Lavoro di una forza costante

1. Consideriamo un punto materiale che si sposta da A a B in linea retta sotto l’azione di una forza costanteF Si definisce il lavoro della forza F come: B P θ F A s Lavoro di una forza costante Il segno di L dipende dall’angolo tra forza e spostamento:

2. A γ B ds F Definizione generale di lavoro • Consideriamo un punto materiale soggetto all’azione di una forza F (in generale variabile) che si sposta da A a B lungo una curva γ • Lavoro elementare nel tratto ds: • Lavoro complessivo: θ

3. Potenza • Se lo spostamento da A a B avviene in un intervallo di tempo Δt, si definisce la potenza media come rapporto tra il lavoro e l’intervallo di tempo in cui tale lavoro è stato svolto: • Potenza istantanea: In base alla definizione di lavoro elementare si ha:

4. Unità di misura • Equazione dimensionale del lavoro: L=[M L2 T -2] • Nel sistema MKS il lavoro si misura in Joule (J) • 1 J = 1 kg m2 s-2 • Nel sistema CGS il lavoro si misura in erg • 1 erg = 1g cm2 s-2 • 1 erg = 10-7 J • Equazione dimensionale della potenza: P =[M L2 T -3] • Nel sistema MKS la potenza si misura in Watt (W) • 1 W = 1J/s = 1 kg m2 s-3 • Nel sistema CGS la potenza si misura in erg/s • 1 erg/s = 1g cm2 s-3 • 1 erg/s = 10-7 W • Altra unità di misura per la potenza è il cavallo vapore (CV) • 1 CV = 735,5W

5. Consideriamo il lavoro elementare compiuto da una forza F in uno spostamento ds ed applichiamo la seconda legge di Newton: Energia cinetica Integrando lungo l’arco di traiettoria tra A e B: • La grandezza K=(1/2)mv2 prende il nome di energia cinetica • L’energia cinetica è una grandezza scalare associata allo stato di moto (velocità) di un corpo • L’equazione precedente è nota come teorema dell’energia cinetica

6. y A P B O x Lavoro della forza peso Calcoliamo il lavoro svolto dalla forza peso per uno spostamento di un punto materiale dalla posizione A alla posizione B Nel riferimento scelto: γ

7. Energia potenziale gravitazionale • Il lavoro della forza peso non dipende dalla traiettoria, ma solo dalla quota di partenza yAe da quella di arrivo yB • Se il punto materiale percorre una traiettoria chiusa (A=B) il lavoro è nullo (yA=yBe quindi L=0) • Introducendo la funzione U(y) = mgy il lavoro è dato da: • La funzione U(y) è detta energia potenziale gravitazionale ed è una grandezza scalare associata alla posizione in cui si trova il punto materiale (data da y) • La funzione U(y) è definita a meno di una costante: se si pone U(y)=mgy+c vale sempre la relazione L= -ΔU

8. F x O Lavoro della forza elastica Consideriamo un punto materiale che si muove lungo un asse x sotto l’azione di una forza elastica da A a B Fissando l’origine nella posizione di riposo della molla:

9. F(x) F=-kx xA xB x O -kxA -kxB Interpretazione grafica Costruiamo un grafico della forza in funzione della posizione A meno del segno, il lavoro della forza elastica è pari all’area del trapezio

10. Energia potenziale elastica • Il lavoro della forza elastica, come quello della forza peso, non dipende dalla traiettoria, ma solo dalla posizione di partenza xAe da quella di arrivo xB • Se il punto materiale percorre una traiettoria chiusa (A=B) il lavoro è nullo (xA=xBe quindi L=0) • Introducendo la funzione U(x) = (1/2)kx2 il lavoro è dato da: • La funzione U(x) è detta energia potenziale elastica ed è una grandezza scalare associata alla posizione in cui si trova il punto materiale (data da x) • La funzione U(x) è definita a meno di una costante: se si pone U(x)= (1/2)kx2+c vale sempre la relazione L= -ΔU

11. Lavoro della forza di attrito Consideriamo un punto materiale che si sposta su un piano in presenza di una forza di attrito dinamico: s = lunghezza della curva γ • Il lavoro della forza di attrito dinamico è sempre negativo perchè la forza di attrito dinamico è sempre diretta in verso opposto rispetto allo spostamento • Il lavoro della forza di attrito dinamico dipende dalla traiettoria compiuta dal punto materiale (s è la lunghezza dello spostamento complessivo) • La forza di attrito statico non compie lavoro! (se c’è attrito statico, il punto materiale rimane in quiete!)

12. γ1 B γ2 γ3 A γ4 Forze conservative • Sono forze per le quali il lavoro non dipende dal percorso • Esempi di forze conservative: forza peso, forza elastica • Esempi di forze non conservative (forze dissipative): attrito

13. γ1 B γ2 A Lavoro in un percorso chiuso Calcoliamo il lavoro di una forza conservativa quando un punto materiale si sposta su un percorso chiuso γ1+ γ2

14. Energia potenziale Poichè il lavoro non dipende dallo spostamento, ma solo dalla posizione iniziale e da quella finale, si può introdurre una funzione di statoU(x,y,z) detta energia potenziale, tale che: • La funzione U(x,y,z) è definita a meno di una costante • Se si pone U’(x,y,z) = U(x,y,z)+c si ha ancora LAB=-ΔU’ • La costante viene fissata scegliendo un punto P0(x0,y0,z0) e assegnando U(P0 )=U0 • Forza peso:U(y)=mgy significa U=0 in y=0 • Forza elastica:U(x)=(1/2)kx2 significa U=0 in x=0 • L’energia potenziale non può essere definita per forze non conservative, per le quali LAB dipende dal percorso da A a B

15. Energia meccanica Teorema dell’energia cinetica (valido per tutte le forze): Definizione di energia potenziale (solo per forze conservative): Uguagliando le due quantità a secondo membro si ha: La grandezza Emec=U+K si chiama energia meccanica e, in presenza di sole forze conservative, si conserva (da cui deriva il nome di forze conservative):

16. A B x Δx Forza ed energia potenziale Consideriamo un punto materiale che si muove da A a B in una dimensione (asse x) sotto l’azione di una forza conservativa F(x). Definizione di energia potenziale: Calcolo del lavoro: Mettendo a confronto i secondi membri:

17. U(x) Equilibrio instabile (U massima) Emec C K=Emec-U E D B x Equilibrio stabile (U minima) Equilibrio indifferente (U costante) Curve dell’energia potenziale A Regione proibita (K<0)

18. Energia meccanica e forze dissipative Consideriamo un punto materiale che si sposta da A a B sotto l’azione di forze sia di tipo conservativo che dissipativo Teorema dell’energia cinetica: Calcolo del lavoro: Uguagliando i secondi membri: • La variazione di energia meccanica è pari al lavoro delle forze non conservative • Si può ristabilire la conservazione dell’energia (primo principio della termodinamica) introducendo altre forme di energia (es. energia termica)