大家好 .. 我叫

1. 大家好..我叫 林己迪

2. 鬼腳追~追~追 中國人怕鬼 外國人也怕鬼 還好這份報告 無關 和鬼

3. 一‧研究動機： • 近來在報章雜誌流行著一些數學小遊戲，如數讀、停車場等，為順應潮流，所幸拿起手邊九章出版的-數學遊戲-欣賞，在其中發現了一個名為〝畫鬼腳〞的小玩意，興趣之餘做了以下研究。

4. 二‧研究目的： • （一）畫鬼腳與數學相通之處 • （二）規則的破壞與建立 • （三）立體的畫鬼腳

5. 三‧研究過程及方式： （一）舉例說明畫鬼腳： A、B、C三位好友為了校慶時的競賽相約練跑，但卻為了跑道起了爭執，此時，A便提議以“畫鬼腳”的方式來決定跑道，方法如下：

6. 1 2 3 1. 先由A在紙上畫三條垂線且將1、2、3任意寫於垂線下方並折起來，不讓B、C看見。

7. A B C 2.然後，由B、C兩人各自隨意選一線上端，寫下他們的名字，餘下一條便屬於A。寫好後，再把名字折起來。

8. 3.再來，由B、C隨意在兩相鄰的垂線中加上水平方向的橫線（數目不限），把兩垂線連結起來，但注意所連的橫線要避免相交。3.再來，由B、C隨意在兩相鄰的垂線中加上水平方向的橫線（數目不限），把兩垂線連結起來，但注意所連的橫線要避免相交。

9. 4.上述步驟完成後，便可翻開所摺的部分，然後用 筆沿著垂線由上至下畫出應走的路線。前進時若走至有橫線的地方，便要隨著它走至旁邊的一條垂線，才再沿著它而下，如此經過一條曲曲折折的路徑，最後到達了一垂線的下端，這路徑就把上端一名字與下端一數字配對起來。其餘如法炮製，找到下端的配對。這樣就解決了A、B、C三人爭跑道的問題。

10. A B C 1 2 3 如以圖1為例，由B向下行，遇線即轉，如此可得B對應至1。同法可知A對應至2，C對應至3。

11. A B C 1 2 3 （二）畫鬼腳與數學 1.畫鬼腳的對應 （1）我們試著討論劃鬼腳的對應方式，先以三人為例

12. 由此可見，在鬼腳圖中，若無橫線，則是簡單的一對一的對應關係；若有橫線，則只是將相鄰垂直線的對應關係互調，也就是說無論如何複雜的鬼腳圖，其對應方式一定是一對一。

13. 2.從函數的觀點來看，畫鬼腳像是在等勢的兩個集合，建立起一個一對一的對應關係。即上端集合中的任一元都可唯一對應到下端集合中的一元。事實上，〝畫鬼腳〞可視為一個一對一（one-one）且映成（onto）的函數 。

14. 3.由排列的方式，我們可以找出其所有可能的對應關係，並以矩陣的型態來表示，如下：3.由排列的方式，我們可以找出其所有可能的對應關係，並以矩陣的型態來表示，如下： 共3！=6種。 事實上，依排列方式，我們可以推廣至N條垂直線的對應關係有N！種。

15. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4.我們發現每一種對應關係的鬼腳圖表示法並非 唯一， 例如： 皆表相同的對應。

16. 2 3 1 2 3 1 2 3 • 1 2 3 1 2 3 1 2 3 • 1 2 3 1 2 3 1 2 3 • 1 2 3 1 2 3 1 2 3 e0＝ e1＝ e2 ＝ e3＝ e4＝ e5＝ 5.我們以鬼腳圖形式分別表示6種對應如下：

17. e2 e5 e3 e2 e4 e4 e1 事實上，複雜的畫鬼腳是由幾個或多個簡單的畫鬼腳所組成的，但對應關係仍舊是原來六種中的一種，對於這種性質可謂之-封閉性。

18. （三）規則的破壞與建立 思考至此，發現所有畫鬼腳都符合〝一對一〞的對應關係，但在函數的定義中說過函數是可以〝多對一〞的，例如二次函數。那畫鬼腳是否也會有〝多對一〞的情況出現呢？

19. 1. 若水平線可以相接呢？ 我們試著做一有水平線相接的畫鬼腳，但發現到了十字處時，卻不知道該如何行走了。 2.所以我們將規則做了修改： （1）若是由垂直線行至十字處者，不轉彎。 （2）若是由水平線行至十字處者，則轉彎。

20. 2 3 • 1 2 3 如下所示，在新規則下畫鬼腳是一個〝多對一〞的對應關係，且是〝唯一〞對應，若與函數對照，這對應關係可以視為〝常數函數〞。

21. 事實上，可以發現所有的行進路線在經過十字處後都只剩唯一的選擇。故我們可以斷定在這規則之下的三垂線鬼腳圖是一個〝多對一〞的對應關係，且最後一定會對應至從十字處繼續往下走所得的結果。當然，四條垂直線以上的鬼腳圖亦會有多對一的情形出現，但卻不一定是唯一的 。 也就是說，在我們定義的新規則之下，畫鬼腳的對應可以像一個〝常數函數〞，也可以像一個〝多次函數〞。

22. AC • 2 3 → 1 2 3 B D （四）立體的畫鬼腳 1.首先我們在紙上畫一鬼腳圖，如下：

23. AC 1 3 2 B D 1 3 2 接著我們將紙捲起來，使得AB重疊至CD，這時我們可以發現平面畫鬼腳變成立體了，如下： 如此一來我們便可以將平面立體化了。接著，我們嘗試在接下來的這一個立體畫鬼腳中畫上水平線，使得其對應關係和原先的平面畫鬼腳相同。

24. 1 3 2 → 1 3 2 不難發現，我們只需一條水平線便可完成原先平面畫鬼腳的對應關係了。如此看來，某些對應關係在立體畫鬼腳中似乎較平面畫鬼腳容易達成。

25. 2. 我們思考，平面畫鬼腳所滿足的性質，在立體畫鬼腳中是否依然成立。事實上，由前面我們建構立體畫鬼腳的方法，可以很容易地瞭解到在平面畫鬼腳成立的性質，在立體畫鬼腳中仍然成立。因為我們的立體畫鬼腳是由平面畫鬼腳所建構而成的。

26. 四‧研究結果 (一)畫鬼腳是一對一的對應關係。 (二)1.若是與函數對照，那畫鬼腳可說是一個〝一 對一〞且〝映成〞的函數。 2.依排列的方式，N條垂直線的畫鬼腳，其可能對應的結果有N！種。 3.對於相同的對應關係，其畫鬼腳的表示法不會唯一。 4.我們所定義畫鬼腳的運算滿足數學中的結合律；但對於交換律是不成立的。

27. (三)若破壞原有的規則之後，並建立以下的限制：(三)若破壞原有的規則之後，並建立以下的限制： 1.允許水平線相交。 2.若是由垂線行至交叉處，不可轉彎需直行。 3.若是由水平線行至交叉處，則轉彎。 我們發現在這新的規則之下會有〝多對一〞的情形出現。 (四)空間中的立體畫鬼腳，其對應關係及性質和平面的畫鬼腳是相同的，但對於相同的對應關係，立體畫鬼腳可以較平面的畫鬼腳來的簡單。

28. 五‧討論 首先我們先定義符號： 用（1,2,3）表示1對應至2、2對應至3、3對應至1，形成一個循環，當然沒寫的就代表本身對應到本身。 接著我們就可以針對五條垂直線的畫鬼腳，研究可否控制水平線以達到我們希望的對應關係（按正常規則，水平線不相交），討論如下：

29. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （一）有兩垂直線的位置互換，其餘不變： 1.兩垂線相鄰：例（2,3） 此時我們只需一條水平線。

30. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2.兩垂線不相鄰：例（2,5） （1）首先將2對至5，需要的水平線有（2,3）、（3,4）、（4,5）。 （2）接著我們以不影響原先的對應將5對應至2，需要的水平線有（4,5）、（3,4）、（2,3），但原先已有（4,5），故我們只需加上（3,4）、（2,3）兩條。

31. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （3）然後我們便需考慮剩下的1、3、4是否對應到本身。 OK! 故（2,5）=（2,3）（3,4）（4,5）（3,4）（2,3）。

32. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （二）有三垂直線的位置互換： 例（1,2,3）=（1,3）（1,2），而（1,3）=（1,2）（2,3）（1,2）， 故（1,2,3）=（1,2）（2,3）（1,2）（1,2），其鬼腳圖如下。

33. 六‧結論 （一）若想讓鬼腳圖的對應關係如己所願，可以依 照下列步驟： 1.先將對應關係表成多次對調的組合。 2.將每個對調再表示成相鄰兩垂線對調的組合。 3.接著把每個相鄰兩垂線的對調，按照順序將水 平線畫在鬼腳圖上，如此便可達成所需的對應 關係。

34. （二）我們可以推導上列敘述中1.及2.的規則：（二）我們可以推導上列敘述中1.及2.的規則： 1.設為 正整數，且 ， 則 。 2.設a、b為正整數且a＜b，則 （a,b）=（a,a+1）（a+1,a+2）…（b-2,b-1）（b-1,b）（b-2,b-1）…（a+1,a+2）（a,a+1） 例：（2,3,5）=（2,5）（2,3）=（2,3）（3,4）（4,5）（3,4）（2,3）（2,3）。

35. 報告到此 啦 束 結 !! 辛苦你的眼睛和耳朵啦!! Ths.