COSTRUZIONE DI UN FRATTALE

1. Laboratorio di Didattica dell’Informatica a.a. 2001-2002 COSTRUZIONE DI UN FRATTALE UTILIZZO DEL FOGLIO ELETTRONICO NELLA DIDATTICA DELLA MATEMATICA

2. I PREREQUISITI INFORMATICI

3. GLI OBIETTIVI INFORMATICI

4. NASCITA DELLA GEOMETRIA FRATTALE Sembra più adatta di quella che noi conosciamo (euclidea) a “leggere” alcune forme di irregolarità scritte in natura: una costa frastagliata, un albero, un fiocco di neve.  Frattale (o fractal in inglese) deriva dall’aggettivo latino fractus che significa irregolare o frammentario e dal verbo frangere cioè rompere.  Questo nome fu coniato dallo scopritore dei frattali, Mandelbrot nel 1979 che sosteneva:  ” …Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono circoli e gli argini non sono regolari… la varietà di configurazioni è una sfida a studiare quelle forme che la geometria euclidea tralascia come informi, a investigare la morfologia dell’amorfo…”

5. CHE COS’E’ UN FRATTALE il frattale è una curva in genere continua , che si presenta con un aspetto frastagliato tale che, se potessimo ingrandirne una parte, troveremmo un aspetto simile a quello osservato nell’ingrandimento minore.

6. A CHE COSA SERVE? il frattale come strumento matematico è utile per la descrizione di tutti quei sistemi che presentano complessità di comportamento e/o andamento caotico. le applicazioni del concetto di frattale sono molteplici: dalla fisica alla chimica , dalla sociologia alla psicologia, dalla finanza a….

7. L’ALGORITMO Ci si può avvicinare alla costruzione di un frattale in maniera molto semplice attraverso l’iterazione di una procedura costituita a sua volta da procedimenti elementari. Da un semplice gioco di probabilità si può costruire il famoso Triangolo di Sierpinsky.

8. DA UN GIOCO CON I DADI ALLA COSTRUZIONE DEL TRIANGOLO DI SIERPINSKY • Disegniamo i tre vertici di un triangolo k qualsiasi e chiamiamoli 0, 1, 2 punto — - • Prendiamo un punto qualunque del piano su cui si trova il triangolo i j • Lanciamo un dado a tre facce - se esce 0: il punto si sposta verso il vertice 0, k se esce 1 : il punto si sposta verso il vertice 1, se esce 2: il punto si sposta verso il vertice 2. — era qui — si sposta qui • Di quanto si sposta? Di metà delladistanza dal vertice corrispondente. i j k Esempio: esce il valore 0 — • Adesso si ripete il procedimento, si itera — i j

9. UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO Devo simulare il lancio del dado a tre facce quindi: Prima colonna : Scelgo un numero casuale tra 0 e 1 (FUNZIONE CASUALE) Seconda colonna : mi serve che sia tra 0 e 2 (FUNZIONE CASUALE*3) Terza colonna : mi serve che sia un intero (FUNZIONE INT) Ottengo un numero casuale che è 0 oppure 1 oppure 2. casuale tra 0 e 1 casuale tra 0 e 3 arrotondo per difetto 0,523258667 1,569776001 1 0,134696652 0,404089955 0 0,067141872 0,201425617 0 0,611655739 1,834967216 1 0,282334974 0,847004922 0

10. UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO Devo associare al numero casuale uno dei vertici del triangolo: num.casuale=0 vertice A(0,0) à num.casuale=1 vertice B(5,0) à num.casuale=2 vertice C(5/2 ,10) à Quarta colonna : calcolo la x del vertice (FUNZIONE SE) Quinta colonna : calcolo la y del vertice (FUNZIONE SE)

11. UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO Scelgo il punto di partenza : il punto fisso: xpunto=2,5; ypunto=4 un punto casuale : xpunto=(CASUALE*5); ypunto=(CASUALE*10) ottava e nona colonna lo scrivo nella casuale tra 0 e 1 casuale tra 0 e 3 arrotondo per difetto xvertice yvertice xpunto partenza y punto partenza 2,5 4 0,523258667 1,569776001 1 5 0 0,134696652 0,404089955 0 0 0 0,067141872 0,201425617 0 0 0 0,611655739 1,834967216 1 5 0 0,282334974 0,847004922 0 0 0

12. UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO Calcolo il punto medio delle coordinate x e delle coordinate y Lo scrivo nelle decima colonna : x (medio)=(xvertice+ xpunto)/2 undicesima colonna : y(medio)=(yvertice+ypunto)/2 xmedio ymedio casuale tra 0 e 1 casuale tra 0 e 3 arrotondo per difetto xvertice yvertice xpto partenza y punto partenza 2,5 4 0,796365905 2,389097715 2 2,5 10 2,5 7 0,320881612 0,962644837 0 0 0 1,25 3,5 0,589642133 1,768926398 1 5 0 3,125 1,75 0,086713349 0,260140046 0 0 0 1,5625 0,875 0,823123087 2,46936926 2 2,5 10 2,03125 5,4375

13. UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO

14. FACCIAMO IL GRAFICO a dispersione (GRAFICO 1) delle 10000 coppie di x(medio) e y(medio) (medio)

15. Dove cade la traccia del punto, nei triangoli bianchi o in quelli neri? Dopo quante iterazioni perdi la traccia del punto? Dove pensi sia caduto il punto? Il punto cade mai due volte nello stesso triangolo bianco? ALCUNE CONSIDERAZIONI Su un altro grafico disegna le traiettorie dei primi 10 punti (GRAFICO 2) e sovrapponilo al primo grafico (GRAFICO 1). Che rapporto c’è tra due triangoli successivi? Aumentando il numero di iterazioni, il triangolo verrà mai ricoperto del tutto?

16. ALTRE CONSIDERAZIONI Riduci la scala degli assi della metà ogni volta La figura è cambiata? Quante volte puoi ridurre la scala e ancora riconoscere la figura? Pensi che se aumentassi il numero di punti ritroveresti ancora la figura sempre più piccola? Itera adesso per 20.000 volte. Grafica le prima 10000 coppie di valori e su un altro grafico le successive 10000 coppie di valori. Il triangolo è ricostruito in entrambi i casi? La ricopertura del triangolo dipende dal punto iniziale?

17. UN PROBLEMA ANALOGO

18. L’ESAGONO DI SIERPINSKY

19. CALCOLO DELLA DIMENSIONE FRATTALE

20. DEDUZIONE DELLA LEGGE 1. Prendiamo un SEGMENTO (dim=1) Dividiamolo in due Ci vogliono due copie di un segmento per farne uno gran de il doppio. 2. Prendiamo un QUADRATO (dim=2) Dividiamo a metà il lato Ci vogliono 4 copie dello stesso quadrato per farne uno grande il doppio. 3. Prendiamo un CUBO (dim=3) Dividiamo a metà il lato Ci vogliono 8 copie dello stesso cubo per farne uno grande il doppio Possiamo ricavare una legge: il numero di copie di un oggetto necessarie per farne uno grande il doppio dipende dalla dimensione nel seguente modo 1 segmento: 2=2 (fd=2 ncopie=2) 2 quadrato: 4=2 (fd=2 ncopie=4) 3 cubo: 8=2 (fd=2 ncopie=8) IL NUMERO DI COPIE È IL “FATTORE DI DIVISIONE” ELEVATO ALLA DIMENSIONE DELL’OGGETTO

21. LA CURVA A FIOCCO DI NEVE La costruzione base è: Prendo un segmento lo divido in 3 parti uguali (fd=3) Costruisco un triangolo sopra il vuoto del segmento centrale il numero dei segmenti è 4 (ncopie=4) d 4=3 Quanto vale d, la dimensione? d sarà un numero tra 1 e 2. Un numero decimale.

22. CALCOLO DELLA DIMENSIONE CON EXCEL Disegniamo la curva y=3 ponendo nella pr ima colonna i valori di x: da 0 fino a 2 con un incremento di 0,05 x Imponiamo alla seconda colonna di essere 3 : utilizza la funzione POTENZA Disegna il grafico a dispersione corrispondente su un nuovo foglio Trova il valore di x corrispondente all’ordinata pari a 4

23. CALCOLO DELLA DIMENSIONE CON EXCEL

24. UTILITA’ DI EXCEL consente di: a.Manipolare numeri ed effettuare su di essi ogni genere di operazioni matematiche e logiche anche complesse; b.Visualizzare immediatamente dati complessi mediante grafici matematici e statistici; c.Superare la staticità degli aspetti quantitativi di un singolo fenomeno mettendo in relazione variabili diverse e di simulare il loro comportamento al variare di alcuni parametri; d.Trasformare i numeri in gioco facendo delle simulazioni e della previsioni.