初中数学九年级上册（苏科版）

初中数学九年级上册 （苏科版） 1.5 中位线（1）

已知;如图, △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点, 求证：DE∥BC,DE= BC 二、证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

A D E F B C 例1 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，DC的中点．求证：EF∥BC，EF= 1/2（BC+AD）．思路一：将梯形转化为三角形，利用三角形中位线定理进行证明． G

证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点G． ∵AD∥BC， ∴∠D =∠FCG．在△ADF和△GCF中， ∠D=∠FCG ， DF=CF ， ∠AFD=∠GFC， ∴△ADF≌△GCF（ASA）． ∴AF=GF，AD=GC(全等三角形对应边相等)．又∵AE=EB， ∴EF是△ABG的中位线． ∴EF∥BC，EF =1/2 BG = 1/2(BC+CG ) (三角形中位线定理)． ∵AD=GC， ∴EF= 1/2(AD+BC)． A D E F B C G

A D E F B C 思路二：将梯形转化为平行四边形，利用平行四边形的性质定理进行证明．证明：过点F作MN∥AB，交AD的延长线于点M，交BC于点N． ∵AD∥BC， ∴四边形AMNB是平行四边形，且∠MDF=∠FCN． ∴AB=MN．在△DFM和△CFN中， ∠MDF=∠FCN ， DF=CF ， ∠DFM=∠CFN ， ∴△DFM≌△CFN(ASA)． ∴DM=CN，MF=FN=1/2 MN．又∵AE=EB=1/2 AB． ∴AE=EB=MF=FN． ∴四边形AEFM，EBNF是平行四边形． ∴AM=EF=BC， EF∥BC∥AD． ∴ EF=1/2 (AD+BC)． M N

例：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。例：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。（1）求证：四边形MENF是菱形（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论。

A D E F B C 归纳与概括: 你能仿照三角形中位线定理，用文字语言来概括梯形中位线的性质吗?

大显身手 A D E C B F 已知△ABC，分别连接三边中点D，E，F（如图），你能得到哪些结论呢? 我们可以从线段的数量关系、三角形是否全等、是否有平行四边形等不同的角度来寻找．连接AF，你有什么发现呢? 若请你添加一个条件,你又有什么发现呢?

梯形中位线性质 三角形中位线定理 1．剪拼三角形学有所获 2.从实验操作中发现添加辅助线的方法． 3.转化思想的应用——将三角形问题转化为平行四边形问题，将梯形中位线问题转化为三角形中位线．

课外思考 小明有一个解不开的迷：他任意画了三个△ABC（不全等），发现只要向图中的角平分线BG、CF作垂线AG、AF，连接两垂足F、G，则FG总是与BC平行，但他不会证明，你能解开这个迷吗？

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