第七章 風險，報酬，與投資組合

1. 第七章 風險，報酬，與投資組合

2. 第一節 報酬的意義和衡量

3. 一、報酬與報酬率 • 報酬(Return)一般指投資的收益,而報酬率(Rate of Return)是指投資的收益率。 • 假設你在台積電每股100元時買進10張台積電股票,總共花了100萬元,而在3個月後當台積電每股漲到120元時全部賣出,假設不考慮交易成本,因此，報酬便是20萬元(120萬元－100萬元),而報酬率就等於20%(20萬元÷100萬元)。20%就是投資台積電獲得的報酬率,也稱為實際報酬率,或稱為期間報酬率(Holding Period Return)。但是一般而言,當我們提到報酬時,常常是指報酬率而言。

4. 另外你在投資台積電股票的期間,可能會獲得台積電所發放的現金股利,譬如說在這期間,你拿到每股分配2元的現金股利,總共股利收益為2×1000×10=2萬元,因此你的總報酬就等於你的資本利得加上股利所得,也就是等於20萬元再加上2萬元。另外你在投資台積電股票的期間,可能會獲得台積電所發放的現金股利,譬如說在這期間,你拿到每股分配2元的現金股利,總共股利收益為2×1000×10=2萬元,因此你的總報酬就等於你的資本利得加上股利所得,也就是等於20萬元再加上2萬元。 • 總報酬=資本利得+其他收益 (1) • 總報酬為22萬元,而你的報酬率就是等於22%(22萬元÷100萬元)。因此報酬率可以寫成數學式:

5. 二、兩種計算多期平均報酬率的方法 • 一般可分為 • 1. 算術平均法(Arithmetic Average Method) • 2. 幾何平均法(Geometric Average Method)。

6. (一)算術平均法 • 算術平均法是將每一期的報酬加總再除以期數。 • 其中Ri為第i期的報酬率。 • 譬如說假設第1年初你以100元買進台積電股票,到了第1年年底台積電股票漲為120元,到了第2年年底台積電股票上漲到180元,因此,第1年的報酬是 ,而第2年報酬是 。 • 以算術平均報酬率而言,就等於 。

7. (二)幾何平均法 • 幾何平均法是將N期的報酬率加上1相乘開N次根號再減1,其公式如下: • 幾何平均報酬率= • 同一個例子,幾何平均報酬率是

8. （續前） • 一般而言，算術平均會大於幾何平均 • 例如：P1=100, P2=50, P3=80. 算數平均為+5%,而幾何平均則約為-10%。 • 二者代表的投資策略不同 • 累積報酬：簡單加總vs.時間加權報酬率(the time weighted rate of return )。計算時間加權報酬率,需先分別計算投資期間各單期報酬率,再以複合的方式計算報酬率。

9. 三、預期報酬率 • 前面所講的報酬率是從實際發生的股價資料來求得投資期間的實際報酬率,這可以算是一種事後的報酬率或是已實現的報酬率。 • 預期報酬率是一種期望的報酬率,就是事前的報酬率,計算公式如下： • 其中Pi是報酬率為的機率。

10. 例1. • 假設台積電目前股價為100元,假設當景氣好的時候,台積電股票可能漲到180元,當景氣持平的時候,台積電股票可能維持只漲到110元,當景氣差的時候,台積電股票可能跌到60元。另外假設景氣好的機會為40%，景氣持平的機會為20%，景氣差的機會為40%，如下表所示: • 請問投資台積電未來一年可能的報酬率為何呢?

11. 《解》根據(5), • 當景氣好的時候,台積電的股價報酬率是80%,當景氣持平的時候,台積電的股價報酬率是10%,當景氣差的時候,台積電的股價報酬率是-40%，因此預期報酬率=0.4×80%+0.2×10%+0.4×(-40%)=18%。 • 此18%就是持有台積電股票1年後的預期報酬率。 • 另外,我們也可以先算出台積電的預期股票價值為 • 40%×180+20%×110+40%×60=118元 • 因此台積電股票的預期報酬率就是 • p.s. Probability-weighted average.

12. 第二節 風險的意義與衡量

13. 一、風險的意義 • 風險就投資的觀點來講,可視為投資損失或發生不利情形的可能性。 • 信用風險或違約風險：如果說你買了某公司的公司債,當該公司由於經營困難發生倒閉,這時購買的公司債價格就會下降,甚至變成沒有價值,這也是一種風險,有時候我們稱為信用風險或違約風險。 • 流動性風險,這是指當需要將資產變現出售時,由於市場交易量少,無法完成出售或必須以較低價格出售的風險。

14. 二、風險的衡量 • 這裡要介紹的風險是指投資報酬的不確定性(Uncertainty)。所謂投資報酬的不確定性是指實際報酬率分散的程度,或者是說實際報酬率和預期報酬率之間差異的可能性。譬如說銀行的存款,如果你存1年期銀行的存款,利率是6%,1年後,你的實際報酬率就是6%，就等於預期的報酬率。但是當你買了台積電的股票,你的預期報酬率是18%,但是到時候你有40%的機率報酬率是80%,有20%的機率報酬率是10%，有40%的機率報酬率是-40%，而這三種實際的報酬率80%、10%、-40%,都和預期報酬率18%有所差異。 • Ex: P0 = 100, P1=110 or 120, Risk?

15. 一般常以報酬率的變異數(Variance)或標準差(Standard Deviation)及變異係數(Coefficient of Variation)來衡量風險的大小,分別說明如下。

16. (一)變異數及標準差的計算 • 變異數及標準差的計算步驟如下: • 1計算預期報酬率或期望值報酬率:預期報酬率= • 2.計算每一個可能報酬率與預期報酬率之差異= • 3.計算每一組差異之平方,再將其乘以對應的機率,將這些乘積加總可得報酬率之變異數: • 4.求變異數之平方根即為標準差:

17. 例2. • 同例1,求台積電報酬率之標準差。 • 《解》根據(7),台積電報酬率之標準差為

18. 例題：p.203, #13 • 假設A股票在景氣好，景氣持平，景氣差的報酬率分別為40％，10％，-20％。而發生的機率分別為0.4，0.2及0.4，求A股票預期報酬率的標準差： (1)18.33％ (2)21.07％ (3)26.83％ (4)34.85％

19. Solution • Mean • Std

20. P. 213, #68 • 假如10,000元賭注的期望報酬率的變異數為V，則1元賭注的期望報酬率的變異數為何？ (1)V/10,000 (2)V/10,0002 (3)V/100 (4)V • 註：本題答案應為４，因為問的是報酬率變異數。若問的是「報酬變異數」則答案為(2)

21. Explanation.

22. (二)變異係數 • 當兩種投資選擇的報酬率相同時,標準差可說是衡量風險的良好變數,因為標準差是衡量資料變異的絕對指標; • 但如果兩種資產的期望報酬不相等時,直接利用標準差來比較兩種投資的風險大小會有誤差。 • 所謂的變異係數來標準化欲進行比較者的報酬基準。變異係數其實就是「單位預期報酬率所承擔的風險」。變異係數的公式如下:

23. 例3. • 假設台積電和聯電的預期報酬率分別為18%及15%，而標準差分別為54%及40%，求台積電及聯電的變異係數。 • 《解》根據(8)變異係數的定義: • 所以台積電的變異係數為 • 聯電的變異係數為 • 雖然台積電的期望報酬較高,但是聯電的變異係數較低。

24. P. 206,#32. • 如果兩種資產，其中某一種資產其報酬率之分配越集中，表示其風險： (1)越大 (2)越小 (3)無法判斷 (4)相等 • 例如：常態分配。落於正負一個標準差的機率為2/3，正負三個標準差間為99.73%。

25. 第三節 風險與報酬的關係

26. 風險溢酬 • 由上面的例子我們看出, • 一般而言,高報酬經常伴隨著高風險存在,因此對於高風險的投資,一般要求的報酬(Required Return)也比較高。譬如說投資無風險的債券,假設平均報酬是7%,那麼投資股票的平均報酬或要求報酬可能為15%,因此這兩者的差距8%(15%-7%)就可以視為是一種風險溢酬或風險貼水(Risk Premium )。 • 風險溢酬就是投資者承擔風險所要求的額外報酬。譬如說投資大型股票的風險溢酬相對於投資小型股票的風險溢酬就來得比較小，因為大型股票的風險相對於小型股票一般來得小。

27. 第四節 投資組合報酬與風險的衡量

28. 一、投資組合報酬 • 所謂投資組合(Portfolio)是指由一種以上的證券或者是不同的資產所構成的投資的總集合。

29. 投資組合的預期報酬可由個別資產的預期報酬率乘上投資於個別資產的比重(權數)而得到,其公式如下:投資組合的預期報酬可由個別資產的預期報酬率乘上投資於個別資產的比重(權數)而得到,其公式如下: • 其中 為投資組合的預期報酬率 • 為投資第i種證券的權重 • 為第i種資產的預期報酬。

30. 例4. • 假設台積電股票的預期報酬率是18%,而聯電股票的預期報酬是15%。假設你將資金的60%投資於台積電股票,而將資金的40%投資於聯電股票,那麼你的投資組合的預期報酬率將為何? • 《解》投資組合的預期報酬= ,因此 • 因此這個投資組合的預期報酬為16.8%。

31. 共變異數covariance • 衡量二變數間的「互動」 • En example: • State: (Prob., Ra, Rb): good (40%, 2, 1), Normal (20%, 0, 0), Bad (40%, -2, -1).

32. 例子: perfect negative correlation

33. Perfect positive correlation

34. 相關係數 • 二資產間的相關係數如下： • 標準化，介於-1與 +1之間

35. 二、投資組合的風險計算

36. 例5. • 假設台積電報酬的標準差為54%,聯電報酬的標準差為40%，同上題，假設台積電和聯電的相關係數為0.8,求此投資組合的標準差。 • 《解》投資組合的變異數: • 因此此投資組合的標準差 • 因此,此投資組合的標準差介於台積電和聯電的標準差之間。

37. 例6. • 假設投資者將資金的60%購買台積電股票,將40%購買無風險債券,債券的報酬率是6% , 求此投資組合的預期報酬及標準差。 • 《解》此投資組合的預期報酬 • 而此投資組合的標準差,由於無風險的投資組合標準差 • ,因此此投資組合的標準差就等於 。 • 因此,從例3可以看出,當一個投資組合包含一個風險性資產及無風險性資產時,此時此投資組合的標準差剛好等於風險性資產的權數乘以此風險性資產的標準差。

38. P.207, #36. • 假設A股票的報酬率為30%，報酬標準差為40%，無風險債券的報酬率為6%。假設投資於A股票及無風險債券的權數各為50%，求此投資組合的期望報酬率的標準差： (1)40% (2)15% (3)20% (4)10% Ans: (4)

39. R_p=wR_A+(1-w)R_f

40. P.207, #39 • 某投資人，其資金60％投資股票，預期報酬率為20％，其40％投資債券，預期報酬率為8％，股票標準差為15％，債券的標準差為5％，兩者相關係數為-0.5。請問投資組合標準差？ • (1)8.18％ (2)8.82％ (3)9.16％ (4)9.53％ • Ans: (1)

41. Solution

42. P. 213, #71 • 如果這次賭注的輸贏跟下次賭注的輸贏基本上不相關： (1)個別賭注報酬率間的變異數接近0 (2)下注的人穩賺不賠 (3)個別的賭注沒有風險 (4)個別賭注報酬率間的共變異數接近0

43. 三、兩種以上資產投資組合的標準差衡量 • N支股票的投資組合,其標準差為: • 其中， = 第i支股票的權重 • = 第i支股票的標準差 • = 第i支股票和第j支股票的相關係數 • 註：課本公式有誤。

44. P. 209, #45 • 假設A股票及B股票的報酬率分別為40％以及30％，報酬率標準差分別為50％及40％，假設投資於A股票及B股票的權數分別為50％以及50％，此投資組合的期望報酬率的標準差為40.31％，試求這兩支股票的相關係數： (1)介於0.1與0.3之間 (2)介於0.3與0.5之間 (3)介於0.5與0.7之間 (4)介於0.7與0.9之間 Solution: 0.6

45. 第五節 風險分散

46. 一、資產(或證券)數目的多寡與投資組合的風險一、資產(或證券)數目的多寡與投資組合的風險 • 以平均加權投資組合為例： • 其報酬變異數為： • 為所有共變異數的平均。

47. Example: N = 3 and 4. • N=3, sigma_12, 13, 23, 21, 31, 32. 6 covariance terms. • N = 4, sigma_14, 24, 34, 41, 42, 43. Six more terms. Total=12 covariance terms. • N increases => Covariance will not diminish.

48. continued

49. P. 212, #65 • 假設N為證券的數目，V為這N種證券的平均變異數，C為證券間的平均共變異數，每種證券的權數均為1/N，則其變異數為何？ (1)V/N (2)C/N (3)C/N+(1-1/N)V (4)V/N+(1-1/N)C • Ans; (4)

50. 二、可分散風險與市場風險 • 當US投資組合含有的40支左右的股票時,其風險大約只剩個別證券平均風險的一半而己,另一半的風險已經因為證券種類的多樣化(另說,風險分散)而被消掉了。 • 風險之所以可以被消去,主要是因為不同證券的價格不會齊漲齊跌,換句話說,是因為證券間的相關係數小於1。當證券的價格不會齊漲齊跌時,證券的漲跌就有可能互相抵銷,風險因而會降低。