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矩 陣

矩 陣. 1-1 聯立方程式 1-2 矩陣的定義 1-3 矩陣的運算 1-4 基本列運算 1-5 反矩陣 1-6 行列式. 1-1 聯立方程式. m 個線性方程式、 n 個變數 x 1 , x 2 ,…, x n 所構成的系統 (1-1)

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矩 陣

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  1. 矩陣 • 1-1 聯立方程式 • 1-2 矩陣的定義 • 1-3 矩陣的運算 • 1-4 基本列運算 • 1-5 反矩陣 • 1-6 行列式

  2. 1-1 聯立方程式 • m個線性方程式、n個變數x1,x2,…,xn所構成的系統 (1-1) 稱為線性系統(linear system)或聯立線性方程式。若(x1 , x2 ,……, xn )=(s1, s2,……,sn )能滿足聯立方程式(1-1)時，我們稱(s1, s2,…, sn)為聯立方程式(1-1)的解(solution)。

  3. 1-1 1-2 矩陣的定義 • 由 mn 個實數所構成的 m 列(row) n 行(column)長方形數列，稱為 m  n 階(order)矩陣(matrix) A。 (1-2)

  4. 1-1 為簡便計，m  n 矩陣常以符號 A = [aij]mn，或更簡單的[aij]來表示。在矩陣 A中第 i列、第 j 行位置的 aij 稱為矩陣 A 的(i, j)元素(element, or entry)。

  5. 下面我們介紹幾種具有特殊型態的矩陣。設A為 m  n 矩陣： • 若m = 1，矩陣 A 只有一列，稱為列矩陣(row matrix)或列向量(row vector)。如 A = [3, 2, 1]。若 n = 1 時，則稱 A 為行矩陣(column matrix)或行向量(column vector)。

  6. 當 m = n 時，矩陣 A 稱為 n 階方陣(square matrix of order n)。其中對角線元素a11, a22, ……, ann 構成主對角線(main diagonal)。 • 若 n 階方陣中，對角線之外的元素皆為0，即aij = 0，當 i j ，則稱此矩陣為對角矩陣(diagonal matrix)。

  7. 若對角矩陣 A 中對角線元素皆為1，則稱 A 為單位矩陣(identity matrix)。通常以符號 In 表之。 • 若對角矩陣 A 中，對角線元素皆相等，即 aii = c, i = 1,…, n，則稱矩陣 A 為純量矩陣(scalar matrix)。

  8. 若 n階方陣 A 中，aij= 0，當 i > j時，則 A稱為上三角矩陣(upper triangular matrix)。

  9. 若 aij = 0，當 i < j 時，則稱 A為下三角矩陣(lower triangular matrix)，例如 不論是上三角矩陣或下三角矩陣，均通稱為三角矩陣(triangular matrix)。 • 元素皆為 0 的矩陣稱為零矩陣(zero matrix)，以符號 O 或 Om  n表之。

  10. 1-2 1-3 矩陣的運算 • 若矩陣 A = [aij] 與矩陣 B = [bij] 皆為 m  n矩陣，且aij = bij，1  i m， 1  j n，則稱矩陣 A 和矩陣 B相等(equal)。並寫成 A = B。

  11. 1-3 • 加法運算(matrix addition) 若 A = [aij]， B = [bij] 皆為 m  n 矩陣，則 A與B的和(sum) C = [cij] 亦為 m  n 矩陣，且 即 C 是一個由 A與 B中相對應的元素相加而得的 m  n 矩陣，或寫成 C = A + B。

  12. 1-4 • 乘法運算(matrix multiplication) 若 A = [aij] 為 m  n 矩陣，B = [bij] 為 n  p 矩陣，則 A和B 的乘積(product) C = [bij] 為 m  p 矩陣，其中

  13. 第 j 行 若以符號表示，可寫成 C = AB

  14. 1-1 • 矩陣加法性質 設 A、B、C、O 為同階矩陣，則 (1) A + B = B + A交換律(commutative property) (2) A + (B + C) = (A + B) + C結合律(associative property) (3) A + O + O + A = A同一律(identity property) 這裡，零矩陣O所扮演的角色正與實數中的零 一樣。

  15. 1-2 • 矩陣乘法性質 設A、B、C為三個矩陣，並設其加法與乘法的運算均能符合定義的要求。 (1) A(BC) = (AB)C　結合律 (2) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC　分配律(distributive property) (3)若 A 為 m n矩陣，則 AIn= Im A = A 這裡，單位矩陣在矩陣乘法運算中所扮演的角 色與實數中的 1 相同。

  16. 1-5 1-6 • 若以一實數 r乘以矩陣 A = [aij]，則矩陣 rA 可由 A中每一元素乘以 r而得。這種運算，我們稱之為純量乘法運算(scalar multiplication)。 • 設 A = [aij] 為 m n矩陣，則矩陣 AT= [aji] 為 n m 矩陣，稱為 A 的轉置矩陣(transpose of A)。

  17. 1-3 • 純量乘法性質 設 r、s為實數，A、B 為同階矩陣，則 (1) r (sA) = (rs)A (2)(r + s) A = rA + sA (3) r (A + B) = rA + rB (4) A (rB) = r (AB) = (rA) B (5)oA=O (6)rO=O

  18. 1-4 • 矩陣轉置性質 設 r 為一實數，A、B 為矩陣，則 (1)(AT)T = A (2)(A + B)T = AT + BT (3)(AB)T = BTAT (4)(rA)T = rAT

  19. 1-7 設 AT= A，則矩陣 A稱為對稱矩陣(symmetric matrix)。 值得注意的是，對稱矩陣必為一方陣，且aij= aji。

  20. 1-4 基本列運算 • 聯立方程式(1-1)若以矩陣符號表示，則可寫成 AX = b(1-3) 其中 稱為係數矩陣(coefficient matrix)。

  21. X = [x1, x2, ……xn]T 為 n 1 矩陣，而 b = [b1, b2, …… bn]T 為 m  1 矩陣，又 稱為擴張矩陣(augmented matrix)。

  22. 1-8 • 對於一個矩陣，可用下列三種不同的列運算，稱為基本列運算(elementary row operations)。 (1)交換矩陣中的第 r 列與第 s 列(以符號 Rr Rs表之)。 (2)將矩陣中的第 r列乘以一不為零的實數 c (以符 號 cRr 表之)。 (3)將矩陣中的第 r列乘以一不為零的實數 c後， 再加到第 s 列上(以符號 cRr + Rs 表之)。

  23. 1-9 • 若矩陣 A，經過一連串的基本列運算後變成矩陣 B，則稱矩陣 A和 B為列同義(row equivalent)。可寫成 A ~ B。 • A ~ A • 若A ~ B ，則B ~ A (即A與B是列同義的) • 若A ~ B 且 B ~ C ，則 A ~ C

  24. 1-10-1 • 若矩陣滿足下列的條件，則稱為簡化列梯形矩陣(reduced row echelon form)。 (1)任何一列的第一個不為零元素必須是 1，並稱該元素為該列的首項(leading entry) ; (2) 而且含有此元素 1 的這一行，其他元素必須為零。 (3) 每一列第一個不為零的元素，必須位於前一列第一個不為零元素的右側。 (4)若有某列之元素全部為零，則此列必位於矩陣的最下端。

  25. 1-10-2 • 定義1-10-1中，若只滿足上述條件的(1)、(3)、(4)的矩陣，則稱為列梯形矩陣(row echelon form)。

  26. 1-11 • 若 A為 m n矩陣，矩陣 C 為 A經過一連串基本列運算後所得之簡化列梯形矩陣，則 C中不全為零的列的個數，稱為矩陣 A的秩(rank)，以 r (A)表示。

  27. 1-5 • 考慮聯立方程式 AX = b，A為 m n矩陣， (1)若 r (A) = r ([Ab]) = n 則 AX = b有唯一解 (2)若 r (A) = r ([Ab]) < n 則 AX = b有無限多解 (3)若 r (A) < r ([Ab])，則 AX = b 無解

  28. 1-5-1 • 在解聯立方程式 AX = b 時，我們進行一連串的基本列運算，將 [Ab] 轉換成與其列同義的矩陣[Cd] 或 CX = d，因此 AX = b 與 CX = d 具有相同的解。 • 即若[Ab]與[C d]為列等價，則這兩組方程式具有相同的解。 • 若[C d]為列梯形矩陣，稱為高斯消去法(Gaussian elimination) 。 • 若[C  d]為簡化列梯形矩陣，稱為高斯-喬登簡化法(Gauss-Jordan reduction) 。

  29. 範例一： 使用高斯-喬登簡化法，解下列的線性方程組。

  30. 範例二：

  31. 範例三

  32. 若聯立方程式(1-3)中的 b為零向量，即 b = 0， AX = 0(1-4) 為齊次線性聯立方程式(homoeneous system of linear equations)。 • 若 b 0，則稱(1-3)為非齊次線性聯立方程式(nonhomogeneous system of linear equations)， • 若x1 = 0, x2 = 0, ……, xn = 0為(1-4)的明顯解，稱之為自然解(trivial solution)。 • 若存在xi 0，則稱之為非自然解、非明顯解(non-trivial solution)

  33. 1-6 • 設 A 為 mn矩陣。若 m < n，則齊次線性聯立方程式 AX = 0必有無限多解。

  34. 範例四：

  35. 1-5 反矩陣 • 首先考慮聯立方程式 AX = b，A 為 n 階方陣。 假設有一矩陣 B，可使得 BA = In，則在 AX = b 兩邊的前端同時乘以 B，可得 BAX = Bb InX = Bb 或X = Bb 換言之，聯立方程式 AX = b 的解即為 X = Bb。對於這個 B 矩陣，我們稱它為 A 的反矩陣。

  36. 1-12 • 設 A 為一 n 階方陣。若存在一 n 階方陣 B，使得AB = BA = In，則稱 A 為非奇異矩陣(nonsingular matrix)或可逆矩陣(invertible matrix)，並稱 B 為 A 的反矩陣。反之，若沒有這種B矩陣的存在，則稱 A 為奇異矩陣(singular matrix)或不可逆矩陣(noninvertible matrix)。

  37. 1-7 • 若矩陣 A 有反矩陣，則僅有一個反矩陣。(唯一性) 證明：設 B 與 C 皆為 A 的反矩陣，則 BA = AB = In CA = AC = In 因此 B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC = C。 習慣上，我們用符號 A1 表示 A 的反矩陣。 即　　AA1 = A1A = In

  38. 1-8 • 若 A 為一 n 階非奇異矩陣，則 A ~ In；反之，若 A ~ In，則 A 必為非奇異矩陣。 • 矩陣 A 與 A1應滿足關係式 AA1 = In(1-5) 若將 A1 及 I 分別用行向量表示成 [X1,……,Xn] 及 [E1,……,En]

  39. 其中 則(1-5)式可改寫成 AX1 = E1,……, AXn = En(1-6)

  40. 也就是 X1, X2, ……, Xn 分別是下列 n 組聯立方程式的解 AX = E1, AX = E2, ……, AX = En(1-7) 這 n 個聯立方程式的擴張矩陣為 [AE1], [AE2], …… , [AEn] (1-8) 若利用基本列運算和定理1-8及(1-6)，可將(1-8)化成列同義的擴張矩陣 [InX1], [InX2],~…… ,[InXn](1-9)

  41. 今將(1-8)與(1-9)中各矩陣，以更精簡的符號表示，可得今將(1-8)與(1-9)中各矩陣，以更精簡的符號表示，可得 [AIn] ~ [InA1] (1-10) 因此，我們若能利用基本列運算將矩陣 [AIn] 轉換成 [InB] 的型式，則 B 必為 A 的反矩陣。

  42. 1-9 (1)若 A 為非奇異矩陣，則 A1 亦為非奇異矩陣， 且(A1) 1 = A。 (2)若 A，B 皆為非奇異矩陣，則 AB 亦為非奇異矩陣，且(AB) 1 = B 1A 1。 (3)若 A 為非奇異矩陣，則 AT亦為非奇異矩陣，且(AT) 1 = (A1) T。

  43. 線性方程組與反矩陣 • 在解線性方程組 AX = b 時，若A為非奇異矩陣，則A1存在，且X = A1 b 為該線性方程式組的解 A1 (AX) = A1 b ( A1 A)X = A1 b InX = A1 b X = A1 b

  44. 以下敘述皆為同義的 • A是非奇異的。 • x=0為Ax=0的唯一解。 • A列等價於In 。 • 對於n1階矩陣b，線性方程組 AX = b只有唯一解A1 b 。

  45. 1.6 行列式 • 若 為一 n階方陣，則其行列式為一實數，記為 |A| 或det(A)。

  46. 1-13 (1)若 A 為一階方陣，即 A = [a11]，則定義 |A| = a11。 (2)若 A 為二階方陣，即　　　　　　　，則定義 |A| = a11a21  a12a22。

  47. 1-14 • 若 A = [aij] 為 n 階方陣，令 Mij 為 A 中除去第 i 列及第 j 行後的 n1 階子矩陣，則子矩陣 Mij的行列式 |Mij| 稱為元素 aij 的子行列式(minor)。 • 而 (1)i + j|Mij| 則稱為 aij 的餘因式(cofactor)，以Aij表示。

  48. 1-15 • 若 A = [aij] 為 n 階方陣，則行列式 (1-11) 定義1-15中的行列式 |A|，可視為依第 i 列將 n1 階餘因式展開的結果。亦即，先固定某一列 i，對第 i 中元素求取對應之 Aij , j = 1, ……, n，乘上 aij後再加總起來。當然也可以先固定某一行 j，對第 j 行中各元素求取 Aij，乘以 aij後，再依 i = 1, ……, n 相加起來。故 (1-12)

  49. 1-10 • 設 A = [aij] 為 n 階方陣。 (1)若 A 中某一行或某一列的元素全為零，則 |A| = 0。 (2)若 A 中有兩行或兩列的元素完全相同，則 |A| = 0。 (3)若 A 為三角矩陣，則 |A| = a11a22 ……ann。 (4)若將 A 的某兩列(或行)相互對調而得矩陣 B，則 |B| = |A|。

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