第三章方程

第三章方程 一、方程的历史发展及其科学价值二、方程的定义三、一元方程的同解性四、几种常见方程的变形五、解方程的常用方法

一、方程的历史发展及其科学价值 ㈠方程发展简史公元前1700年时期古埃及数学著作《兰德纸草书》记载：一个量，加上它的，等于19，求这个量。另一部古埃及数学著作《柏林纸草书6619》上有一个题目是“将一个面积为100的大正方形分为两个小正方形，一个边长是另一个的”。古巴比伦泥板书上也有类似的数学问题：“两数互为倒数，二者之差是7，求这两个数”。欧几里得《几何原本》中则有很多问题还要用到解二次方程。

中国古代数学著作《九章算术》中有“方程”章，包含了很多关于方程的问题。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”《九章算术》没有表示未知数的符号，而是用算筹将的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”之一名称的来源。希腊数学家丢番图《算术》中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量的不定方程。印度数学家阿耶波多在《阿耶波多历数书》中给出了二次方程的求解方法。婆罗摩笈多在公元628年完成的《婆罗摩笈多修正体系》一书中，也给出了一般二次方程的求根公式。

花拉子米的《代数学》一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的。该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述。花拉子米的《代数学》一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的。该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述。 13世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献。1247年，秦九昭给出了一般高次方程的数值解法。李冶创立的“天元术”（1248年）和朱世杰使用的“四元术”（1303年）能够求解一大类的高次联立方程。

人们开始讨论一般的五次方程的解法。欧拉和拉格朗日进行了尝试，但是都以失败告终。19世纪鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出。人们开始讨论一般的五次方程的解法。欧拉和拉格朗日进行了尝试，但是都以失败告终。19世纪鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出。㈡方程在中学数学中的地位和作用高中阶段对方程学习有较高的要求，重点在于领会方程和函数之间的密切关系以及代数方程与几何图形之间的密切关系。具体包含以下几方面：函数与方程，直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程，二阶矩阵与二元一次方程组、一阶线性差分方程、参数方程等等。

二、方程的定义 ㈠方程的几种定义目前中学数学教科书中通用的方程定义是：含有未知数的等式。但是，形如之类的等式难以界定。给出一个可以取代的定义：方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系。好处在于 ①它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数； ②陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系； ③方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。

在高等数学中方程的定义： ㈡方程的分类

三、一元方程的同解性

四、几种常见方程的变形

五、解方程的常用方法 ㈠换元法令则

㈡引入参数法

㈢二项方程和三项方程的解法

㈣因式分解法

㈤图像法

㈥待定系数法 ①

整式方程 在解方程时，我们除了根据上述定理或结论将方程进行（同解或非同解的）变形外，还常常将方程变换成另一方程，使它们的根之间有某种确定的关系，通过求变换后的方程的解，确定原方程的根。对于整式方程，常用的方程变换有以下三种：（1）差根变换定理1 方程f(y+h)=0的各根分别等于方程f(x)=0的各根减去h. 证明设αi(i=1,2,…,n)是n次方程f(x)=0的根,则f(αi)=0. 因为f[(αi-h)+h]=0,所以αi-h是n次方程f(y+h)=0的根.

依代数基本定理,方程f(y+h)=0在复数域上有且仅有n亇根(重根按重数计算),所以f(y+h)=0的各根分别等于方程f(x)=0的各根减去h. 定理1叫做方程的差根变形定理. 例1 求一个方程,使它的各根分别等于巳知方程x4-6x3+7x2+6x-2=0的各根减去2.

（2）倍根变换 定理2 方程f(y/k)=0(k≠0)的各根分别等于方程f(x)=0的各根的k倍. 证明设αi(i=1,2,…,n)是n次方程f(x)=0的根,则f(αi)=0.因为f[(kαi)/k]=0,所以kαi是n次方程f(y/k)=0的根. 由于f(y/k)=0有且只有n个根,所以f(y/k)=0(k≠0)的各根分别等于方程f(x)=0的各根的k倍. 定理2叫做方程的倍根变形定理.

例2 求一个方程,使它的各根分别是巳知方程x4-3x3+5x2-x-10=0各根的(1)3倍；(2)1/3倍.

（3）倒根变换 定理3 如果方程f(x)=0常数项不为零,那末方程f(1/y)=0的各根分别等于方程f(x)=0的各根的倒数. 定理3叫做方程的倒根变形定理.

例3 求一个方程,使它的各根分别是巳知方程 x4-3x3+5x2-x-10=0各根的倒数.

一元三次、四次以及高次方程 ㈠一元三次方程的解法设实系数一元三次方程为可以化为取，整理得到 ①

㈡一元四次方程的解法 费拉里(Ferrari L.,1522~1565)出身贫苦，少年时代曾作为卡当的仆人。卡当的数学研究引起了他对数学的热爱，当其数学才能被卡当发现后，卡当就收他作了学生。费拉里代替卡当与塔塔利亚辩论并比赛时，风华正茂，他不仅掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因而在辩论与比赛中取得了胜利，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后，把问题归结成了一元二次方程从而得解的。于是，如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。

费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于：费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于：第一次配方得到（3）式后引进参数y，并再次配方把（3）式的左边配成含有参数y的完全平方，即得到（4）式，再利用（5）式使（4）的右边也成为完全平方，从而把一个一元四次方程的求解问题化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的求解问题。例：解方程：

1.已知方程 的三个根是求一个三次方程，使它的根是 2.已知方程的三个根成等差数列，解这个方程。 3.解三次方程

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