值了l就是（40－i－j－k），而不需要再次进行循环。四重循环变成三重循环 var i,j,k,s:integer; c:longint; begin s:=0;c:=0; for i:=1 to 40 do for j:=1 to 40 do for k:=1 to 40 do begin c:=c+1; if (i+j+k<40) and (i*10+j*5+k*2+(40-i-j-k)=100) then begin {上述i，j，k之和一定要小于40 ，否则1元的张数就没有意义} {write(‘[’, i,' ',j,' ',k,' ',l,']');} s:=s+1; end; end; writeln(s); writeln(c); end. 程序运行结果： 34 64000

程序3 再来考虑一些边界值的量的问题，10元的最多取多少张？换100元最多10张，但是每种至少一张，所以最多取到7张。5元的也可以确定下来了，当然，2元的最多可取到37张。 var i,j,k,l,s:integer; c:longint; begin s:=0;c:=0; for i:=1 to 7 do {限定i，j，k的边界值} for j:=1 to 17 do for k:=1 to 37 do begin c:=c+1; if (i+j+k<40) and (i*10+j*5+k*2+(40-i-j-k)=100) then begin {write('[',i,' ',j,' ',k,' ',l,']');} s:=s+1; end; end; writeln(s); writeln(c); end. 程序运行结果： 34 4403

程序4还有可能继续优化么？举个例子：当i=3时，很显然j的取值最多只能到(100－3×10) div 5-2 张 var i,j,k,l,s:integer; c:longint; begin s:=0;c:=0; for i:=1 to 7 do for j:=1 to (100-i*10) div 5 - 2 do for k:=1 to (100-i*10-j*5) div 2 - 1 do begin c:=c+1; if (i+j+k<40) and (i*10+j*5+k*2+(40-i-j-k)=100) then begin {write('[',i,' ',j,' ',k,' ',l,']');} s:=s+1; end; end; writeln(s); writeln(c); end. 程序运行结果： 34 1190

程序运行结果： 34 2560000 程序运行结果： 34 64000 程序运行结果： 34 4403 程序运行结果： 34 1190

基础算法 • 判断一个数是否为素数素数定义：除了1和本身之外，没有其它的约数。思路：给出任意数N 分别用(1,N)之间的整除去除N，如果N被任意一个整除就说明N不是素数，否则就是素数 • 一级算法 flag=true; {假设N是素数，设立一个布尔型标志flag为true } for i:=2 to N-1 do if N mod i=0 then {如果N被i整除} flag:=false; {N的标志量置为false，表明N不是素数} writeln(flag); {输出标志量flag} 试除法！

算法优化 • 一级算法 flag=true; {假设N是素数，设立一个布尔型标志flag为true } for i:=2 to N-1 do if N mod i=0 then {如果N被i整除} begin flag:=false; {N的标志量置为false，表明N不是素数} break; end; writeln(flag); {输出标志量flag} 算法中，无论何种情况，哪怕N是偶数，循环体必须运行N-2次。一次优化，利用break语句，一旦求余为0，则立即退出循环。此时最差的情况下循环体才运行N-2次。

算法优化 • 二次优化 i的终值到sqrt(N)即可 flag=true; for i:=2 to trunc(sqrt(N)) do if N mod i=0 then begin flag:=false; break; end; writeln(flag); 此时最差的情况循环体循环trunc(sqrt(N))次。能继续优化么？能，不过要以牺牲空间为代价

判断素数算法 var n:longint; begin readln(n); writeln(n,'-->',isprime(n)) ; end. • 将其设计成一个函数模块 program prime; function isprime(x:longint):boolean; var i:longint; flag:boolean; begin flag:=true; for i:=2 to round(sqrt(x)) do if x mod i=0 then begin flag:=false; break; end; isprime:=flag; end; 蓝色的自定义函数块，下次直接copy就可以用！应用范围如： 1、找出<N的所有素数 2、证歌德巴赫猜想 ......

求素数——筛法 • 用筛法求出100以内的全部素数，并按每行五个数显示。解：⑴ 把2到100的自然数放入a[2]到a[100]中（所放入的数与下标号相同）； ⑵ 在数组元素中，以下标为序，按顺序找到未曾找过的最小素数minp,和它的位置p（即下标号）； ⑶ 从p+1开始，把凡是能被minp整除的各元素值从a数组中划去（筛掉），也就是给该元素值置 0； ⑷ 让p=p+1，重复执行第②、③步骤，直到minp>Trunc(sqrt(N)) 为止； ⑸ 打印输出a数组中留下来、未被筛掉的各元素值，并按每行五个数显示。用筛法求素数的过程示意如下（图中用下划线作删去标志）： ① 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…98 99 100 ｛置数｝ ② 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…98 99 100 {筛去被2整除的数 } ③ 2 3 4 5 6 7 8910 11 12 13 1415…9899100 {筛去被3整除的数 } 2 3 4 5 6 7 8910 11 12 13 1415…9899100 {筛去被5整除的数 } …………

Pascal程序： Program Exam53;｛下标表示数据｝ const N=100; type xx=1 .. N; {自定义子界类型xx（类型名）} Var a: array[xx] of boolean; i,j: integer; Begin Fillchar(a,sizeof(a),true); a[1] := False; for i:=2 to Trunc(sqrt(N)) do if a[i] then for j := 2 to N div I do a[i*j]:= False; t:=0; for i:=2 to N do if a[i] then Begin write(a[ i ]:5); inc(t); if t mod 5=0 then writeln end; readln End.

练习：请用试除法设计一个求2～100之间所有素数的程序练习：请用试除法设计一个求2～100之间所有素数的程序

基础算法：求最大公约数，最小公倍数 • 求a，b最大公约数：用辗转相除法： ① r ←a mod b ②如果 a mod b=0 转 ④ 否则转③ ③a←b,b←r ，r ←a mod b ，转② ④输出b

最大公约数 var a,b,r:integer; begin readln(a,b); r:=a mod b; while r <>0 do begin a:=b; b:=r; r:=a mod b; end; writeln(b); end. 请换种算法设计求最大公约数的程序

分解质因数 • var n,k:longint;beginreadln(n);k:=2;write(n,‘=’);while n<>k do begin if n mod k=0 then begin write(k,‘*’);{输出 k* 格式，} n:=n div k; {n的新值为n去掉其中一个因子k} end else inc(k);{如果n不能被k整除，就把K往上递增。} end; writeln(k);{此处一个k为最后一个因子k，因为n=k 时，不满足条件，直接推出while循环，所以无法输出循环内k'*'，所以在此处要输出最后一个因子}end.

排序算法——选择排序 选择排序【示例算法描述】：初始关键字 [49 38 65 97 76 13 27 49]第一趟排序后 13 ［38 65 97 76 49 27 49]第二趟排序后 13 27 ［65 97 76 49 38 49]第三趟排序后 13 27 38 [97 76 49 65 49]第四趟排序后 13 27 38 49 [49 97 65 76]第五趟排序后 13 27 38 49 49 [97 65 76]第六趟排序后 13 27 38 49 49 65 [97 76]第七趟排序后 13 27 38 49 49 76 [97 76]最后排序结果 13 27 38 49 49 76 76 97

var a:array[1..10] of integer; i,j,t,m:integer; begin randomize; for i:=1 to 10 do begin a[i]:=random(100);write(a[i],' ');end; writeln; for i:=1 to 9 do begin m:=i; for j :=i+1 to 10 do begin if a[m]>=a[j] then m:=j; end ; t:=a[i]; a[i]:=a[m]; a[m]:=t; end; for i:=1 to 10 do write(a[i],' '); writeln; end.

冒泡排序 • 冒泡排序的基本概念是：依次比较相邻的两个数，将大数放在前面，小数放在后面。 • 即首先比较第1个和第2个数，将大数放前，小数放后。然后比较第2个数和第3个数，将大数放前，小数放后，如此继续，直至比较最后两个数，将大数放前，小数放后，此时第一趟结束，在最后的数必是所有数中的最小数。重复以上过程，仍从第一对数开始比较（因为可能由于第2个数和第3个数的交换，使得第1个数不再大于第2个数），将大数放前，小数放后，一直比较到最小数前的一对相邻数，将大数放前，小数放后，第二趟结束，在倒数第二个数中得到一个新的最小数。如此下去，直至最终完成排序。

var i,j,t:integer; a:array[1..10] of integer; begin randomize; for i:=1 to 10 do begin a[i]:=random(100);write(a[i],' '); end;writeln; for i:=1 to 9 do for j:=1 to 10-i do if a[j]>a[j+1] then begin t:=a[j]; a[j]:=a[j+1]; a[j+1]:=t; end; for i:=1 to 10 do write(a[i],' ') ; writeln; end.

顺序查找 • 在对线性表的操作中，经常需要查找某一个元素在线性表中的位置。此问题的输入是待查元素x和线性表L，输出为x在L中的位置或者x不在L中的信息。 L 76 x

const MAXN=9; L:array[1..MAXN] of integer=(2,15,3,49,76,28,99,21,17); var i,x:integer; begin readln(x); i:=1; while i<=MAXN do {进行顺序查找} begin if x=L[i] then break; {如果找到就跳出循环} inc(i); end; if i>MAXN then {根据i的位置，来判断是否找到} writeln('Not found!') else writeln('x is L[',i,']'); end.

min max mid min max mid min max 顺序查找 • 顺序查找法，对于有n个元素的线性表在最坏情况下需要n次比较。 • 下面我们考虑一种简单的情况。假设该线性表已经排好序了，我们是否有改进查找效率的可能呢？ L mid x 71

Const MAXN=9; L:array[1..MAXN] of integer=(2,3,17,29,36,38,59,71,97); var i,x,min,max,mid:integer; found:boolean; begin readln(x); min:=1;max:=MAXN;mid:=(min+max) div 2; while min<=max do begin if x=L[mid] then {如果找到，跳出循环} begin found:=true; break; end; if x>L[mid] then {如果x处于位置mid的右半边，那么把min提到mid＋1的位置} min:=mid+1 else {如果x处于位置mid的左半边，那么把max提到mid－1的位置} max:=mid-1; mid:=(min +max) div 2;{计算中间mid位置} end; if found then writeln('x is L[',mid,']') else writeln('Not found!'); end.

P 基础算法

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