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§1.5 陪集、共轭元素、类. 一、教学目标 1 、掌握陪集概念，学会运用陪集把一个群分解； 2 、掌握拉格朗日定理； 3 、会寻找群元素的共轭元素以及把群按类分解。 二、重点与难点 陪集和共轭元素类。. 三、教学内容. 1 、陪集 a . 左陪集 设群 的子群为 ，取 G 中任意元素 从左边遍乘 的每一个元素得到集合 称为子群 的陪集（左陪集）。 b . 讨论 若 则 ，若 ，则. 证明：假设 是 的元素 ， 中元素的数目等于子群 的阶 . 若 ，则左陪集 将不包括在 和 中。.
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§1.5陪集、共轭元素、类 一、教学目标 1、掌握陪集概念，学会运用陪集把一个群分解； 2、掌握拉格朗日定理； 3、会寻找群元素的共轭元素以及把群按类分解。 二、重点与难点 陪集和共轭元素类。
三、教学内容 1、陪集 a .左陪集设群的子群为 ，取G中任意元素从左边遍乘 的每一个元素得到集合 称为子群的陪集（左陪集）。 b .讨论 • 若则，若，则
证明：假设是的元素， • 中元素的数目等于子群的阶. • 若，则左陪集将不包括在和中。
子群的两个左陪集，要么彼此完全重合，要么彼此完全不相交.子群的两个左陪集，要么彼此完全重合，要么彼此完全不相交. c. 群按子群的左陪集划分 群G可以按其子群分解为若干个完整的左陪集. 例有子群 可按 分成左陪集串
按 分成右陪集串 补充： 群是平面正三角形对称群， 群又称为6阶二面体群。 e：不转 f: 绕Z转 b: 绕轴2转d: 绕Z转 a: 绕轴1转c: 绕轴3转
二面体群D2n是正 n边形的对称群，具有 2n个元素。某些书上则记为 Dn。除了 n = 2 的情形外，D2n都是非交换群。
d.右陪集 设群的子群为取G 中任意元素从右边遍乘的每一个元素，得到 的集合称作子群的右陪集。 注意： 1）左陪集的数目一定等于右陪集的数目. 2）左陪集 中元素的逆元与右陪集 重合.
即左、右陪集之间存在单值对应. 例见上面。 2 .拉格朗日定理 a.内容有限群的子群的阶等于该有限群阶的因子。
b.证明 : 设G是n阶有限群，H是G的m阶子群。 取 ，，做左陪集，如果包括子群H的左陪集串H，不能穷尽整个群G，则取 ，，，作 ，根据陪集定理与H，完全不重合，继续做下去，由于G的阶有限，故总存在，使左陪集串
穷尽整个G，而左陪集串中没有相重合的元素，故G穷尽整个G，而左陪集串中没有相重合的元素，故G 的元素被分成j个左陪集，每个陪集有m个元素。 群G的阶n=（子群H的阶m）×j 证毕。 c.阶为素数的群没有非平庸子群。 d.若n阶有限群G中某个元素a的级为r，则
构成一个r阶循环子群，且r一定能被 群G的阶n整除。商数是这个子群的指数。 e.寻找有限群的可能结构 四阶群：它的元素的阶为2，4，若有四级元素，得 到 若有二阶元素
六阶群：元素的阶2，3，6. 若有一个元素的阶为6，则得到六阶循环群 ， ， ， 。 若无六级元素，有一个元素是三级的 若再有另一个不同的三级元素c,就有 .则必 有，而且彼此不同，元素数目超过六个 ，这不可能。
所以其它元素只能是二级的，设一个为 ，有 也只能是二级元素， 这就是群。即不同构的六阶群只有两种。 作业： 证明不同构的六阶群只有两种。
3．共轭元素和类 a. 共轭变换设a，b ，g 都是群G的元素， 则b是a的共轭变换或者称a 与b的共轭。 b．共轭关系的可传递性 若a与b共轭，b与c共轭，则a与c共轭。 c．任何元素a都和它的自身共轭. d．共轭元素类及其性质
所有相互共轭的元素的集合称为一个共轭元素类，所有相互共轭的元素的集合称为一个共轭元素类， 一个类中包含的元素的数目称为它的阶。 (1) 单位元自成一类， (2) 互换群的每个元素自成一类. (3) 同类元素有相同的级（阶）. 若，则
（4）共轭元素类和它的逆共轭元素类。共轭元素类的逆元素组成一个共轭元素类，称为逆共轭元素类。（4）共轭元素类和它的逆共轭元素类。共轭元素类的逆元素组成一个共轭元素类，称为逆共轭元素类。 若则有 （5）一个共轭元素类中每个元素的s次也组成一个共轭元素类，若，则
（6）两个不同的共轭元素类不会有相同的元素.（6）两个不同的共轭元素类不会有相同的元素. （7）两个共轭元素类和的乘积，一定包含群 中若干个完整的共轭元素类. 若，则 若是群中的一个类，是群中的一个类，则和直积集合是直积群的一个类。 .
证明：若 反之，若与属于同一类,那么总可以找到直积群中的一个元素使得
由此可见在直积因子和中， 集合乘积,也叫笛卡尔积。定义如下： 若，则 例子:求6阶群的各共轭元素类。 六阶群可表示为
满足如下乘法关系 它的各共轭类如下：
{e}自成一类， 所以是一类。
所以是一类。 e.共轭类定理有限群G中各个共轭元素类的阶都可以被群G的阶整除。
证明:设某共轭元素类中有一个元素为m，则群G中与m对易的元素集合构成子群G’。证明:设某共轭元素类中有一个元素为m，则群G中与m对易的元素集合构成子群G’。 因为若am=ma,bm=mb，则(ab)m=m(ab)。 又ma-1=a-1m,em=me, 所以{e,a,b,……}构成子群G’。 如果有元素x将m变到h，则左陪集x G’中的每个元素
都将m变到h,即，若xmx-1=h,则 (xa)m(xa)-1=xama-1x-1=xmx-1=h。 反之，任何将m变换到h的元素一定在左陪集 x G’中。因为若y是m变换到h,即ymy-1=h,则： (x-1y)m(x-1y)-1=x-1ymy-1x=x-1hx=m, (x-1y)m=m(x-1y),
即x-1y与m可互易，应包含在子群G’中，设等于gi’即即x-1y与m可互易，应包含在子群G’中，设等于gi’即 gi’= x-1y， 则 y=x gi’ x G’。 这就证明了G’的一个陪集的元素将m变为同一个元素h，而将m变为同一个元素h的任何元素必属于同一个陪集。
于是一个共轭类中包含的元素数目（等于共轭类的阶）等于由与其中某一个元素可对易的元素集合所构成的子群G’的的陪集数，也就是子群G’的指数。根据Lagrange定理，子群的指数可以整除群的阶，所以共轭元素类的阶也可以整除群的阶。于是一个共轭类中包含的元素数目（等于共轭类的阶）等于由与其中某一个元素可对易的元素集合所构成的子群G’的的陪集数，也就是子群G’的指数。根据Lagrange定理，子群的指数可以整除群的阶，所以共轭元素类的阶也可以整除群的阶。
4. 置换群的类 a. 的共轭元素 设中有两个置换和。若存在置换，使得 则和互为共轭，属于同一个共轭类。令 则
若 则 讨论: ①可见置换群元素的同类元素相当于将置换的上下两行数码（符号）同时做置换。
②把写成独立的循环（脱位循环），用对进行共轭变换，就是把每个循环中的符号按进行置换，这种置换改变的只是个循环中的符号，而不会改变循环的结构。和有相同的循环结构，含有相同的独立循环的数目和数目的长度。②把写成独立的循环（脱位循环），用对进行共轭变换，就是把每个循环中的符号按进行置换，这种置换改变的只是个循环中的符号，而不会改变循环的结构。和有相同的循环结构，含有相同的独立循环的数目和数目的长度。
例 所以
③两个置换属于同一类的充分必要条件是，它们具有相同的循环结。即具有相同的循环结构的元素属于同一类。③两个置换属于同一类的充分必要条件是，它们具有相同的循环结。即具有相同的循环结构的元素属于同一类。 S3：e=(1)(2)(3),(23),(13),(12),(123),(132).
④ 同一类置换的奇偶性相同，但对其他有限群一般不成立。 奇偶性：把一个置换分解成N个对换因子积，则置换宇称为:（-1）N。若N为偶数，偶置换。若N为奇数，奇置换.
b.置换群的配分 将置换写成按循环长度分类不递增次序排列的脱位 循环积，如 则有 这种将正整数分解为一组不递增的正整数之和的方 式称n的一个配分。任何一种置换都对应一个确定的 配分。如
对应配分 对应配分 若置换中包含一个符号的循环有个，包含两个符号的循环有个，……，包含个符号的循环有个，则因符号的总数为n，有
这时置换对应的配分可写为 ，或者 这样一组数决定一种循环结构，确定一 个类，有多少组能满足上式的 ，就有多少类。对于 有
用满足上述条件的一个数组 记为 ，标志一种循环结构和置换群的一个类。
四、思考与作业 • 已知：的子群， ， • 试写出：H1、H2的所有可能左、右陪集。并比较左右陪集之间的内在联系。 • 证明：不同构的六阶群只有两种。 • 求置换群S4的共轭类，并求各类中包含元素的个数。
