Zápis logických funkcí

1. Zápis logických funkcí Střední odborná škola Otrokovice Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je ing. Miroslav Hubáček. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. www.zlinskedumy.cz

2. Charakteristika 1 DUM

3. Náplň výuky Zápis logických funkcí Logické funkce jedné proměnné Logické funkce dvou proměnných Vyjádření logické funkce Pravidla Booleovy algebry Karnaughovy mapa

4. Logické funkce jedné proměnné jsou nejjednodušším případem logických funkcí. • Falsum • pro jakoukoliv hodnotu na vstupu je na výstupu vždy 0 • Negace • na výstupu je vždy opak hodnoty na vstupu • Aserce • hodnota na výstupu je shodná s hodnotou na vstupu • Verum • pro jakoukoliv hodnotu na vstupu je na výstupu vždy 1 • Praktický význam má pouzenegace. Logické funkce jedné proměnné

5. logické funkce dvou proměnných jsou zobrazeny v tabulce • praktický význam mají pouze čtyři • AND, OR, NAND a NOR Logické funkce dvou proměnných Obr. 1: Tabulka logické funkce dvou proměnných

6. logickou funkci lze vyjádřit • Booleovými funkcemi – to je negací, konjunkcí a disjunkcí • funkcemi NAND – stačí jediná funkce • funkcemi NOR – opět stačí jediná funkce • podle toho, které vyjádření zvolíme, mluvíme o Booleově algebře, NAND algebře nebo NOR algebře • základní je vyjádření Booleovými funkcemi • pro vyjádření logické funkce potřebujeme tři základní funkce • při realizaci této funkce potřebujeme tři druhy logických prvků • pro vyjádření logické funkce základní funkcí NAND nebo funkcí NOR vystačíme s jedním druhem základní funkce • při realizaci potřebujeme pouze jeden druh logických obvodů • základním požadavkem je každou logickou funkci minimalizovat, to je vyjádřit ji co nejmenším počtem základních logických funkcí Vyjádření logické funkce

7. k zjednodušování – minimalizaci logických funkcí používáme tato základní pravidla • 1. zákon vyloučení třetího • = 1 • 2. logický rozpor • = 1 • 3. dvojitá negace • = x • 4. opakování • 5. komutativní zákony • + = + • · = · Pravidla Booleovy algebry

8. 6. asociativní zákony + (+ ) = + + · (·) = · · 7. distributivní zákony ·(+ )= ( ·)+( · ) +(· )= ( +) ·( + ) 8. absorpční zákony + (· ) = ·(+) = Pravidla Booleovy algebry

9. 9. neutrálnost 0 a 1 • + x = • · x = • 10. agresivnost 0 a 1 • + x = • · x = • 11. De Morganovy zákony • = 1 · 2 • = 1+ 2 • de Morganovy zákony se uplatňují zejména při převádění Booleovy algebry na NAND nebo NOR algebru Pravidla Booleovy algebry

10. Příklad • Minimalizujte logickou funkci • 1 · · + ·2 · 3 + · 2 · + · · 3 + · · • Řešení • z druhého a třetího členu vytkneme · 2 a z čtvrtého a pátého členu vytkneme · • 1 · · + · 2(3 + ) + · (3 + ) • výrazy v závorkách jsou podle zákona vyloučení třetího rovny jedné • 1 · · + 1 · + · • výraz v závorce je ze stejného důvodu opět roven jedné • 1 · · + • použijeme absorpční zákon podle kterého je + 1 · = + • výsledek je • + · Minimalizace logických funkcí

11. Karnaughova mapa je tabulka, která má tolik políček, kolik je kombinací vstupních proměnných vyšetřované funkce • funkce s n vstupními proměnnými tedy vyjadřujeme mapou s 2n políčky • každé políčko odpovídá jedné z možných kombinací a zapisujeme do něj odpovídající funkční hodnotu • sousední políčka se od sebe liší hodnotou jediné proměnné • pro dvě proměnné používáme mapu 2 x 2 • svislá hrana je pro jednu proměnnou, vodorovná pro druhou • pro tři proměnné používáme mapu 2 x 4 (nebo 4 x 2), kde svislá hrana je pro jednu a vodorovná pro dvě proměnné • pro čtyři proměnné používáme mapu 4 x 4, kde máme vždy po dvou proměnných na hranách Karnaughova mapa

12. Karnaughova mapa slouží k vyjádření Booleovských funkcí, ale především k jejich minimalizaci Karnaughova mapa Obr. 2: Karnaughovy mapy dvou, tří a čtyř proměnných

13. Řádky nebo sloupce, ve kterých je příslušná hodnota rovna 1 označíme vedle mapy svislou nebo vodorovnou čárou, tam, kde čára není je hodnota rovna 0. U jedné proměnné je čára na jednom řádku nebo sloupci, u dvou jsou čáry na dvou sloupcích, přičemž se tyto čáry musejí částečně překrývat. Pravá hrana Karnaughovy mapy sousedí s levou hranou, stejně tak i horní hrana sousedí se spodní. Do mapy vložíme jedničky z pravdivostní tabulky. Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy bude spočívat v opačném postupu než při sestavování mapy, a to nalezením algebraického tvaru funkce, zadané mapou. Karnaughova mapa

14. Budeme postupovat tak, že sousední políčka mapy, která obsahují jedničku jako funkční hodnotu, budeme sdružovat do dvojic, čtveřic… • Základní pravidla pro minimalizaci logických funkcí • všechny jedničky v mapě musí být zakroužkovány, žádnou nesmíme vynechat. • každá jednička se může při kroužkování vzít několikrát, může být současně součástí dvojice, čtveřice... (to umožňuje zákon opakování x ∨ x ∨ x ∨... = x • přednost mají ... osmice před čtveřicemi, čtveřice před dvojicemi a dvojice před izolovanými jedničkami • v rámci pravidla podle kterého žádnou jedničku nesmíme vynechat, se snažíme o co nejmenší počet smyček Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy

15. Příklad Karnaughovou mapou minimalizujte logickou funkci: 1 · · + · 2 · 3 + · 2 · + · · 3 + · · Řešení Nakreslíme Karnaughovumapu pro tři proměnné a napíšeme jedničky do příslušných políček. Zakroužkujeme jednoznačně jednu čtveřici a jednu dvojici. Poté obdržíme výsledek + · Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy Obr. 3: Karnaughova mapa

16. Kontrolní otázky: Vysvětlete pojem logické funkce jedné a dvou proměnných. Jakým způsobem zapisujeme logické funkce? Co znamená pojem minimalizace logické funkce? Popište minimalizaci logických funkcí pomocí Booelovy algebry. Popište minimalizaci logických funkcí pomocí Karnaughových map.

17. Seznam obrázků: Obr. 1: Logické funkce: In: VUT logické řízení [online]. 2012 [vid. 8. 5. 2013]. Dostupné z:http://autnt.fme.vutbr.cz/lab/a4-603/opory/elr.pdf Obr. 2: Karnaughovy mapy dvou a více proměnných: In: VUT logické řízení [online]. 2012 [vid. 8. 5. 2013]. Dostupné z:http://autnt.fme.vutbr.cz/lab/a4-603/opory/elr.pdf Obr. 3: Karnaughova mapa : In: VUT logické řízení [online]. 2012 [vid. 8. 5. 2013]. Dostupné z:http://autnt.fme.vutbr.cz/lab/a4-603/opory/elr.pdf

18. Seznam použité literatury: [1] ANTOŠOVÁ, M., DAVÍDEK, V. Číslicová technika. Praha:KOPP,2009. ISBN 978-80-7232-394-4. [2] HÄBERLE,H. a kol.Průmyslová elektrotechnika a informační technologie. Praha:Europa – Sobotáles, 2003. ISBN 80-86706-04-4. [3 ] Logické funkce. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. 2012 [cit. 29. 4. 2013]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Diskr%C3%A9tn%C3%AD_sign%C3%A1l [4] Logické funkce: In: VUT logické řízení [online]. 2012 [cit. 8. 5. 2013]. Dostupné z:http://autnt.fme.vutbr.cz/lab/a4-603/opory/elr.pdf

19. Děkuji za pozornost 