Wykład 6

1. Wykład 6 • Standardowy błąd średniej a odchylenie standardowe z próby • Odchylenie standardowe z próby s: • Służy do oceny zmienności w zbiorze danych • Gdy n wzrasta s zbliża się do odchylenia standardowego w populacji  • Używane do przewidywań dotyczących poszczególnych obserwacji

2. Błąd standardowy średniej SE = : • Służy do oceny niepewności związanej z estymacją średniej w populacji • Maleje wraz ze wzrostem n • Używane do przewidywań dotyczących średniej

3. Jak duża powinna być próba? • Poprzez wybór odpowiedniego n możemy uzyskać PU o odpowiedniej (dowolnie małej) szerokości • Możemy estymować z zadaną precyzją • Przykład: ustal rozmiar próby tak aby 95% PU dla średniej miał szerokość 5.

4. Załóżmy, że  =10. Wtedy Na ogół nie znamy . Możemy wykonać badanie wstępne (mała próba) aby oszacować .

5. Założenia (jeszcze raz) • Próba musi być losowa • Każdy element w populacji ma jednakową szansę na wybór • Poszczególne wybory są od siebie niezależne • Jeżeli te założenia nie są spełnione to wzrost n może nie gwarantować zmniejszenia SE.

6. Przedział ufności dla frakcji w populacji • Estymujemypza pomocą • Chcemy skonstruować przedział ufności dla p • Moglibyśmy skorzystać z rozkładu Bernoulliego ale wymagałoby to uciążliwych rachunków. • Korzystamy z przybliżenia rozkładu Bernoulliego rozkładem normalnym • Gdy Y ma rozkład Bernoulliego (n, p) i n jest duże, wtedy Y ma w przybliżeniu rozkład nornmalny

7. = Y/n ma średniąi = Zatem ma w przybliżeniu rozkład

8. Przedział ufności dlap • Klasyczny przedział ufności uzyskuje się zastępując p przez (we wzorze na ). • Klasyczne przedziały ufności zachowują się źle gdy y jest bliskie 0 – wtedy PU często zawiera ujemne wartości. • My będziemy korzystali z przedziału ufności Agrestiego-Coula (patrz np. Brown, Cai i DasGupta, Ann.Stat., 2002) • Centrum przedziału będzie (zamiast ). • Przypomnijmy, że Z/2jest taką liczbą, że • Pr(Z < - Z/2) = Pr(Z > Z/2) = /2 • Dla 95% PU, = 0.05 i Z/2 = 1.96.

9. Definiujemy SE dlawynosi Dla 95% PU Wstawiamy Z0.025 = 1.96 i dostajemy

10. Przedział ufności dla p • Skonstruujemy przybliżonyprzedział ufności dla p, z centrum w • Użyjemy kwantyli z rozkładu normalnego Z/2 • Dla 95% PU użyjemy Z0.025 =1.96 • Dla 90% PU użyjemy Z0.05 =1.65; dla 99% PU użyjemy Z0.005=2.58. • przybliżony 95% PUdlapwynosi

11. Przykład: • Złapano 125 myszyi 6 z nich ma nakrapiane na biało brzuszki • p = frakcja myszek w całej populacji, które mają nakrapiane na biało brzuszki • 95% PU dlap:

12. 90% PU dlap

13. Mamy 90% pewnościże frakcja myszek w całej populacji, które mają brzuszki nakrapiane na biało zawiera się w przedziale między a . • Zauważmy, że 90% PUjest niż 95% PU i że przedziały te mają różne środki.

14. Jak duża powinna być próba ? • Chcemy aby 95% PU miał zadaną długość.Jak ustalić rozmiar próby ? • Uwaga – długość przedziału zależy od , którego nie znamy • Jeżeli mniej więcej wiemy jakie jest p, to możemy tą przybliżoną wartość użyć w równaniu na długość przedziału. • Jeżeli nie mamy żadnych wstępnych informacji to używamyp = 0.5. Ten wybór jest bezpieczny i gwarantuje, że przedział ufności skonstruowany w oparciu o próbę o wyliczonym rozmiarze będzie nie szerszy od założonego.

15. Przykład • Chcemy aby SE było równe .005 (odpowiedni przedział ufności ma długość około 0.02). • Przypuszczamy, że prawdziwepjest bliskie .05. • Potrzebujemy myszy.

16. Nie wiemy nic op. • Potrzebujemy myszy.

17. Dwie niezależne próby • Czasami chcemy porównać wartości pewnej zmiennej w dwóch populacjach. • Przykłady • Grupa zabiegowa i kontrolna • Lekarstwo a placebo • Pacjenci biorący dwa podobne lekarstwa • Mężczyźni a kobiety • Dwie różne linie genetyczne

18. Rozkład cechy Y w populacji 1 jest N(1, 1): bierzemy próbę o rozmiarze n1, y1, s1, SE1 = Rozkład cechy Y w populacji 2 jest N(2, 2) : bierzemy próbę o rozmiarze n2,,, y2,s2, SE2 =

19. Jaka jest różnica między średnimi w obu populacjach, 1-2 ? Chcemy wyestymować1 - 2i otrzymać przedział ufności y1-y2jest estymatorem 1-2 Aby skonstruować przedział ufności musimy wyznaczyć SE

20. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich • Jak policzyć SE dlay1-y2? • Dwa sposoby: ``nieuśrednianie’’ i ``uśrednianie’’. • gdy n1 = n2obie metody dają te same wyniki • Na ogół będziemy używać ``nieuśrednionego’’ SE. • Metodę ``uśredniania’’ zastosujemy gdy będzie można założyć, że1=2(albo gdy o to poprosi wykładowca). • W obu przypadkach SE liczone jest jako pewna kombinacja s1 and s2

21. Metoda zwykła (``nieuśrednianie’’) • Liczymy SE1 = i SE2 = osobno w obu próbach.

22. Liczymy standardowy błąd różnicy średnich:

23. Metoda ``uśredniania’’ • W obu próbach liczymy SS : SS1 and SS2, i obliczamy „uśrednioną wariancję": sc2 =

24. ``Uśredniony’’ błąd standardowy wynosi

25. Podsumowanie obu metod • Metoda ``nieuśredniania’’ • (N)SEy1-y2 = • =

26. Metoda ``uśredniania’’ • SS1 = (n1–1)s12 = (y-y1)2w próbie 1 • SS2 = (n2–1)s22 = (y-y2)2w próbie 2 • ``uśredniona’’ wariancja sc2 = • (U)SEy1-y2 =

27. Przykład: • próba1: n1 = 15, y1 = 75, SS1 = 600 • próba 2: n2 = 10, y2 = 55, SS2 = 300

28. Wyniki z obu metod nie są takie same ale są dość podobne. • Zauważmy, że s1 = 6.55 i s2 = 5.77 (dość podobne).