第九章 时间序列分析

1. 第九章 时间序列分析 主要教学内容 第一节 时间序列概述 第二节 时间序列分析指标 第三节 时间序列的分解分析

2. 大多数经济与商务活动都是连续不断进行着的，相关统计资料往往表现出一个时间序列（Time Series）。 时间序列分析就是要研究经济现象随时间发展变化的特征与规律，以达到对客观经济现象运行现状的认识、未来发展变化趋势的把握。 例9.1 时间序列分析：了解现在，把握未来。 26个月高度发展 月收入： $5.7万 $30万 运行15年 美国一家药厂 1991年 易 测 算 保险 火 财产(physical property) 生产大楼 夷为平地 6/4，1993 收入损失(lost of income) 难 测 算 一个可行的办法 在大楼重建期内（7个月），按以往的收入情况预测重建期可能的 收入，包括增长趋，季节调整等。

3. 第一节 时间序列概述 一、时间序列及其分类 时间序列：按时间顺序排列起来的统计数据 两 要 素：所属的时间；不同时间上的统计数据 分类： 1、按数列中排列指标的性质： （1）绝对数时间序列——可能具有可加性 （2）相对数时间序列 （3）平均数时间序列 表9.1中：GDP、最终消费、年末人口为绝对数时间序列； 最终消费率为相对数时间序列； 人均消费为平均数时间序列 不具有可加性

4. 表9.1 中国GDP、消费、人口等时间序列 年份 GDP 最终消费 最终消费率 年末人口 人均消费率 （亿元） （亿元） （%） （万人） （元/人）1990 18319.5 11365.2 61.3 114333 994.0 1991 21280.4 13145.9 60.8 115823 1135.0 1992 25863.6 15952.1 59.9 117171 1361.4 1993 34500.6 20182.1 58.3 118517 1702.9 1994 47110.9 27216.2 58.2 119850 2270.9 1995 59404.9 34529.4 59.0 121121 2850.8 1996 68498.2 40171.7 58.6 122389 3282.3 合计 274978.1 162562.6 — — —

5. 2、对绝对数时间序列按所反映时间状态的不同可分类为：2、对绝对数时间序列按所反映时间状态的不同可分类为： • 时期数列：反映现象在各段时期内发展过程的总量(如GDP） (2)时点数列：反映现象在某一时点上所处的状态（如年末人口） 特点：时期数列具有可加性，时点数列不具有可加性。

6. 注意： 进行时间序列的对比分析，必须满足： （1）各指标数值所属时间可比：时期数列中各指标所属时间长短应当一致（日、周、月、季、年等）； （2）各指标数值总体范围可比：数列中各时间上现象所属空间范围必须一致； （3）各指标数值的经济内容、计算口径、计算方法可比。

7. 第二节 时间序列分析指标 一、时间序列的水平分析 时间序列的水平分析主要是要研究经济现象时间上的发展水平和速度，分析其发展的规律。 （一）发展水平 时间数列中每一项指标的数值反映了经济现象（活动）在各个时间上的规模，称为相应时间上的发展水平，包括绝对水平（总量水平）、相对水平及平均水平。

8. 记时间序列为：a0，a1，a2，… ，an 最初水平：首项a0 序列的 最末水平: 最后一项an 中间水平: 其余项 a i 各时间的发展水平进行比较时； 基期（水平）：作为比较基础的那个时 期（发展水平） 报告期(水平)：所研究考察的那个时期 （发展水平）

9. （二）平均发展水平 平均发展水平主要是要说明现象在一段时期的一般水平。 平均发展水平（序时平均数）：（一段时期）不同时间上的指标数值平均数。 1、绝对数时间序列序时平均数 （1）时期数列序时平均数： （1）

10. (2）时点数列平均数 连续时点数列（逐日排列的时点数列）平均数：

11. 例9.2 某商品6月份的库存量记录 日期 1-4 5-7 8-13 14-20 21-23 24-28 29-30 库存量 49 52 39 29 43 38 51 试计算6月份平均日库存量 该6月份平均库存量为

12. （2）时点数列平均数 间断时点数列（隔一段时间观测的数据）平均数： （3） 其中：a i与a i+1是第 i 时点与第i+1时点的数值， f i为该两时点的时间间隔。

13. 注意： 1、该式的使用前提是：假定相邻两时点间现象的数量变动均匀。 2、当各时点间隔相等时，上式简化为：

14. 2、相对数或平均数时间序列序时平均数 先分别计算形成相对数或平均数的绝对数时间序列的时序平均数 与 ，再计算相对数或平均数时间序列的序时平均数： （1）分子分母都是时期指标 例9.3某企业1997年各季度销售额和利润率指标如下表： 季度 销售额（万元） 利润率（%） 1 300 30 2 360 32 3 400 35 4 420 36 试计算年平均利润率。

15. （2）分子分母都是时点指标 例9.4某工厂先进生产者人数日益增加，就下表资料计算第一季度先进生产者占全体工人的平均百分比。 1月1日 2月1日 3月1日 4月1日 先进生产者人数（人） 120 180 301 360 全部工人数（人） 2000 2000 2150 2000 答案：

16. （3）分子分母一个是时期指标，一个是时点指标（3）分子分母一个是时期指标，一个是时点指标 例9.5某企业1998年工业总产值及职工人数资料如下：  季度 第一 第二 第三 第四 总产值（万元） 565 595 614 636 季末职工人数（人） 2018 2070 2120 2200 1998年初职工人数为2010人。试计算（1）该企业全年劳动生产率（2）又知该企业1997年全年劳动生产率为11190元，计算1998年比1997年全年劳动生产率增长的百分数。 答案：

17. （三）增减量与平均增减量 增减量：报告期水平与基期水平之差： 逐期增减量：报告期水平与前一期水平之差： 累计增减量：报告期水平与某一固定基期水平之差： 注：各逐期增减量之和等于相应时间的累计增减量： 相邻时期累计增减量之差等于相应时间的逐期增减量： 平均增减量：逐期增减量的序时平均数：

18. 二、时间序列的速度分析 （一）发展速度 发展速度：时间序列中报告期水平与基期水平之比。 1、环比发展速度：报告期水平与前一期水平之比： 2、定基发展速度：报告期水平与某一固定基期水平之比： 注：环比发展速度与定基发展速度的关系： 各环比发展速度的连乘积等于相应时期的定基发展速度： 相邻两个定基发展速度之比，等于相应时期的环比发展速度： 3、年距发展速度：报告期（月、季）发展水平与上年同期发展水平之比：

19. （二）增减速度 增减速度：增减量与基期水平之比（说明报告期水平较基期水平变化的相对程度）： 环比增减速度= 环比发展速度 – 1 定基增减速度= 定基发展速度 - 1

20. 注意： 1、环比增减速度的连乘并不等于定基增减速度； 2、可由环比增减速度计算定基增减速度： 环比增减速度(+1) 环比发展速度(连乘） 定基增减速度 定基发展速度( - 1)

21. （三）平均发展速度与平均增减速度 平均速度：各时期环比速度的平均数 平均发展速度：各时期环比发展速度的平均数 平均增减速度：各时期环比增减速度的平均数 平均增减速度=平均发展速度 - 1

22. 平均发展速度的算法： 1、几何平均法（水平法） 式中， 表示1~ n 期的平均发展速度， 表示第i 期的环比发展速度。 另一表达式： 注：几何平均法只注重期初水平与期末水平，不考虑中间水平的变化。因此也叫“水平法”。

23. 2、方程式法（累计法） 设 是运用此法求得的平均发展速度，则根据这一速度计算的逐期发展水平如下： ， ， ， 由于根据 计算的各期所达到的水平的累计总和应与各期实际所具有的水平总和相一致，即 从而得： 该高次方程的正根，即为按方程式法所得的平均发展速度。 注意： 1、方程式法着眼于各期水平的累计之和，因此考虑到了各期的信息； 2、方程式法需解高次方程，实际工作中已编成查对表而简化计算； 3、方程式法需首先根据各期定基发展速度的均值是否大于1来判断考察期内是递增型发展还是递减型发展。

24. 例6.2在表6.2中，求1996~2000年中国GDP年均增长率，按几何平均法(水平法）计算的结果为例6.2在表6.2中，求1996~2000年中国GDP年均增长率，按几何平均法(水平法）计算的结果为 按累计法，首先计算 则 说明1996~2000年间中国GDP呈递增型。再通过“查对表”得接近于673.4% 的数字为673.51%，相应的年均增长速度为10.1%，则年均发展速度为110.1%。

25. 注： 1、几何平均法适用于着重考察期末所达到的水平情况，如期末所达到的生产能力、产值、人口增长等； 2、累计法适用于着重考察各期现象发展水平的总和，如累计新增固定资产、累计基本建设投资等。 第三节 时间序列分解分析 一、时间序列的构成要素与模型 影响经济活动的因素：长期因素、短期因素；规则因素，随机因素等。 影响时间序列的因素构成：长期趋势(Secular Trend)、季节变动(Seasonal Fluctuation)、循环变动(Cyclical Variation)、不规则变动(Irregular Variation)。

26. 1、趋势性因素（Trend Component） 长期趋势指现象在一段相当长的时期内所表现的沿着某一方向的持续发展变化。影响长期趋势的因素有人口、技术、消费者偏好等长期因素。 2、循环性因素（Cyclical Component) 循环变动指以若干年（月、季）为一定周期的有一定规律性的周期性波动。其表现为指标的若干期有规律性地在长期趋势线之上，有若干期在线下，呈交替出现状。

27. 3、季节性因素（Seasonal Component） 季节变动指在一年中随季节的更替而出现的有规律的变动。 4、不规则因素（Irregular Component） 不规则变动指现象受众多偶然因素的影响而呈无规则变动。不规则因素是排除了长期趋势因素、循环因素、季节因素后其它不可预见因素。 时间序列分析的任务：通过分析，分离出各因素的具体作用，揭示各因素的变动规律及特征，为预测提供依据。 时间序列分析模型： 乘法模型： 加法模型： 其中，Y代表时间序列指标数值；T、S、C、I分别代表长期趋势因素、季节因素、循环因素与不规则因素。

28. 注： 1、乘法模型假定四个因素对现象发展的影响是相互的，以长期趋势因素的绝对量为基础，其余因素以比率（相对量）表示； 2、加法模型假定四个因素的影响相互独立，每个因素以绝对量表示。 二、趋势性因素分析 时间序列分析首先须将构成时间序列的长期性因素分离出来。 时间序列的长期趋势分为线性趋势与非线性趋势。 （一）线性趋势 当时间序列的长期趋势近似地呈现为直线而发展，称时间序列具有线性趋势。 时间序列线性趋势的测定与分离通常用移动平均法和趋势方程拟合法。

29. 1、移动平均法（moving averages) 移动平均法：选定一定的时距项数N，采用逐次递移的方法对原数列递移的N项计算一系列时序平均数的方法。 特点：新派生的时间序列削弱了短期偶然因素引起的不规则变动和其他成份的影响，对原数据列起到了修均作用，从而呈现出现象在较长时期的发展趋势。 移动平均值= 例6.3表6.4给出了一汽车加油站12周出售的汽油量。

30. 移动平均的特点： A、平均时距项N越大，对原数列的修均作用越强； B、平均时距项N为奇数，只需一次移动平均，其平均数为移动平均项数中间一期的数值；当N为偶数时，需在一次移动平均之后再对新数列进行一次相邻两平均值的移动平均，这时平均值才能正对某一时期，称为移正平均。 C、当数列包含季节变动时，移动平均时距项数N应与季节变动长度一致（4或12）以消除季节变动因素影响；若数列包含周期因素，则平均时距项数应与周期长度基本一致，以较好地消除周期因素的影响。 D、移动平均后，新派生的数列项数减少，信息有所损失，因此，移动平均时距项数不宜过大。

31. 2、直线趋势方程拟合法 直线趋势方程拟合法：利用回归直线方法对原时序数列拟合线性方程，以揭示数列的长期变动趋势。 直线趋势方程的一般形式： 例6.4某自行车生产厂年销售的自行车数量见表6.5。则回归的直线趋势方程为： 如果这种发展趋势在未来没有 太大变化，就可用它进行外推 预测。如第11年的自行车销售 量预测值为： Y11=20.4+1.1(11)=32.5 表6.5

32. 三次与五次移动平均的结果见下图。 可见：趋势方程拟合法与移动平均法的结果趋于一致。

33. （二）非线性趋势 实际经济活动中，长期趋势有时往往表现为有规律的非线性趋势（指数形态、对数形态等），称为曲线趋势。 当长期趋势呈现为曲线趋势时，可用非线性回归拟合该曲线的具体形态。 1、抛物线型 通过描绘散点图，当发现图形接近于“抛物线型”时，则曲线型为： 令x=t2，则上式化为多元线性回归： 2、指数曲线型 取对数： 令 , A=lna , B=lnb, 则原模型化为一元线性回归： 回归求得A，B，取反对数解出a, b。

34. 第三节 季节变动分析 在经济与商务活动中常常有不同时期（时点）的比较分析（period-to-period comparisons)。如失业率比上月增长2%，电力生产量比上月下降3%。 须注意，当存在季节因素的影响时，使用这些信息就需小心谨慎。例如，从8月到9月电力消费下降3%，可能仅仅是因为空调使用时间的减少而非电力使用的长期下降。也许在经过季节因素调整后，会发现9月份的电力使用量比前些时期9月份用电量仍高。 消除时间序列中季节因素的影响称为季节调整（deseasonalizing the time series)。 季节调整使得时间序列的对比分析更有意义，同时也能帮助确定长期趋势。下面仅对时间序列中有季节因素或同时有长期趋势的情形进行分析。

35. 一、季节变动分析的原理与方法 测定季节变动可根据时间序列是否包含有长期趋势来选取不同的方法。 （一）原始资料平均法 如果原时间序列不包含长期趋势（即长期趋势呈水平状），可采用原始资料平均法测定季节因素。 如果将例6.3某加油站12周的加油量看成3年4个季度的量，由于该序列没有明显的上升或下降趋势，可用原始资料平均法测算季节因素。

36. （二）趋势剔除法 如果序列包含明显的上升（下降）趋势，则应先剔除趋势因素，再测定 季节因素。当模型中不含循环变动因素时可采用如下乘法模型进行： 例6.5某电视机厂4年内的电视销售量见表6.6。相关图形显示出明显的 季节变动特征：销售量在每年的2季度最低、3、4季度上升。 测定季节因素的方法： 1、通过移动平均，消除季节变动和不规则变动，得到趋势变动因素T； 2、从原序列中剔除长期变动因素T，得季节因素与随机因素的综合SI； 3、在SI中消除随机因素的影响，得季节因素指数。

37. 6/5.48 一

38. Quarter Seasonal-Irregular Component Value Seasonal Index 1 0.971, 0.918, 0.908 0.93 2 0.840, 0.839, 0.834 0.84 3 1.096, 1.075, 1.109 1.09 4 1.133, 1.156, 1.141 1.14 注：按季度（月度）求得的季节指数之和应为400%（1200%），否则应进行校正。 三、季节变动的调整 消除原序列季节因素的影响，得包含长期因素及随机因素影响的新数据序列TI，称为季节变动的调整（Seasonal Adjustment）。

39. 例6.5中经过季节变动调整后的新序列得下表。 Y TI

40. 四、使用季节调整方法进行预测 1、使用季节调整后的序列测定趋势线 使用经季节调整后的数据通过回归得长期趋势线： 2、考虑季节调整的预测： （1）预测下一年度的长期变化趋势T； （2）对长期趋势进行季节调整 TS。 例6.5第5年的销量预测如下： Table Quarterly Forecast for the TV-set Sales Time Series Year Quarter Trend Forecast Seasonal Index Quarterly Forecast 5 1 7617 0.93 7084 2 7765 0.84 6523 3 7913 1.09 8625 4 8061 1.14 9160

41. 第四节 循环变动分析 一、循环变动及其测定目的 循环变动表现为一个长期的（多年的）周而复始的涨落交替过程。引起循环变动的循环性因素与季节性因素属同一类，但持续的时期更长，且周期的长短、变动的形态、波动的大小也不固定。 进行循环因素的测定，是为了从时间序列中剔除该因素的影响，从而更准确地把握经济运行的长期趋势，同时也是为了对经济现象的循环波动规律给予更深刻的把握，为经济决策提供可靠的信息。 二、循环变动的测定方法 由于循环变动通常隐匿在一个较长的变动过程中，且其规律不固定（主要是周期长度不固定），因此测定相对困难一些。 常用的方法：剩余法和直接法。

42. （一）剩余法 按乘法模型，时间序列可表述为 Y=T• S•C•I 1、将其中的长期趋势因素（T）与季节变动因素（S）分离出来，则原 序列只剩下循环因素（C）与随机因素（I）的影响： C•I=Y/ (T• S) 2、对新序列进行移动平均，消除随机因素的影响，即得循环因素（C）。 例6.6某旅行社1996~1999的经营收入如下表1所示，所计算的移动平均 数和季节指数也同时列于该表中。按剩余法计算的循环变动因素见下表2。 该循环变动见下图。可以看出，循环周期为7~8年。

43. 表1 某旅行社营业收入，移动平均数与季节指数

44. 表2 按剩余法计算的循环变动因素

45. （二）直接法 1、同期对比法： 每年各月（季）数值与上一年同期数值对比，求得的相对数可大致消 除季节变动因素与长期趋势，所剩也为循环变动因素与随机因素之综合： 2、变化率法： 将每年各月（季）数值较上年同期增长部分除以前一年对应月份（季） 数值，可消除季节变动因素与长期趋势，相对数大体表示循环变动： 例6.6中按变化率法测定的循环变动见下图，96~99年间的周期约6~8个月。

46. 注意：直接法测算的实际上是“年距发展速度”与“年距增长速度”。其理论依据并不充分，只能用来大体上观察循环变动。注意：直接法测算的实际上是“年距发展速度”与“年距增长速度”。其理论依据并不充分，只能用来大体上观察循环变动。 讨论问题： 1、当时间序列中不包含循环变动因素时，上面介绍的测定长期因素、季节因素的方法是严密的，即有 2、当时间序中包含循环变动因素时，上面介绍的测定长期因素的方法不严密。更严密的过程如下： 注：当原序列长期趋势呈非线性时，长期趋势只能通过曲线拟合法测定。