第五章 目标规划

1. 第五章 目标规划 • 线性规划的局限性 • 只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标的最大或最小值的问题。 • 实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标 • 生产计划决策中，通常要考虑产值、利润、满足市场需求、降低消耗、提高质量、提高劳动生产率等； • 生产布局决策中，除了要考虑运输费用、投资、原料供应、产品需求量等经济指标外，还要考虑到污染和其它社会因素等 。 • 这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，也有最小的；有定量的，也有定性的；有互相补充的，也有互相对立的，LP则无能为力。 • 目标规划（Goal Programming） • 在LP的基础上发展起来的解决多目标规划问题的最有效的方法之一。 • 美国经济学家查恩斯(A.Charnes)和库柏(W.W.Cooper)在1961年出版的《管理模型及线性规划的工业应用》一书中，首先提出的。

2. 第一节 多目标线性规划 一、问题的提出 • 多目标线性规划 • 含有多个优化目标的线性规划。 • 线性规划模型只能有一个目标函数，可称为单目标线性规划。 • 多目标线性规划模型具有两个或两个以上的目标函数。 • 例题 • 某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的设备资源、每种产品的技术消耗定额及单位产品的利润如表所示。试确定计划期内的生产计划，使获得的利润最大。

3. 第一节 多目标线性规划 解：设x1、x2分别表示甲、乙两种产品的产量，则可建立线规划模型如下： maxZ=5x1+4x2 4x1+3x2 ≤24 x1，x2 ≥0 假设：该工厂根据市场需求或合同规定，希望尽量扩大甲产品的生产；减少乙产品的产量。这时又增加了二个目标，则可建立如下的模型： maxZ1=5x1+4x2 maxZ2=x1 minZ3=x2 4x1+3x2 ≤24 x1，x2 ≥0 这些目标之间相互矛盾，一般的线性规划方法不能求解

4. 第一节 多目标线性规划 二、求解思路 • 加权系数法 • 为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。 • 优先等级法 • 将各目标按其重要程度分成不同的优先等级，转化为单目标模型。 • 有效解法 • 寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

5. 第一节 多目标线性规划 三、目标规划法 • 加权系数法和优先等级法的结合 • 对每个目标函数确定一个希望达到的期望值(目标值或理想值)； • 由于各种条件的限制，这些目标值往往不可能全部都达到； • 对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量，分别表示超过或未达到目标值的情况； • 为区别各目标的重要程度，引入目标的优先等级和加权系数； • 对所有的目标函数建立约束方程，并入原来的约束条件中，组成新的约束条件； • 从这组新的约束条件，寻找使组合偏差最小的方案。

6. 第二节 目标规划的数学模型 一、目标规划的基本概念 • 目标函数的期望值 • 每一个目标函数希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 • 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。 • 偏差变量 • 每个目标函数的期望值确定之后，目标的实际值和它的期望值之间就有正的或负的偏差。 • 正偏差变量dk+ 表示第k个目标超过期望值的数值； • 负偏差变量dk- 表示第k个目标未达到期望值的数值。 • 同一目标，它的取值不可能在超过期望值的同时，又没有达到期望值，所以在dk+ 和dk- 中至少有一个必须为零。

7. 第二节 目标规划的数学模型 • 目标约束 • 引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标函数方程。 • 原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束(软约束) • 原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。 • 上例中，管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大，计划部门规定利润目标是20；第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班；第三个目标做如下规定，甲产品产量希望不少于3单位，乙产品产量比甲产品多2单位。对各目标函数引入正、负偏差变量： • 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 • 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 • x1+d3- - d3+ = 3 • - x1 + x2 +d4-- d4+ = 2

8. 第二节 目标规划的数学模型 • 目标达成函数 • 各个目标函数引入正、负偏差变量，而被列入了目标约束条件。 • 如何使各目标的实际值最接近于各自的期望值，构造一个新的目标函数以求得有关偏差变量的最小值。 • 这个新的目标函数反映了各目标函数的期望值达到或实现的情况，故把这个新的目标函数称为目标达成函数。 • 若要求尽可能达到规定的目标值，则正、负偏差变量dk+、dk- 都尽可能最小，将dk+和dk-都列入目标函数中，即minSk=dk++dk- ； • 若希望尽可能不低于期望值(允许超过)，则负偏差变量dk- 尽可能的小，而不关心超出量dk+，故只需将dk- 列入目标函数，minSk=dk- ； • 若允许某个目标低于期望值，但希望不得超过期望值，则正偏差变量dk+尽可能地小，而不关心低于量dk- ，故只需将dk+列入目标函数，minSk=dk+ 。

9. 第二节 目标规划的数学模型 • 优先等级和权数 • 目标的重要程度不同，用优先等级因子Pk 来表示第k等级目标。 • 优先等级因子Pk 是正的常数，Pk >> Pk+1 。 • 同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权系数w。 • 例如 • 第一个目标是实现利润最大，其优先级为P1； • 第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班，其优先级为P2； • 第三个目标：甲的产量不少于3，乙的产量比甲多2，优先级为P3。 假设： • 甲产品产量希望不少于3单位的权数为3， • 乙产品产量比甲产品多2单位的权数为5。 minZ= P1 d1- + P2(d2- + d2+) + P3(3d3- +5 d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1+d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0

10. 第二节 目标规划的数学模型 二、目标规划的数学模型

11. 第三节 目标规划的解法 一、目标规划的图解法 • 只含有两个决策变量的目标规划模型 • 线性规划是在可行域中寻找一点，使单个目标极大或极小；目标规划则是寻找一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折衷方案。 • 目标规划的图解法的思路 • 首先是在可行域内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1； • 然后再在R1中寻找一个使P2级各目标均满足的区域R2(R2R1)； • 接着再在R2中寻找一个满足P3级各目标的区域R3(R3 R2R1)； • 如此继续，直到寻找到一个区域RK(RK RK-1 … R3 R2 R1)，满足PK级各目标，这时RK即为这个目标规划的最优解空间，其中的任一点均为这个目标规划的满意解。

12. x2 ② B ③ ④ d4+ d4- d3+ ① d3- d2+ d1+ A d1- d2- x1 第三节 目标规划的解法 • 目标规划的图解法的步骤 • 首先，按照绝对约束画出可行域， • 其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线， • 最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。 minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 ① 4x1+3x2 +d2- - d2+= 24 ② x1+d3- - d3+ = 3 ③ - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 ④ x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0 ⑤ D C 满意解：x1=16/7, x2=32/7

13. 第三节 目标规划的解法 二、目标规划的单纯形法 • 目标规划与线性规划的数学模型的结构相似 • 可用前述单纯形算法求解目标规划模型： • 将优先等级Pk视为正常数(大Ｍ法) • 正负偏差变量dk+、dk-视为松弛变量 • 以负偏差变量dk-为初始基变量，建立初始单纯形表 • 检验数的计算与LP单纯形表检验数的计算完全相同，即j= cj - CBi Pj • 最优性判别准则类似于LP的单纯形算法： • 检验数一般是各优先等级因子的代数和 • 判断检验数的正负和大小

14. 第三节 目标规划的解法 minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+= 24 x1+d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0 • 划为标准型 • maxZ=-P1 d1--P2(d2-+d2+)-P3(3d3-+5d4-) • 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 • 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 • x1+d3- - d3+ = 3 • - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 • x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0

15. 第三节 目标规划的解法

16. 第三节 目标规划的解法

17. 第三节 目标规划的解法

18. x2 x1 =6 ③ ④ D C x2 =10 B d2+ d1+ d1- d2- x1 第四节 目标规划的应用 • 在目标管理中的应用 • 经营目标 P1：总利润不低于40， P2：充分利用设备能力，且尽量不超过140 如何安排生产？ minZ= P1 d1- + P2 (d2-+d2+ ) x1 ≤6 ① x2 ≤10 ② 5x1 + 2 x2 +d1- -d1+ =40 ③ 20x1 +10 x2 +d2- -d2+ = 140 ④ x1 , x2, d1-, d1+ , d2-, d2+ ≥0 (6,5)

19. 第四节 目标规划的应用 • 满意解：x1 =6, x2 = 5 • 设备能力：需求：206+10 5=170，实际：140 • 实现目标P1和P2，降低甲乙产品的设备消耗:降低率(170-140)/170=18%， 甲产品的设备消耗降为20 (1-18%)=16.4,乙产品的设备消耗降为10 (1-18%)=8.2。 生产部目标 甲产品的产量：6，成本：5 乙产品的产量：5，成本：6 总利润：40 单位甲：5 单位乙：2 技术部目标 甲产品的设备单耗：16.4 乙产品的设备单耗： 8.2 销售部目标 甲产品的销量：6，单价：10 乙产品的销量：5，单价： 8

20. x2 x1 =6 ③ ④ x2 =10 d1+ d2+ d1- d2- x1 第四节 目标规划的应用 • 降低设备消耗很困难，则调整经营目标的次序 • P1：充分利用设备能力，且尽量不超过140， • P2：总利润不低于40 • 如何安排生产？ minZ= P2 d1- + P1 (d2-+d2+ ) x1 ≤6 ① x2 ≤10 ② 5x1 + 2 x2 +d1- -d1+ =40 ③ 20x1 +10 x2 +d2- -d2+ = 140 ④ x1 , x2, d1-, d1+ , d2-, d2+ ≥0 E (6,2) A

21. 第四节 目标规划的应用 • 满意解：x1 =6, x2 = 2 • 利润指标：实际：56+2 2=34，期望：40 • 实现目标P1和P2，增加甲乙产品的单位利润:增长率(40-34)/34=18% • 产品售价由市场决定，为提高利润，应从降低成本入手： 甲产品的成本由5降为10 -5 (1+18%)=4.12,乙产品的成本由6降为 8 -2 (1+18%)=5.63。 生产部目标 甲产品的产量：6，成本：4.12 乙产品的产量：2，成本：5.63 总利润：40 单位甲：5.88 单位乙：2.26 技术部目标 甲产品的设备单耗：20 乙产品的设备单耗：10 销售部目标 甲产品的销量：6，单价：10 乙产品的销量：2，单价： 8

22. 第四节 目标规划的应用 • 在库存管理中的应用 • 某副食品批发店预测某商品今后4月的购进与售出价格如表： • 假设：该商品供不应求，最大销量受仓库容量限制； • 正常库容3吨，机动库容2吨； • 月初批发销货，月中采购进货，进货所需资金完全来销售收入； • 1月初库存量2吨，成本2.5千元/吨，该月初无现金。 • 经营目标：(1)每月都使用正常库容，尽量不超容； • (2) 每月下旬都应储备1千元以备急用； • (3)4个月总盈利最大。

23. 第四节 目标规划的应用 • 决策变量：xj第j 月的采购量， yj第j 月的销售量 • 绝对约束条件 • 各月销量约束：月初售货，各月销量不能多于其期初库存量。 1月y1≤2 2月y2≤2 – y1+ x1→ y1+ y2– x1≤2 3月y3≤2 – y1+ x1– y2+ x2→ y1+ y2+ y3– x1– x2≤2 4月y4≤2 – y1+ x1– y2+ x2– y3+ x3→ y1+ y2+ y3+ y4– x1– x2– x3≤2 • 各月采购量约束：每月采购量依赖月初的售货收入。 1月2.6x1≤2.9y1→ –2.9y1 +2.6x1≤0 2月 –2.9y1 –2.7y2+2.6x1 +2.5x2 ≤0 3月–2.9y1 –2.7y2 –3.1y3+2.6x1+2.5x2+2.7x3 ≤0 4月 –2.9y1 –2.7y2 –3.1y3 –3.3y4+2.6x1 +2.5x2+2.7x3+2.8x4≤0

24. 第四节 目标规划的应用 • 目标约束条件 • 正常库容约束 1月2 –y1 +x1≤ 3→ –y1 +x1+ d1-– d1+ =1 2月 –y1 –y2 +x1+x2 + d2-– d2+ = 1 3月 –y1 –y2 –y3 +x1+x2+x3 + d3-– d3+ = 1 4月 –y1 –y2 –y3 –y4 +x1+x2+x3 +x4 + d4-– d4+ = 1 • 各月储备金约束 1月2.9y1 -2.6x1+ d5-– d5+ = 1 2月 2.9y1 +2.7y2-2.6x1 -2.5x2 + d6-– d6+ = 1 3月 2.9y1 +2.7y2 +3.1y3-2.6x1-2.5x2-2.7x3 + d7-– d7+ = 1 4月 2.9y1 +2.7y2 +3.1y3 +3.3y4-2.6x1 -2.5x2-2.7x3-2.8x4 + d8-– d8+ = 1 • 总盈利约束：期望利润(3.3-2.5)×(3+2) × 4=16 销售收入: 2.9y1 +2.7y2 +3.1y3 +3.3y4销售成本:2.5×2+2.6x1 +2.5x2+2.7x3 2.9y1 +2.7y2 +3.1y3 +3.3y4 -2.6x1 -2.5x2-2.7x3 + d9-– d9+ = 21 • 目标达成函数 minZ=P1 (d1++ d2++ d3++ d4+) + P2 ( d5-+ d6-+ d7-+ d8-) + P3d9-