第五章 代数系统

1. 第五章 代数系统 • 系统:通常所说的“系统”，是在一定情况下，指对某一相对独立或封闭的环境中的集合的元素间的性质、行为和联系。 • 代数系统:而在数学中所说的系统是指具有某种性质的数学结构。也就是在一个非空集合上，定义了元素间的算法法则和运算所满足的运算律，把这个集合及其上的定义的算法法则叫做一个代数系统。

2. 第五章 代数系统 • 内容: • 5.1 代数系统的引入 • 5.2 运算及性质 • 5.3 半群 • 5.4 群与子群

3. 5.1 代数系统的引入 1 运算 先引进在一个集合A上的运算概念。 例如，将实数集合R上的每一个数a≠0映射成它的倒数1/a，或者将R上的每一个数y映射成[y]，就可以将这些映射称为在集合R上的一元运算 而在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法，都是集合R上的二元运算，也可以看作是将R上的每二个数映射成R中的一个数； 对集合R上的任意三个数a，y，z，ALGAL算法语言中的条件算术表达式if x＝0 then y else z，就是集合R上的三元运算。

4. 5.1 代数系统的引入 1 运算 共同的特征，那就是其运算结果都是在原来的集合R中，我们称那些具有这种特征的运算是封闭的，简称闭运算。相反地，没有这种特征的运算就是不封闭的。     定义5-1.1 对于集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。如果BA，则称该n元运算是封闭的。

5. 5.1 代数系统的引入 • 2 代数系统 • 定义5-1.2 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算f1，f2，…fk所组成的系统就称为一个代数系统，记作<A，f1，f2，…fk>。 • 例如：正整数集合I+以及在该集合上的普通加法运算“+”组成一个代数系统。 <I+，+>

6. 5.2 运算及性质 1 二元运算 二元运算是最常见的代数运算，例如：实数的加法、减法、乘法，集合的交、并等运算都是二元运算。 定义 设A为任意非空集合，函数f：A×A→A称为集合A上的一个二元运算。 例1 f:N×N→N,f(<x,y>)=x+y f:R×R→R,f(<x,y>)=x×y f:N×N→N,f(<x,y>)=x-y f:R×R→R,f(<x,y>)=x/y 是N集上的二元运算 是R集上的二元运算 不是N集上的二元运算 不是R集上的二元运

7. 5.2 运算及性质 • 1 二元运算 • 判断一种运算是否是A上的二元运算，最根本是运算关于集合是封闭的。 • 推广：设A为任意非空集合，函数f：An→A称为集合A上的一个n元运算。

8. 5.2 运算及性质 • 2 二元运算的性质 • 封闭性定义5-2.1 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y∈A，都有x*y∈A，则称二元运算*在A上是封闭的。 • 例题1: 设A＝{x|x＝2n，n∈N}，问乘法运算是否封闭?对加法运算呢? • 解 对于任意的 ， 2r,2s∈A，r，s∈N，从因为 ，2r +2s＝2r+s ∈A，所以乘法运算是封闭的。而对于加法运算是不封闭的，因为至少有2+ 22＝6 A。

9. 5.2 运算及性质 • 2 二元运算的性质 • (2) 交换性 •  定义5-2.2 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y∈A，都有x*y＝y*x，则称该二元运算*是可交换的。 •     例题2 设Q是有理数集合，△是Q上的二元运算，对任意的a，b∈Q，a△b＝a+b-a·b，问运算△是否可交换。 •     解 因为a△b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b△a所以运算△是可交换的。

10. 5.2 运算及性质 • 2 二元运算的性质 • (3) 结合性    定义5-2.3 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y，z∈A，都有(x*y)*z＝x*(y*z)，则称该二元运算*是可结合的。    例题3 设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于任意a，b∈A，有a★b＝b，证明 ★ 是可结合运算。 •     证明 因为对于任意的a，b，c∈A                    (a★b)★c＝b★c＝c而               a★(b★c) ＝a★c＝c所以            (a★b)★c＝a★(b★c)

11. 5.2 运算及性质 • (4) 分配性    定义5-2.4 设*，△是定义在集合A上的两个二元运算，如果对于任意的x，y，z∈A，，都有x*(y△z)＝(x*y)△(x*z)                    (y△z)*x＝(y*x)△(z*x)则称运算*对于运算△是可分配的

12. 5.2 运算及性质 • 例题4 设集合A＝{α，β}，在A上定义两个二元运算*和△如表5-2.1所示。运算△对于运算*可分配吗? 运算*对于运算△呢? • 解 容易验证运算△对于运算*是可分配的。但是运算*对于运算△是不可分配的，因为β*(α△β) ＝β*α＝β而             (β*α)△(β*β) ＝β△α＝α

13. 5.2 运算及性质 • 2 二元运算的性质 • (5 )吸收性    定义5-2.5 设*，△是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x，y∈A，都有x*(x△y)＝x                    x△(x*y)＝x则称运算*和运算△满足吸收律。

14. 5.2 运算及性质 • 例题5 设集合N为自然数全体，在N上定义两个二元运算*和★，对于任意x，y∈N，有x·y＝max(x，y)                    x★y＝min(x，y)验证运算*和★的吸收律。 •     解对于任意a，b∈N                    a*(a★b)＝max(a，min(a，b))＝a                    a★(a*b)＝min(a，max(a，b))＝a因此，*和★满足吸收律。

15. 5.2 运算及性质 • 2 二元运算的性质 • (6) 等幂性    定义5-2.6 设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的x∈A，都有x*x＝x，则称运算*是等幂的。    例题6 设ρ (S)是集合S的幂集，在ρ (S)上定义的两个二元运算，集合的“并”运算∪和集合的“交”运算∩，验证∪，∩是等幂的。 •     解 对于任意的A∈ρ (S)，有A∪A＝A和A∩A＝A，因此运算∪和∩都满足等幂律。

16. 5.2 运算及性质 • 2 二元运算的性质 • (7) 幺元 •     定义5-2.7 设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果有一个元素el∈A，对于任意的元素x∈A都有el·x＝x，则称el为A中关于运算*的左幺元；如果有一个元素er∈A，对于任意的元素x∈A都有x*er＝x，则称er，为A中关于运算*的右幺元；如果A中的一个元素e，它既是左幺元又是右幺元，则称e为A中关于运算*的幺元。显然，对于任一x∈A，有e*x＝x*e＝x。

17. 5.2 运算及性质 • 例题7 设集合S＝{α，β，γ，δ}，在S上定义的两个二元运算*和★如表5-2.2所示。试指出左幺元或右幺元。 •     解 由表5-2.2可知β、δ都是S中关于运算*的左幺元，而α是S中关于运算★的右幺元。

18. 5.2 运算及性质 • 二元运算的性质 • 定理5-1.1 若el和er分别是⊙的左、右单位元，则el=er=e • 证明：er=el⊙er＝el • 这时，令e＝el＝er为运算⊙的单位元。 • 例 N集上的加法的单位元是： • R集上的乘法的单位元是： 0 1

19. 5.2 运算及性质 • 2 二元运算的性质 • （8） 零元    定义5-2.8 设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果有一个元素θl∈A，对于任意的元素x∈A都有θl*x＝θl，则称θl为A中关于运算*的左零元；如果有一个元素θr∈A，对于任意的元素x∈A都有x*θr＝θr，则称θr为A中关于运算*的右零元；如果A中的一个元素θ，它既是左零元又是右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。显然，对于任一x∈A，有θ*x＝θ*x＝θ

20. 5.2 运算及性质 • 例题8 设集合S＝{浅色，深色}，定义在S上的一个二元运算*如表5-2.3所示。        试指出零元和幺元。 •     解 深色是S中关于运算*的零元，浅色是S中关于运算*的幺元。

21. 5.2 运算及性质 无 • 例 N集上的加法的零元素是： • R集上的乘法的零元素是： • 例 A是非空集，幂集ρ(A)上的两运算∪和∩则： • ∪的零元素为： ，∩的零元素为： 。 • ∪的单位元为： ，∩的单位元为： 。 0  A  A

22. 5.2 运算及性质 • 2 二元运算的性质 • （9）、逆元素 • 设e为运算的单位元，e∈A， • 若对a∈ A，al∈ A，使al⊙a ＝e， • (ar∈ A，使a⊙ar ＝e，) • 则称al为a的左逆元，也称a是左可逆的。 • (则称ar为a的右逆元，也称a是右可逆的。) • 一般地说，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元。而且，一个元素可以有左逆元而没有右逆元，甚至一个元素的左(右)逆元还可以不是唯一的。

23. 5.2 运算及性质 【例12】设集合S={α,β,γ,δ,ε}，定义在S上的一个二元运算*如表所示。试指出代数系统<S,*>中各个元素的左、右逆元情况。 解:α是幺元； β的左逆元和右逆元都是γ；即β和γ互为逆元； δ的左逆元是γ而右逆元是β； β有两个左逆元γ和δ； ε的右逆元是γ，但ε没有左逆元。

24. 5.2 运算及性质 • 2 二元运算的性质 • 定理5-2.4 若运算⊙可结合的，e∈A为⊙的幺元，若a∈A有逆元素，则必唯一。 • 证明：设al，ar都是a的逆元素 • 则ar=e⊙ar=(al⊙a)⊙ar=al⊙(a⊙ar)=al⊙e=al

25. 5.2 运算及性质 • 例题10 对于代数系统<R，·>。这里R是实数的全体，·是普通的乘去运算，是否每个元素都有逆元。 •     解 该代数系统中的幺元是l，除了零元素0外，所有的元素都有逆元。

26. 5.3 半群 • 广群 • 定义5-2.1 设<A，*>是一个代数系统，A是非空集合,*是A上的一个二元运算,如果*是封闭的,则称代数系统<A，*>为广群.

27. 5.3 半群 • 2 半群 •     定义5-2.2 一个代数系统<S，*>。其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算。如果：(1)运算*是封闭的。(2)运算*是可结合的，即对任意的x，y，z∈S，满足(x*y)*z＝x*(y*z)则称代数系统<S，*>为半群。

28. 5.3 半群 • 2 半群 • 例1 对于给定某集合A，在该集合上定义运算△为：x△y=max（x，y），验证<A，△>是否构成半群。 • 解：对于x，y，z ∈ A， • （x△y）△z=max（max（x，y），z） • x△（y△z）=max（x，max（y，z）） • 由于两个式子最后的结果都是x，y，z中的最大数， • 因此，（x△y）△z=x△（y△z） • 所以，满足封闭性和可结合性。 • 即<A，△>是半群。

29. 5.3 半群 • 半群 • 例题1 设S＝{a，b，c}，在S上的一个二元运算△定义如表5-3.1所示。               验证 <S，△>是一个半群。 •   解 从表5-3.1中可知运算△是封闭的，同时a，b和c都是左幺元。所以，对于任意的。x，y，z∈S，都有x△(y△z)＝x△z＝z＝y△z＝(x△y)△z因此，<S，△>是半群。

30. 5.3 半群 • 子半群 • 定理5-3.1 设<A，*>是一个半群，BA且*在B上是封闭的，那么<B，*>也是一个半群。通常称<B，*>是半群<A，*>的子半群。 • 证明：若(A，*)是半群， 则*在A上可结合， • 故在A的子集B上也可结合。 • 而*在B上封闭， • 所以(B，*)是半群。

31. 5.3 半群 • 例题3 设·表示普通的乘法运算，那么<[0，1]，·>、<[0，1)，·>和<I，·>都是<R，·>的子半群。 • 解 首先，运算·在R上是封闭的,且是可结合的 • 所以<R，·>是一个半群。 • 其次，运算·在[0，1]、[0，1)和I上都是封闭的， • 且[0，1]R，[0，1)  R， I R。 • 因此，由定理5-3.1可知<[0，1]．·>、<[0，1)*>和 <I，·>都是<R，·>的子半群。

32. 5.3 半群 • 独异点 •     定义5-3.3 含有幺元的半群称为独异点(含幺半群)。 •     例如，代数系统<R，+>是一个独异点， • 因为，<R，+>是一个半群， • 且0是R中关于运算+的幺元。 • 另外，代数系统<I，·>。<I+，·>，<R，·>都是具有幺元1的半群，因此它们都是独异点。 •     可是，代数系统<N-{0}，+>虽是一个半群，但关于运算+不存在幺元，所以，这个代数系统不是独异点。

33. 5.3 半群 • 独异点 • 定理5-3.2 设<A，*>是一个独异点，则在关于运算*的运算表中任何两行或两列都是不相同的。 • 证明：设A中关于运算*的幺元是e。 • ∵对a,b∈A且a≠b，总有 • e*a=a≠b=e*b和 a*e=a≠b=b*e • ∴在*的运算表中a行与b行，a列 与b 列都不可能是相同的。

34. 5.3 半群 • 独异点 • 定理5-2.3 设<A,*>是独异点，对于任意a,b∈A,且a,b均有逆元，则 • (1) (a-1)-1=a • (2)   a*b有逆元，且（a*b）-1=b-1*a-1 • 证明: • (1) 因为a-1是a的逆元，即 • a*a-1=a-1*a=e • (a-1).(a-1)-1=e • 所以 (a-1)-1=a (2) 因为(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1 =a*e*a-1=a*a-1=e 同理可证 （b-1*a-1）*(a*b)=e 所以（a*b）-1=b-1*a-1

35. 练习 • P185: • (2) • P190: • (3)