Variable aleatòria continua

1. Variable aleatòria continua Curs 2013-14

2. Variable aleatòria continua • Cm3 de sang perduts en una intervenció quirúrgica • Nivell de bilirrubina en nens de 3 a 5 anys • Augment de pes desprès de l'administració d'un tractament amb cortisona • Temps de supervivència desprès del diagnòstic d'una determinada malaltia. Curs 2013-14

3. Variables aleatòries continues Sigui X una variable aleatoria continua • X pot pendre infinit valors • P(X=x) = 0 • Interessa trobar una expressió que ens permeti calcular la probabilitat que la variable aleatoria X prengui valors en un determinat interval P(a<X<b) Curs 2013-14

4. Variables aleatòries continues • Funció de densitat: • Es una funció associada a la variable continua X que compleix: • P(a<X<b) = • Funció de distribució de probabilitat • F(x)=P(X≤x) = Curs 2013-14

5. Per a què serveix la funció de densitat? • S’identifica la probabilitat de que el valor de la variable pertanyi a un interval amb l’àrea sota la funció de densitat Curs 2013-14

6. Variables aleatòries continues teòriques • Variable normal • Variable normal estàndard o tipificada • Variable t de Student-Fisher • Variable de χ2 • F de Snedecor Curs 2013-14

7. Variable aleatòria continua Variable aleatòria normal Curs 2013-14

8. Variable aleatoria normal • Està caracteritzada per dos paràmetres: • La mitjana, μ • la desviació típica, σ. X ~ N( µ, σ) Curs 2013-14

9. Variable aleatoria normal • La importància de la distribució normal es deu fonamentalment a que moltes variables associades a fenòmens naturals i quotidians segueixen aproximadament aquesta distribució • Característiques morfològiques: talla, pes, ... • Característiques sociològiques: puntuacions en exàmens, ... • Característiques psicològiques: Coeficient intel·lectual, ... • Errors comesos al mesurar certes magnituds Curs 2013-14

10. N(0,1) Curs 2013-14

11. N(0,2) Curs 2013-14

12. N(0,0’5) Curs 2013-14

13. N(0,1) Curs 2013-14

14. N(2,1) Curs 2013-14

15. N(-2,1) Curs 2013-14

16. Variable aleatoria normal • Es pot interpretar la mitjana com un factor de translació • I la desviació típica com un factor d’escala, grau de dispersió,… Curs 2013-14

17. Variable aleatoria normal 68 %  95 % 99’7 %   -2 - + +2 -3 +3 Curs 2013-14

18. Variable aleatoria normal estandar • Una variable aleatoria normal (o tipificada) es una variable aleatoria normal amb • Mitjana: μ = 0 • Variança: σ2 = 1 • La representem amb el simbol Z • Z~N(0,1) • La seva funció de distribució la trobem a les TAULES Curs 2013-14

19. P(X>a) a P(Z > (a-µ) / σ) 0 a-µ σ Curs 2013-14

20. Z ~ N(0,1) P(Z>a) a Curs 2013-14

21. Curs 2013-14

22. Tipificació de la Normal • Exemple: • La alçada dels alumnes de una classe segueix una distribució Normal de mitjana 172’5 cm i desviació estàndard 10 cm • Quina es la probabilitat de que l’alçada de un alumne sigui superior a 185 cm? Curs 2013-14

23. P(X>185) 185 P(Z > (185-172’5) / 10 ) 0 185-172’5 10 =1’25 Curs 2013-14

24. Curs 2013-14

25. Variable aleatoria normal • P(a≤X≤b)=P(X≥a) – P(X≥b) • P(Z>-a) = P(Z<a) • P(Z<a) = 1 - P(Z>a) • P(Z>-a) = 1 - P(Z>a) Curs 2013-14

26. Variable aleatoria normal X ~ N( µ, σ) P(X>a) a b Curs 2013-14

27. Variable aleatoria normal X ~ N( µ, σ) P(X>b) a b Curs 2013-14

28. Variable aleatoria normal X ~ N( µ, σ) P(a < X < b) = P (X>a) – P (X>b) a b Curs 2013-14

29. Z ~ N(0,1) Com calcular P(Z>-a) P(Z>-a) -a Curs 2013-14

30. Z ~ N(0,1) P(Z<-a) = P(Z>a) P(Z<-a) P(Z>a) -a a Curs 2013-14

31. Z ~ N(0,1) P(Z>-a) -a Curs 2013-14

32. Z ~ N(0,1) P(Z>-a) = 1 – P(Z<-a) P(Z<-a) 1 – P(Z<-a) -a Curs 2013-14

33. Z ~ N(0,1) Com: P(Z<-a) = P(Z>a) I: P(Z>-a) = 1 - P(Z<-a) Llavors: P(Z>-a) = 1 - P(Z<-a) = 1- P(Z>a) Curs 2013-14

34. Variable aleatoria normal X ~ N( µ, σ) P(a < X < b) a b Curs 2013-14

35. Variable aleatoria normal Exercici: Sigui X: N(5,2) Quin és el tant per cent de valors que es troben entre (x = 3 i x = 7) P(3 < X < 7) = P (X > 3) – P (X > 7) X~N(5,2) Z~N(0,1) P(X>a) P(Z > (a-5) / 2 ) a - 5 2 a Curs 2013-14

36. Variable aleatoria normal Exercici: Sigui X: N(5,2) Quin és el tant per cent de valors que es troben entre (x = 3 i x = 7) P(3 < X < 7) = P (X > 3) – P (X > 7) = = P ( > ) - P ( > ) = P (Z > -1) – P (Z > 1) = = [1 – P(Z>1)] – P(Z>1) = = 1 – 2·P(Z>1) = Curs 2013-14

37. Curs 2013-14

38. Variable aleatoria normal Exercici: Sigui X: N(5,2) Quin és el tant per cent de valors que es troben entre (x = 3 i x = 7) P(3 < X < 7) = P (X > 3) – P (X > 7) = = P ( > ) - P ( > ) = P (Z > -1) – P (Z > 1) = = [1 – P(Z>1)] – P(Z>1) = = 1 – 2·P(Z>1) = 1 – 2·0.1587 = 0’6826 Curs 2013-14

39. Variables aleatòries continues teòriques • Variable normal • Variable normal estàndard o tipificada • Variable t de Student-Fisher • Variable de χ2 • F de Snedecor Curs 2013-14

40. Z~N(0,1) X = Z1+ Z2 + ....+ Zk X ~ χ2(k) Chi quadrat Curs 2013-14

41. T de student • Z~N(0,1) • V ~ χ2(v) • X= • Quan augmenten els graus de llibertat, més s’acosta a N(0,1). • Es simètrica al voltant de zero. • Es consideren valors anòmals els que se allunyen de zero (positius o negatius) Curs 2013-14

42. Teorema central del límit • Siguin X1, X2, X3, ..., Xn n variables aleatories identicament distribuides E(Xi) = µ V(Xi) = σ2 (n gran) • ΣXi = X1+X2+X3+...+Xn ~ N(nµ,nσ2) Curs 2013-14

43. Teorema central del límit • Com conseqüència: • X ~ B(n,p) X ~ N(np,np(1-p)) • X ~ Poisson(λ) X ~ N(λ,λ) (n gran) (n gran) Curs 2013-14