المتغيرات العشوائية و التوزيعات الاحتمالية و توزيعات المعاينة

1. الفصل الرابع المتغيرات العشوائية و التوزيعات الاحتمالية و توزيعات المعاينة أ.سارة السديري

2. عند رمي قطعة النقود ثلاث مرات متتالية عدد عناصر فضاء العينة =2³=8 فضاء العينة في هذه التجربة هو : فضاء العينة في هذه التجربة هو : S = { HHH , HHT , HTH , THH , TTT , THT , TTH , HTT } اذا كان X = ظهور H في كل نقطة فضاء العينة في هذه التجربة هو : S = { HHH , HHT , HTH , THH , TTT , THT , TTH , HTT } X يربط بين عناصر فضاء العينة و مجموعة الأعداد الحقيقية{0,1,2.3} X دالة حقيقية تسمى بـــمتفير عشوائي 0 1 1 1 2 3 2 2

3. 4-1 المتغيرات العشوائية Random Variable • تعريف المتغير العشوائي: • المتغير العشوائي X هو اقتران حقيقي (دالة حقيقية ) يعرف على فضاء العينة S, أي أن المتغير العشوائي هو اقتران تعريفه فضاء العينة و مداه مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية. • المتغير العشوائي يعطي قيمة حقيقية وحيدة لكل عنصر من عناصر فضاء العينة S • المتغير العشوائي X هو طبيقمجالة فضاء العينة S ومجاله المقابل مجموعة الاعداد الحقيقيةR.RX: S • هناك عدة أنواع للمتغيرات العشوائية نذكر منها نوعين هما: • متغيرات عشوائية منفصلة أو متقطعة Discrete Random Variables • متغيرات عشوائية متصلة أو مستمرة Continuous Random Variables • 4-2 التوزيعات الاحتمالية المنفصلة • تعريف المتغير العشوائي المنفصل : • يكون المتغير العشوائيXمتغيرعشوائي متقطع إذا كانت مجموعة القيم الممكنة له (المدى) • X(S)هي مجموعة متقطعة ( قابلة للعد), ومنتهية. • عدد الأولاد الذكور في الأسرة المكونة من أربع أولاد X،X:{x=0,1,2,3,4 • تعريف التوزيع الاحتمالي ( الاقتران الاحتمالي ) المنفصل : • هو كل جدول أو معادلة تعطي جميع القيم التي يمكن أن يأخذها متغير عشوائي مع احتمال كل قيمة منها • شروط التوزيع ( الاقتران )الاحتمالي : • مجموع الاحتمالات =1 • P(x) >= 0

4. مثال (1) : • اذا رميت قطعة نقود متزنة 3 , و عرف المتغير العشوائي X = عدد الظهور H • أوجد فضاء العينة , أوجد القيم الممكنة للمتغير X, اوجد احتمال جميع نقاط الفضاء التي ارتبطت بكل قيمة من قيم المتغير X • 1) نوجد فضاء العينة • S= {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT} • 2) نوجد القيم الممكنة للمتغير X • X={0,1,2,3} • 3) نوجد احتمال جميع نقاط الفضاء التي ارتبطت بكل قيمة من قيم المتغير X • P(X=0 )= 1/8 • P(X=1)= 3/8 • P(x=2)= 3/8 • P(x=3)= 1/8 • P(HHH)=1/8 • P(X<1)=1/8

5. مثال : من فضاء العينة لرمي قطعة نقود متزنة 3 مرات , أوجد Y= القيمة المطلقة للفرق بين عدد H و عدد T • 1) نوجد فضاء العينة • S= {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT} • 2) نوجد القيم الممكنة للمتغير Y • Y={1,3} • باستخدام الجدول : • مثال (1) باستخدام المعادلة : • P(x)= P(X=x)= 3 1 • 3 • ( • ( • ( • ( • X • 2 P(X) 3/8 2/8 1/8 باستخدام المدرج التكراري 0 1 2 3

6. مثال عند رمي حجر النرد مرتين متتاليتين , نعرف X على أنه مجموع الرقمين الظاهرين فضاء العينة في هذه التجربة هو : عدد عناصر فضاء العينة =6²=36 • X متغير عشوائي معرف على S , مداه {2,3,4,……….,11,12} • ماهو احتمال X=4؟ أي احتمال ان يكون مجموع العددين بالنقطة = 4 • X= 4 عند النقاط {(3,1), (2,2), (1,3)} • P(X=4) = 3/36 =0.0833

7. مثال(3) : هل الاقتران P(x)= X/10 ; X= 1,2,3,4 غير ذلك P(X)=0 , يمثل توزيعاً احتمالياً ؟ الشرط 1:∑p(X)= 1 ∑p(X)= ∑x/10=1/10+2/10+3/10+4/10 = 1 الشرط 2 :P(X)>=0 الواضح أنه لهذه القيمx=1,2,3,4 ,لغير هذه القيم p(x)=0 إذن يحقق الشرط

8. 4-3 التوقع الرياضي Mathematical Expectation • تعريف التوقع الرياضي : • اذا كان X متغيرا عشوائيا منفصلاً و كان توزيعه الاحتمالي P(X) فإن توقعه الرياضي (وسطه (يكون : • أو • عدد النتيجة الممكنة * التكرار النسبيE(X) = مثال : التوقع الرياضي لرمي ثلاثة قطع نقود 10 مرات بدلالة التكرار النسبي التكرارات النسبيه2/10,3/10,3/10,2/10 النتائج الممكنه (0,1,2,3) (0*2 + 1*3 + 2*3 + 3*2) /10 = 1.5 مثال (4) صفحة 133 :

9. مثال أوجد معدل عدد الاعطال في الاسبوع لجهاز الحاسوب اذا كان الاقتران الاحتمالي للاعطال الاسبوعية كما في الجدول

10. تعريف التوقع الرياضي لاقتران متغير عشوائي منفصل H(X): E( H(X) )= ∑H(x) p(x) الاحتمالي X هو توزيع P(X) حيث X حول نقطة الأصل للمتغير العشوائي K , العزم E( H(X) ) =E(Xᵏ)فيسمى H(X)= Xᵏو اذا كان مثال من جدول المثال السابق اذا كانت تكلفة اصلاح X من اعطال الحاسوب تعطى بالمعادلة Y=H(X)= X²+7X , فما هو توقع Y؟

11. خواص التوقع الرياضي • E(a) =a • E(X±b) = E(X) ±b • E(aX) =a E(X) • E(aX±b) = aE(X) ±b • التوقع الرياضي لمجموع اقترانين لمتغير عشوائي = مجموع التوقعين الرياضين للاقتران أي: • E( f(X) +g(X) ) = E(f(X) ) + E (g(X) ) • A=0 • E(aX±b) = E(b) =b • B=0 • E(aX±b )= a E(x)

12. تعريف التباين Variance: • تباين المتغير العشوائي X الذي معدلة µهو: • حيث P(X) هو توزيع X الاحتمالي و بفرض أن التوزيع منفصل , • و يعرف الانحراف المعياري • بالجذر التربيعي الموجب للتباين أي أن : • خواص التباين • Var(a) =0 • Var (X±b) = Var (X) مثال(6) أوجد تباين X و الانحراف المعياري الاعطال في الاسبوع لجهاز الحاسوب اذا كان الاقتران الاحتمالي للاعطال الاسبوعية كما في الجدول • 2 • = ∑(X-µ) p(X)

13. التباين • 1.177==∑((X-µ)²) P(X) الانحراف المعياري • √= • 1.177 = 1.08√=

14. نظرية • لكل متغير عشوائي X اذا كان b,a ثابتين و وضعنا • Y= aX+b فإن • حيث تباين x • تباين Y • = a مثال (7) صفحة 137: مثال (8) صفحة 138: • نظرية : • إذا كان X متغيرا عشوائيا معدله µو تباينه فإن • = E(x ) - µ • 2 • 2 مثال (9) صفحة 138: • 2

15. صح احتمال جواب الطالب على سؤال اختياري من اربع خيارت¼ عند طرح 7 فقرات جميع هذه التجارب تحقق لي الشروط التالية خطا • نتيجة كل محاولة هي احد ناتجين إما نجاح أو فشل • نتيجة كل محاولة مستقلة عن أي محاولة اخرى • احتمال النجاح في كل محاولة ثابت p و احتمال الفشل ثابت q=P-1 • تجري التجربة عدد من المرات أي n من المحاولات المستقله ( اختار من متعدد , وفيه 7 فقرات اذان جربت الاجابة على الاختياري سبع مرات ) حاضرة يظهر اذا كان احتمال حضور طالبة للمحاضرة ¼ , و تابعت حضورها في 5 محاضارات اذا كان احتمال حضور ظهور رقم 6 في النرد 1/6, و رميت النرد 5 مرات غائبة لا يظهر تسمى هذه التجربة تجربة ذات الحدين

16. إذا افترضنا x تمثل عدد نجاح في محاولات n فإن x يسمى متغير ذات الحدين , و التوزيع الاحتمالي لـ x يسمى توزيع ذات الحدين , حيث x= 0,1,2,3,…… • إذا كان n=1 فالتجربة تسمى تجربة بيرنوللي • لايجاد هذا التوزيع نجد احتمال وجود X من النجاحات في المحاولات nأي نجد P(X)=P(X=x) مثال(12) : رميت قطعة نقود متزنة 4 مرات , أوجدي الاقتران الاحتمالي لعدد H الظاهر فيها.

17. مثال عند رمي حجر النرد 5 مرات, ما احتمال عدم ظهور الوجه6؟ ما احتمال ظهور 6 مرتين ؟

18. عند اجراء تجربة ذات الحدين 5 مرات , نفترض أن X متغير ذات الحدين. احتمال النجاح = p , احتمال الفشل = q=1-p نستخدم الرموز التالية لتوضيح طريقة ايجاد احتمالات النجاح من التجربة المكرره يمثل النجاح P يمثل الفشل q لو طلب مني أوجد احتمال P(x=3) ما يعني أن عدد نجاحات 3 من عدد المحاولات 5

19. P³q² = P³q² = P³q² = P³q² = P³q² = P³q² = P³q² = P³q² = P³q² = P³q² = إذن :

20. إذا كان X متغير ذات الحدين n, P فإن : E(x) = µ = np التوقع الرياضي = E( [x- µ ]²)= npq التباين

21. مثال عند رمي حجر النرد 5 مرات, X = عدد مرات ظهور 3 . أوجدي معدل و تباين X.

22. جميع التجارب السابقة تحقق الشروط التالية عددالطالبات في قاعة رقم 405 الساعه12 :45 • معدل عدد النجاحات التي تحدث في فترة زمنية معينة أو منطقة محددة معلوم • احتمال حدوث نجاح واحد في فترة زمنية قصيرة او منطقة صغيرة تتناسب مع طول تلك الفترة او مساحة تلك المنطقة • احتمال حدوث نجاحين أو اكثر في الفترة الزمنية القصيرة او المنطقة الصغيرة مهمل • اذا اعتبرنا عدد فترات زمنية منفصلة عن بعضها البعض فان حدوث النجاحات في أي فترة مستقل عن حدوث النجاحات في أي فترة اخرى عدد الكلمات على اللوح عدد النجاحات في فترة زمنية معينة أو منطقة محددة عدد الأخطاء المطبعية في صفحة عدد السيارات التي تمر في طريق الملك فهد يوم السبت تسمى هذه التجربة تجربة بواسون

23. التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي بواسونX الذي يمثل عدد النجاحات في فترة زمنية معينة أو منطقة محددة هو : يعتبر عدد النجاحات x في تجربة بواسون متغير عشوائي بواسون , ونمثل اقترانه الاحتمالي بالاقتران P( x: ) ,e=2.7182

24. مثال إذا كان معدل حدوث عدد حوادث السيارات عند اشارة ضوءية 3 في الاسبوع . ما احتمال عدم حدوث أي حادث عند تلك الاشارة في اسبوع معين ؟ ما احتمال حدوث حادثين أو أقل في أسبوع معين ؟ افترض X= عدد الحوادث في اسبوع معدل الحوادث = 3 = احتمال عدم حدوث أي حادث: P(X=0)= احتمال حدوث حادثين أو أقل يعني: P(x<=2)= p(X=0)+ p(X=1) + p(X=2) = + + = [ 1+ 3 + 9/2 ] = 8.5 * = 0.423

25. إذا كان X متغير عشوائي بواسون و اقترانه الاحتمالي حيث معدل عدد الحوادث في الفترة الزمنية المعينة فإن E(X) = التوقع الرياضي = التباين

26. 4-5 التوزيعات الاحتمالية المتصلة : • هناك بعض المتغيرات العشوائية التي تأخذ جميع القيم في فترة ما , و تسمى متغير متصل • كون المتغير المتصل يأخذ كل القيم في فنرة محدده فإنه لا يمكن عد تلك القيم , لكنها تقاس بشكل تقريبي • طول الطلاب في عمر 16 سنة • لو افترضنا اخذ الفتره من 150.5 الى 170.2 فإنه احتمال ان يكون طول احد الطلاب قيمة محددة واحدة 160.9 = صفر • لأان الاحتمال هنا عبارة عن المساحة تحت المنحنى F(X) و فوق المحور الافقي المحصورة بين نقطتين معينتينa,b • من صفات المتغير العشوائي المتصل احتمال مساواته لأي قيمة معينة = صفر a b • تعريف: • اذا كان X متغيراً عشوائياً متصلاً , وكان F(X) دالة حقيقية غير سالبة بحيث تكون المساحة تحته = 1 فان F(x) يسمى ”الكثافة الاحتمالية ” أي التوزيع الاحتمالي المتصل للمتغير X. • أما احتمال وقوع X بين قيميتنX=a, X=b فيساوي المساحة تحت المنحى f(X) و فوق المحور الأفقي و المحصورة بين a,b • و لايجاد هذا الاحتمال نوجد المساحة عن طريق النظريات الهندسية أو التكامل أو باستعمال جداول خاصة لبعض الدوال الخاصة .

27. يمكن الحصول على منحنى التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتصل عملياً بطريقة الحصول على منحنى التوزيع التكراري النسبي ذي الفئات • إذا كان Xمتغيرا عشوائيا مستمرا دالة كثافته الاحتمالية هي ،فإن :Fx(X) • fX(x) ≠ P(X=x) • P(X=x) = 0 , ∀ x ∈R • P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) • = P(a < X < b) • fX(x) ≥ 0 , ∀ x ∈R • المساحة الكلية تحتى المنحنى =1

28. 4-5-1 التوزيع الطبيعي The Normal Distribution : • يعتبر من أهم التوزيعات الاحتمالية المتصلة نظرياً و تطبيقياً • يوصف التوزيع الطبيعي بمعادلة رياضية تحدد منحناه , وهي تتعين تماماً بمعرفة كل من ” التوقع ” و ” التباين ” • رمزه • له منحنى يشبه شكل الجرس , متماثل حول الخط المستقسمX=µ • و يتقارب الصفر على الجهتين عندما x->∞ و عندما X-> -∞ • عند تغيير µ يمينا او يسارا فان مركز التوزيع ينتقل معها و لايتغير شكل المنحنى • تشتت التوزيع ” تباعد المنحنى يقل كلما صغرت , و يكبر كلما كبرت Z:N(µ, )=>Z:N(0,1)

29. خواص التوزيع الطبيعي : • التوزيع الطبيعي متماثل حول العمود المقام على الوسط µو شكله يشبه شكل الجرس • للتوزيع الطبيعي فإن: المتوسط = الوسيط = المنوال =µ • المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي = 1 • يتقارب طرفا منحنى التوزيع الطبيعي من الصفر عندما x->∞,X-> -∞ • هناك نسب معينة من المساحة الواقعة ضمن أي عدد من الانحرافات المعيارية عن الوسط كما يلي : • المساحة ضمن انحراف معياري واحد عن الوسط = المساحة الواقعة على الفتره (µ+ , µ- ) • و تساوي 86.26% • المساحة ضمن انحراف معياري واحد ونص 1.5انحراف معياري عن الوسط = المساحة الواقعة على الفترة µ+1.5 , µ- 1.5 )) • و تساوي 86.64% • المساحة ضمن انحراف معياريانحراف معياري عن الوسط = المساحة الواقعة على الفترة • µ+2 , µ-2 ) ) • و تساوي 95.44 من المساحة الكلية

30. 4-5-2 التوزيع الطبيعي المعياري Standard Normal Distribution : • تعريف التوزيع الطبيعي المعياري : • هو التوزيع الطبيعي الذي معدله ( وسطه ) صفر و تباينه 1 و رمزه • فإذا كان المتغير العشوائي Z يخضع للتوزيع الطبيعي المعياري فإن ذلك يعني أن توزيع Z هو التوزيع الطبيعي الذي معدله µ=0 و تباينه1= • نظرية : • اذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغيرالعشوائيX هو التوزيع الطبيغي ذو المعدل µ و التباين فإن توزيع المتغير العشوائي • Z = x-µ • هو التوزيع الطبيعي المعياري • ” كل قيمة من X يقابلها بالطبع قيمة من قيم Z حسب التحويل السبق , وتسمى قيم Z القيم المعيارية المقابلة لقيم X • ملاحظات Z:N(µ, )=>Z:N(0,1) • 1. P(Z < z) = Φ(z) = من الجدول مباشرة • 2. P(Z > z) = 1 − P(Z < z) = 1 − Φ(z) • 3. P(z1 < Z < z2) = P(Z < z2) − P(Z < z1) • = Φ(z2) − Φ(z1) • 4. P(Z < 0 ) = P(Z > 0) = Φ(0) = 0.5 • 5. P(Z = z) = 0

31. طريقة ايجاد P(Z<z) من الجدول 3 صفحة 464,465 بافتراض ان قيمة z مقربة الى قيمتين عشريتين a.bc من الجدول كل ماهو بعد 3.4, او قبل -3.4 هو تقريباً = صفر • مثال (16) صفحة 150 • مثال (17) صفحة 151 • مثال (18) صفحة 152 • مثال (19) صفحة 153 • مثال (20) صفحة 154 • مثال (21) صفحة 155 • مثال (22) صفحة 155

34. (د)P(6.5<Z<1) =P(Z<1) – p(Z<6.5) =0.8413 – 0 =0. 8413 فقرة اضافية

40. 4-7 تطبيقات التوزيع الطبيعي Application on the Normal Distribution: Z:N(µ, ) الوسط=المتوسط = التوقع =المعدل Z = x-µ Z =

41. Z:N(µ, )

43. 4-8 توزيعات متصلة غير التوزيع الطبيعي: • 4-8-1 توزيع tt-Distribution: • تعريف : • إذاكان توزيع الكثافة الاحتمالي للمتغير العشوائي t معطى بالمعادلة • فإن هذا التوزيع يسمى توزيع tحيث: • Ʋ درجات الحرية • C قيمة ثابتة يعتمد على Ʋ ليجعل المساحة تحت المنحنى =1

44. خصائص توزيع t: • يشبه منحناه شكل الجرس • احادي المنوال , له قيمة تقابل t=0 • متماثل حول العمود المقام على t =0 • يشبه شكله الجرس • يتقارب طرفيه من الصفر عندما t-> ∞ و t-> ∞ • يشبه شكل التوزيع الطبيعي المعياري الا انه أكثر انخفاضاً منه • يعتمد منحنى التوزيع t على معلمة درجات الحرية Ʋ لتحديد شكل المنحنى • كلما زادت درجات الحرية Ʋ يقترب توزيع t من التوزيع الطبيعي المعياري , وفي هذه الحالة يزداد ارتفاع المنحنى ويصبح أكثر مدببًا أي أقل تشتتاً وفي النهاية ينطبق على منحنى التوزيع الطبيعي المعياري.

45. نحسب الاحتمالات تحت توزيع t بحساب المساحات تحت منحنى ذلك التوزيع مع معرفة درجات الحرية Ʋ • هناك جداول خاصة لهذه المساحات المساحة الواقعة على اليسار قيم t درجات الحرية

46. القيمة 0.90 على الخط الافقي ” المساحة يسار قيمة t و درجات الحرية 5 في العمود الايسر فإن قيمة t= 1.476

47. القيمة 0.95 على الخط الافقي ” المساحة يسار قيمة t” • و درجات الحرية 7 في العمود الايسر • فإن قيمة t= 1.895 • مما يعني أن t =1.895 هي قيمة t ذي درجات الحرية 7 التي يقع يسارها 0.95 من المساحة

48. لايجاد المساحة الى يسار 4.541قيمة t ذي 3 درجات حرية Ʋ نبحث افقيا داخل الجدول عن القيمة t=4.541 , بداية من Ʋ=3 اطلع عموديا للبحث عن قيمة التي تقاطعها هنا المساحة الى يسار القيمة t=4.541هي0.99

49. نعبر عن قيمة t التي يكون يسارها مساحة معينة قيمتها تحت منحنى توزيع t ذي درجات حرية m بالرمز : • t [ ; m] • ومن الجدول نجد أن قيم قريبة من 1 • أما عندما تكون صغيرة جداً 0.05 ,0.01 • أما قيمة t الجدولية التي يكون يمينها مساحة معينة نعبر عنها بالرمز : • ;m](m)= t[1- t t (α ;m ) = −t (1−α ;m ) حول العمود المقام على الصفر فإن T بسبب تماثل منحنى توزيع