第三章 非稳态导热

1. 第三章　非稳态导热 第三章 非稳态导热

2. 研究非稳态导热的实际意义 许多工程实际问题需要确定物体内部的温度场随时间的变化，或确定其内部温度到达某一限定值所需要的时间。例如：在机器启动、停机及变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏，因而需要确定物体内部的瞬时温度场；钢制工件的热处理要掌握温度变化的速率。金属在加热炉内加热时，需要确定它在加热炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。可见，非稳态导热是个有很大实际意义的课题。 本章的主要内容及研究目的 本章从介绍非稳态导热的基本概念入手，依次讨论 （1）零维的分析解法 （2）一维及多维问题的分析解法及其主要结果。主要是诺模图法（3）简要介绍所谓的半无限大平板的非稳态导热问题。 主要应掌握确定瞬时温度场的方法及在一段时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 第三章 非稳态导热

3. §3-1 非稳态导热的基本概念 非稳态导热的定义 . 物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热。 非稳态导热的分类 根据物体温度随着时间的推移而变化的特性可以区分为两类非稳态导热： ①物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值 。即瞬态非稳态导热 ②物体温度随时间而作周期性的变化。即周期性的非 稳态导热 第三章 非稳态导热

4. 着重讨论瞬态非稳态导热 1 过程的特征及温度分布： 考察一个平壁的非稳态导热过程。其初时温度为t0,令左侧表面的温度突然升高到t1并保持不变，而右侧仍与温度为t0的空气接触。首先物体紧挨高温表面部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的温度t0，如图HBD。随着时间的推移，温度变化的波及范围不断扩大，在一定的时间以后，右侧表面的温度也逐渐升高，如HCD，HE， HF。最终达到稳态HG。 第三章 非稳态导热

5. 2非稳态导热与稳态导热的区别 （1）上述非稳态导热中，存在着右侧面不参与换热和参与换热的两个不同阶段。在右侧面不参与换热的阶段里，温度分布呈现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，在这个阶段中物体中的温度分布受初始温度分布很大的影响。这一初始阶段称为非正规状况阶段。右侧表面参与换热后，初始温度分布的影响逐渐消失，温度分布主要取决于边界条件及物性。此时非稳态导热进入到了正规状况阶段。 导热过程的三个阶段 非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态 正规状况阶段的温度变化规律将是本章讨论的重点。存在这有区别的两个不同的阶段是这一类非稳态导热区别于周期性导热的特点。 另外，存在周期性的非稳态导热过程。例如地球表面季节的变化。 第三章 非稳态导热

6. （2）在非稳态导热过程中，在热量传递的路经中，物体各处本身温度的变化要积累或削耗热量，热流量处处不等。阴影部分就代表了平板升温过程中所积聚的能量。（2）在非稳态导热过程中，在热量传递的路经中，物体各处本身温度的变化要积累或削耗热量，热流量处处不等。阴影部分就代表了平板升温过程中所积聚的能量。 Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 第三章 非稳态导热

7. 3 非稳态导热问题的求解 导热微分方程式连同定解条件一起完整地描写了一个特定的非稳态导热问题。非稳态导热问题的求解实质上归结为在规定的初始条件及边界条件下求解导热微分方程式。 初始条件的一般形式是 t(x,y,z,0)=f(x,y,z) 经常遇到的特例是初始温度均匀，即t(x,y,z,0)=t0 根据解的唯一性定理，满足导热微分方程式及定解条件的函数具有唯一性。 本节主要讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件下的非稳态导热的问题。 第三章 非稳态导热

8. (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律 (2) 非稳态导热的导热微分方程式： (3) 求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法 分析解法：分离变量法、相似变换法、格林函数法、拉普 拉斯变换、 近似分析法：集总参数法、积分方程法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟 第三章 非稳态导热

9. t   tf h tf h  0 x t (2) 毕渥数的定义：  tf h 0 x 4 第三类边界条件下非稳态导热时物体中的温度变化特性与边界条件参数的关系 设有厚为2δ的金属平板，初始温度为t0，λ。突然将它置于t∞、h的流体中冷却。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 b 物体内部的导热 第三章 非稳态导热

10. (3) Bi数对温度分布的影响 无量纲数 当 时， ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 时， ，因此，可以忽略导热热阻 ？ ？ 第三章 非稳态导热

11. Bi 准则对温度分布的影响 Bi 准则对无限大平壁温度分布的影响 第三章 非稳态导热

12. (4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且没有量纲。 因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数，比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一般用符号 l 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中各个参数的意义。 第三章 非稳态导热

13. §3-2 集总参数法的简化分析 1.概括性说明 当固体内部的热阻远小于其表面的换热热阻时，固体内部的温度趋于一致，一致可以认为整个固体在同一瞬间均处于同一温度下。这时温度仅是时间的一元函数而与坐标无关，好像该固体原来连续分布的质量与热容量汇总到一点上，而只有一个温度值那样。这种忽略物体内部导热热阻的分析方法称为集总参数法。当λ大、或h极低、或几何尺寸L很小时属于此类问题。例如，测量变化着的温度的热电偶就是个典型的实例。 2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。 将其突然置于温度恒为 的流体中。 第三章 非稳态导热

14. ，则有 方程式改写为： 当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知 控制方程 初始条件 第三章 非稳态导热

15. 其中的指数： 积分     过余温度比

16. 是傅立叶数 物体中的温度呈指数分布 方程中指数的量纲： 第三章 非稳态导热

17. 上式表明：当传热时间等于 时，物体的过 余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。 称 为时间常数，用 表示。 即与 的量纲相同，当 时，则 此时， 第三章 非稳态导热

18. 应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线 第三章 非稳态导热

19. 工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态 在热电偶测定流体温度的场合，热电偶的时间常数是说明热电偶对流体温度变动响应快慢的指标。时间常数越小，热电偶越能迅速反映出流体温度的变动。时间常数不仅取决于热电偶的几何参数（V/A）、物理性质（ρ、C），还同换热条件（h）有关。从物理意义上来说，热电偶对流体温度变化响应的快慢取决于自身的热容量（ρcV）及表面换热条件（hA）。热容量越大，温度变化得越慢；表面换热条件越好，单位时间内传递的热量越多，则越能使热电偶的温度迅速接近被测流体的温度。ρcV与hA的比值反映了这两种影响的综合结果。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的 （微细热电偶、薄膜热电阻） 第三章 非稳态导热

20. 3 瞬态热流量： 导热体在时间 0~  内传给流体的总热量： 当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？） 第三章 非稳态导热

21. 4 物理意义 无量纲热阻 无量纲时间 Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。 第三章 非稳态导热

22. 5 集总参数法的应用条件 是与物体几何形状 有关的无量纲常数 采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5% 对厚为2δ的 无限大平板 对半径为R的 无限长圆柱 对半径为R的 球 第三章 非稳态导热

23. §3-3 一维非稳态导热的分析解 对于几何形状及边界条件都比较简单的问题可以获得分析解，本节将主要介绍用分离变量法求解无限大平板的问题。（从长度和宽度方向上散热小，t仅是厚度δ的函数的一维问题） 1.无限大的平板的分析解 已知：2δ、t0的无限大平板，在初始瞬间将它方置于h、t∞的流体中，to＞t∞。 λ=const A=const h=const 因两边对称，只研究半块平壁 对称分布，只研究厚度为δ的半块平板，对于x≥0的半平板。可以列出导热微分方程及定解条件： 第三章 非稳态导热

24. 此半块平板的数学描写： 导热微分方程 初始条件 边界条件 (对称性) 第三章 非稳态导热

25. 引入变量－－过余温度 令 上式化为： 第三章 非稳态导热

26. 用分离变量法可得其分析解为： 此处Bn为离散面(特征值) 若令 则上式可改写为： * 第三章 非稳态导热

27. μn为下面超越方程的根 为毕渥准则数，用符号 Bi 表示 书上P73表3-1给出了部分Bi数下的μ1值 第三章 非稳态导热

28. 因此 是F0, Bi 和 　函数，即 注意：特征值 　 特征数（准则数） 第三章 非稳态导热

29. 2. 非稳态导热的正规状况 对无限大平板 当　　　 取级数的首项，板中心温度， 误差小于1% 第三章 非稳态导热

30. 与时间无关 第三章 非稳态导热

31. 考察热量的传递 若令Q为内所传递热量 --时刻z的平均过余温度 Q0--非稳态导热所能传递的最大热量 第三章 非稳态导热

32. 对无限大平板，长圆柱体及球： 及 可用一通式表达 此处 此处的A，B及函数 见P74表3-2 第三章 非稳态导热

33. 3 正规热状况的实用计算方法－拟合公式法 对上述公式中的A，B，μ1，J0 可用下式拟合 式中常数a ,b ,c ,d见P75表3-3 a`,b`,c`,d`见P75表3-4 第三章 非稳态导热

34. 3 正规热状况的实用计算方法－线算图法 诺谟图 以无限大平板为例，F0>0.2 时，取其级数首项即可 三个变量，因此，需要分开来画 • 先画 第三章 非稳态导热

35. (2) 再根据公式(3-23) 绘制其线算图 (3) 于是，平板中任一点的温度为 同理，非稳态换热过程所交换的热量也可以利用（3－24）和（3－25）绘制出。 解的应用范围 书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且F0>0.2 第三章 非稳态导热

36. 4 分析解应用范围的推广和讨论 （1）分析解应用范围的三点推广。 ①对物体冷却也可适用。 ②对一侧绝热、另一侧为第三类边界条件的平板也可适用。 ③当对流换热系数趋于无穷大时，固体的表面温度就趋近于流体的温度，因而Bi→∞时就是物体表面温度突然变化后保持不变的第一类边界条件的解。 （2）Fo及Bi对温度场的影响 ①随着Fo（τ）数的增加，物体中各点的过余温度减少。 ②Bi 数的影响可以从两个方面说明： 在相同的Fo数条件下，Bi 数越大，θm/θ0的值越小。Bi 数越大，意味着表面上的换热条件越强，导致物体中心温度越迅速接近周围介质的温度。在极限情况下，Bi→∞，这相当于在过程开始瞬间物体表面就达到了周围介质的温度，物体中心温度的变化当然也最迅速。相当于壁温保持恒定的第一类边界条件。 另一方面，Bi 数的大小还决定物体中温度的扯平程度。当Bi ＜0.1时，截面上的过余温度差值已小于5％，可忽略内阻，用集总参数法。 由此可见：介质温度恒定的第三类边界条件下的分析解，在Bi→∞时转化为第一类边界条件下的解，而在Bi→0时与集总参数法的解相同。 第三章 非稳态导热

37. §3-4 二维及三维问题的求解 对于二维及三维典型几何形状物体的非稳态导热问题的分析解，可以利用一维非稳态导热问题的分析解的组合求得。例如：长方柱体、短园柱体及短方柱体。 1 以无限长方柱体的非稳态导热问题来分析 已知：初始温度t0，过程开始时被置于t∞、h的流体中。求温度场。 只分析1/4的截面就够 第三章 非稳态导热

38. 考察一无限长方柱体(其截面为 的长方形) 第三章 非稳态导热

39. 如果 分别是处于与长方体同样定解条件下的厚度分别为2δ1及2δ2的无限大平板的分析解，那么它们必须分别满足各自的导热微分方程及定解条件。 及 其中 其中 第三章 非稳态导热

40. 则：这两个无限大平板分析解的乘积就是上述长方柱体的解。具体证明见书本（先证明符合导热微分方程式，然后证明符合定解条件）。则：这两个无限大平板分析解的乘积就是上述长方柱体的解。具体证明见书本（先证明符合导热微分方程式，然后证明符合定解条件）。 即证明了 是无限长方柱体导热微分方程的解，这样便可用一维无限大平壁公式、谟图或拟合函数求解二维导热问题 2 推广 对于短园柱体及短方柱体也可以用两个或三个一维问题的解的乘积来表示其温度分布，这就是多维非稳态导热的乘积解法。 短园柱体的解是无限长园柱体的解与厚度为L的大平板的解的乘积。 短方柱体（2δ1×2δ2×2δ3）的解是三个厚度分别为2δ1、2δ2、2δ3的大平板解的乘积。 第三章 非稳态导热

41. 第三章 非稳态导热

42. 限制条件： （1） 一侧绝热，另一侧三类 （2） 两侧均为一类 （3） 初始温度分布必须为常数 第三章 非稳态导热

43. 3 模拟方法的基本原理 对于几何条件或边界条件复杂的问题，分析解法无能为力。可采用数值解法或实验模拟法求解。这里以热电模拟为例，简要说明模拟方法的基本原理。 描写物体温度分布的导热微分方程与描写导体中电压分布的微分方程的类同是热电模拟的基础。以稳态导热为例，用模拟方法求解时，需按照模拟的原则布置一个与要研究的导热系统等效的导电系统。令电系统中的总电压对应于热系统中的总温压，则电压分布就代表了热系统中的温度分布，电流强度代表了热系统中的热流量。根据对电系统的实验测定结果就可以换算出相应导热问题的温度分布及热流量。 热电模拟逐渐被数值计算所代替，但热电模拟的基本思想对分析问题很有帮助。 第三章 非稳态导热

44. §3-5 半无限大的物体 1.半无限大物体的概念 半无限大物体是非稳态导热研究中的一个特有的概念。其特点是从x=0的界面开始可以向正的x方向及其他两个坐标（y,z）方向无限延伸。 现实中不存在这样的半无限大物体，但是在研究物体中非稳态导热的初始阶段，则有可能把实际物体当作半无限大物体来处理。例如：初始温度均匀的有限厚度的平板，其一侧表面突然所到热扰动——或者壁温突然升高到一定值并保持不变，或者突然受到恒定的热流密度加热，或者受到温度恒定的流体的加热或冷却。当扰动的影响还局限在表面附近而尚未深入到平板内部中去时，就可有条件地把该平板视为一“半无限大物体”。 第三章 非稳态导热

45. 2 第一类边界条件下半无限大物体的理论求解 （1）温度场的求解 一个半无限大物体初始温度均匀（t0），在τ=0 时刻，x=0的一侧表面温度突然升高到tw并保持不变，求物体内部的温随时间的变化。 误差函数 无量纲变量 第三章 非稳态导热

46. 误差函数： 无量纲坐标 令 说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关 (2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的 时间无论x有多么大，该处总能感受到温度的化。？ (3)但解释Fo,a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这 是因为，当温度变化很小时，我们就认为没有变化。 第三章 非稳态导热

47. 令 若 即 可认为该处温度没有变化 第三章 非稳态导热

48. 两个重要参数: ①从几何位置上说，如果 ，则时刻τ时x处的温度可以认为尚未发生变化。因而对于其半厚度 的平板，则在τ时刻之前该平板中瞬时温度场的计算均可采用半无限大物体的模型。 ②从时间上看，如果τ≤x2/16a,则此时x处的温度可认为完全不变，因而可以把x2/16a视为惰性时间，即当τ＜x2/16a时x处的温度可认为仍等于t0。 第三章 非稳态导热

49. 吸热系数 即任一点的热流通量： （2）物体表面上的瞬时热流密度qw及在[0，τ]时间间隔内放出或吸收的热量的求取 令 即得边界面上的热流通量 [0,]内累计传热量 第三章 非稳态导热

50. 半无限大物体受第一类边界条件的影响而被加热或冷却时，界面上的瞬时热流量与时间的平方根成反比，而在[0，τ]时刻内交换的总热量则正比半无限大物体受第一类边界条件的影响而被加热或冷却时，界面上的瞬时热流量与时间的平方根成反比，而在[0，τ]时刻内交换的总热量则正比 于 及时间的平方根， 称为吸热系数，它代表了物体向与其接触的高温物体吸热的能力。在材料成型工业中选择造型材料及冷铁时，吸热系数是个重要指标，因为它影响物体的冷却速度。 3 物体加热或冷却速度的比较 对有限大小的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体非稳态导热的初始阶段，对物体表面上发生的热扰动已经深入传递到了物体内部时，必须采用以前各节的分析方法。工程中常常对物体被加热或冷却的速度感兴趣。 非付立叶导热问题（激光加工的微尺度时间问题）。 第三章 非稳态导热