수질관리 모델링 숙제 11-1

1. 수질관리 모델링 숙제 11-1 환경공학과 20041470 임성균

2. WASP6 모형의 개요 • (1) Theory • WASP6 모형은 호수, 강, 하구에서 수체의 이동과 일반 및 독성 물질의 이동 및 상호반응을 모의하며, 수계에 대한 동적 분할 모형으로서 시간에 따른 입력치의 변화를 고려할 수 있어 연중변화는 물론 짧은 시간 간격 사이의 수질성분변화를 분석하는 데에도 대단히 유용하다. • WASP6 모델의 구성은 수리모델인 DYNHYD와 부영양화 모델인 EUTRO, 독성물질모델인 TOXIC로 구성되어 있으며, 국내에 알려진 WASP모델은 대개 환경영향평가서에 사용된 EUTRO를 의미한다.

3. WASP6 모형의 개요 • WASP6(The Water Quality Analysis Simulation Program-6) 모형은 1981년EPA의 Di Toro 등에 의하여 개발된 WASP 모형을 발전시킨 것으로 수체 내 오염물의 이동과 반응을 예측한다. 이 모델은 사용자가 다양한 오염물 관리 계획을 위해 자연 현상과 인위적인 오염원에 의한 수질 변동을 해석하고 예측하는 것을 도와준다. WASP6 모형은 2개의 독립된 프로그램인 DYNHYD 모형과 WASP6모형으로 구성되어 있다. DYNHYD 모형은 수체의 수리적 특성에 대한 모형이며,WASP5 모형은 수체에서 오염물질의 이동과 반응을 예측하는 모형이다. 그리고WASP6 모형은 부영양화와 BOD, DO 등 전통적인 오염원을 대상으로 하는EUTRO 모형과 유기화합물, 금속 등의 독성 물질을 대상으로 하는 TOXI 모형의부 프로그램으로 구성되어있다.

4. WASP6 모형의 개요 • WASP6는 Water column 과 Underling benthos 를 포함하는 강, 호수, 항만 등의 수체의 동적 구간-모델링 프로그램으로 이류, 확산, 점오염원․비점오염원, 경계 조건을 시간에 따라 다양하게 입력할 수 있다. WASP6는 유입 지점으로부터 최종 유출지점까지 수체 내 존재하는 각 물질의 이동경로를 시간과 공간에 따라 살펴볼 수 있다. 이를 위해 아래에 제시된 일곱 가지 중요 특성을 결정하는 입력 자료가 필요하다.

5. WASP6 모형의 개요 ․ 수질 모의와 출력 조절(simulation and output control) ․ 모델 구획(model segmentation) ․ 이송과 확산을 통한 운송(advective and dispersive transport) ․ 경계농도(boundary concentration) ․ 점 오염원과 확산 오염원(point and diffuse source waste load) ․ 동역학적 매개변수, 상수, 시간 함수(kinetic parameters, constants, andtime functions) ․ 초기조건(initial condition) 이 입력 자료들은 WASP6에 의해 물질 수지식, 화학 반응식과 수학적으로 통합되어 적용된다.

6. WASP6 1.1 물질 수지식 유체역학이나 수질 예측 프로그램의 기본적인 원리는 질량 보존이다. 대상이 되는 수체의 부피와 수질을 결정하는 물질들은 시간과 공간의 변화에 따라 물질수지식을 이용해 설명된다. 이때 수체 내 용존 물질에 대한 물질 수지식은 직접적인 경로를 통하거나 확산에 의해 발생하는 부하, 이송․확산에 의한 물질 운반, 물리․화학․생물학적 전환을 통해 유입되거나 유출되는 모든 물질을 설명해야 한다. 그림 1.1와 같은 유체 내에서의 물질 수지식은 다음 식(1.1)과 같이 표현할 수 있다.

7. WASP6 그림 1.1 물질 수지식 산정을 위한 수체 모식도

8. WASP6 (1.1) 여기서, C = 수체 내 오염물의 농도, mg/L 혹은 g/m3 t = 시간, days UX, UY, UZ = X, Y, Z 방향 이송 속도, m/day EX, EY, EZ = X, Y, Z 방향 확산 계수, m2/day SL = 직접․확산 부하량, g/m3-day SB = 경계 부하량, g/m3-day SK = total kinetic transformation rate; positive is source, negative is sink, g/m3-day

9. WASP6 식(1.1)은 수직, 수평 방향의 완전 혼합을 가정하여 1차원으로 유도될 수 있다. (1.2) 여기서, A = 단면적, m2 위 식(1.2)는 크게 세 가지 항으로 나누어 볼 수 있는데, 각각 운송, 부하, 전환 항을 나타낸다. 거리 및 시간에 대하여 물질의 농도가 연속함수이므로, 1차원으로 가정된 물질 수지식을 Taylor series로 전개하면, 다음과 같다.

10. WASP6 (1.3) (1.4) 고차 항을 무시하고, 식(1.3)에서 식(1.4)를 빼서 정리하면, 다음과 같다. (1.5) 우변의 첫 번째 항과 두 번째 항을 동일한 방법으로 정리하면, (1.6)

11. WASP6 이므로, (1.7) (1.8) (1.9) 이다.

12. WASP6 그림 1.2 수질해석을 위한 모식도 (여기서, x는 위치, j는 구획번호, L은 길이)

13. WASP6 식(1.7) 및 식(1.9)를 그림 1.2을 참조하여 식(1.2)에 대입하고 구획 j에 대하여 정리하면, 다음과 같다. (1.10)

14. WASP6 양변에 Lj를 곱하면, 다음과 같다. (1.11)

15. WASP6 여기서, Rj,j+1 및 Rj-1,j 는 확산계수를 포함하는 항으로 이며, Qj,j+1은 구획 j에서 구획 j+1로의 흐름을 나타낸다. Cj,j+1은 구획 j와 구획 j+1의 경계면 농도를 의미하며, 가증인수 ν(0∼1)를 도입하면, Cj,j+1 = νCj+1 + (1-ν)Cj로 표현되므로, 구획 j에 구획 ⅰ가 연결되어 있고, 경계면을 ij라 하여 물질수지방정식을 정리하면, 다음과 같다. (1.12)

16. WASP6 (1)수질 요소들의 반응식 수 환경 내에서 영양 염류와 식물성 플랑크톤, 타소 화합물 및 용존 산소간의 이동과 상호 작용은 여러 가지의 물리적, 화학적 기작에 의해 발생 한다. (가) 식물성 플랑크톤의 반응식 WASP에서 식물성 플랑크톤은 다른 수질 항목들에 영향을 주며, 반응 기작의 중심적 역할을 한다고 가정하였다. 식물성 플랑크톤의 반응식은 다음과 같다

17. WASP6 여기서,

18. WASP6 • 식물성 플랑크톤의 성장률 은 다음 식과 같이 나타낸다.

19. WASP6 (나) 인의 반응식 인은 무기성 PO4 - P과 유기성 인에 대해 모델화 되었다. 무기인의 반응식은 다음 식과 같고, 유기인의 무기염화에 의한 증가항과, 식물성플랑크톤의 섭취와 비 용존성 부분의 침전에 의한 제거항으로 표현된다. 유기인의 무기염화는 이에 관여하는 미생물에 의해 일어나는데, 조류의 생체량이 증가할수록 그 양이 늘어난다는 가정 하에, 식물성 플랑크톤의 농도가 이의 계산에 이용된다. 유기인의 식의 반응식으로 표현되며, 조류의 사멸로 인한 증가와 무기염화와 유기물질의 침강에 의한 제거항으로 나타내었다.

20. WASP6 (다) 질소의 반응식 질소는 유기질소, 암모니아성 질소, 질산성 질소의 반응을 수식화 하였다. 질산성진소의 반응식은 암모니아성 질소의 질화 작용에 의한 증가항과 식물성 플랑크톤의 탈질 작용에 의한 거거항으로 구성되어 있다. 질화 작용과 탈질 작용 모두 용존 산소의 양에 영향을 받기 때문에 이를 고려하였으며, 식물성 플랑크톤도 성장을 위해 암모니아성 질소와 질산성 질소 양자 모두를 이용하므로, 이에 대한 선호도 역시 고려한다.

21. WASP6 암모니아성 질소의 반응식은 유기질소의 무기염화, 조류의 사멸에 의한 증가항, 조류의 성장에 의한 암모니아성 질소의 이용, 질산화에 의한 감소항으로 구성된다. 무기염화시 조류 농도의 영향을 고려하였다.

22. WASP6 C1 =암모니아 농도 C7 = 유기 질소 농도 K12 = 질산화율 K71 =유기질소의 무기염화율 유기질소의 반응식은 식물성 플랑크톤의 사멸에 의한 증가항, 무기염화와 침강에 의한 감소항으로 구성되었다 여기서, C4 = 식물성 플랑크톤 농도 C7 = 유기질소 농도 fD7 = 용존성 유기질소의 비율

23. WASP6 • (라)용존 산소 반응식 • 용존 산소의 반응에 관련되는 소질 요소는 식물성 플랑크톤 탄소, 암모니아성 질소, 질산성 질소, BOD, DO이다. 용존 산소는 수체 속의 호흡반응과 저질에서의 혐기성 반응에 의한 감소된다. • BOD방정식은 증가항으로는 식물성 플랑크톤의 사멸로 인한 BOD의 증가를 식물성 플랑크톤 사체 속의 산소와 탄소의 비를 고려하여 계산하였으며, 탄소 화합물의 산화에 의한 제거, 비 용존성 BOD의 침전에 의한 제거 그리고, 하층에서의 혐기성 상태일 경우 발생하는 탈질 작용에 대한 영향을 고려하였다.

24. WASP6 여기서, C5 = DO 농도 K1D = 조류의 사멸율 KD = 탈산소율 KBOD = 산소부족에 대한 반포화 상수 fD5 = 용존성 BOD의 비율 DO방정식은 재폭기 및 광합성에 의한 산소 공급항과 탄소 화합물의 산화에 의한 산소 소모량, 질화작용 시 요구되는 산소 및 식물성 플랑크톤의 호흡과 하상에서의 산소 용구량 등의 소멸항으로 구성되어 있다. 질소 화합물의 산화와 질화 작용은 모두 용존 산소의 양에 받기 때문에, 이를 고려하여 반응식을 구성되어 있다.

25. WASP6 • 여기서 K1R = 식물성 플랑크톤의 호흡률 • Ka = 재폭기율 • KBOD = 산소부족에 대한 반포화상수 • Cs = 포화 DO 농도 • 1.2 구획화 • 구획화는 부피와 상호교환 양이 알려진 ‘완전히 혼합된’ 여러 개의 박스로 생태계를 나누는 것을 말한다. 구획간의 상호교환은 구획간의 이송확산과 동일한 크기의 역류로 모사될 수 있다. 완전 혼합이라 가정하는 것은 시간과 공간에 대한 편미분방적식을 시간에 대한 상미분방정식으로 바꾸어 준다. 또한 이러한 방법으로 상호 연결된 구획의 수를 늘려 대략적으로 공간적인 정보를 복원할 수도 있다

26. WASP6 • WASP6는 단위 부피 혹은 segment를 확장한 집합으로 수체의 물리적 배치를 나타낸다. 수체는 대상 지역의 범위나 수리․수문학적인 특성에 따라 가로, 세로, 수직 방향으로 여러 개의 segment로 나눌 수 있는데, segment의 규모는 대상 수체의 공간적 규모와 시뮬레이션 기간 등에 따라 결정된다. 한 segment는 완전혼합으로 가정되어 segment 내에서는 온도, 빛, 유속, pH 등이 일정하다. • Segments는 수직적인 위치에 따라 surface/ subsurface/ upper benthic/ lowerbenthic segment로 세분화되고, 각각은 그림 1.3에서 1,2,3,4로 나타낼 수 있다.

27. 그림 1.3 Segment 모식도

28. WASP6 • 1.3 운송 • 이송에 의한 수체 이동은 직접 입자상 혹은 용존상 오염물의 운송(transport)을 조절한다. 또한 유속, 수심의 변화는 재포기, 휘발, 광분해 같은 화학적 반응에 영향을 줄 수도 있다. 그러므로 수질 모델링를 위해서는 우선 수체의 이송에 의한 이동을 표현하고 모의하는 과정이 필요하다. WASP6에서는 사용자가 모델 네트웍을 통해 시작점을 정한 각각의 흐름을 따른다. 여러 개의 흐름이 정해지면 segment 사이의 전체 흐름은 개별 흐름 함수의 합으로 인식된다. • 수리모델을 이용하지 않는 경우 유속(V), 유량(Q), 수심(D), 하폭(B) 사이의 관계는 다음 식을 이용한다.

29. WASP6 (1.13) (1.14) (1.15) • 여기서, 상수 a,b,c,d,e,f 는 수문 관측 자료로부터 산정되는 상수이다. • WASP6에서는 이렇게 계산된 수심, 유속은 휘발, 재포기율을 계산하는데 이용될 뿐 운송 영역에서 사용되지 않는다. • 확산(dispersion)에 의한 수체 교환은 호수, 저수지 같은 수체에서 용존, 입자상 오염물의 이동에 큰 영향을 끼친다. 강에서는 충격부하에 의한 최고 농도를 낮추고 희석하는데 중요하다. Segment ⅰ와 j 사이의 실제 교환은 다음과 같이 설명된다.

30. WASP6 • (1.16) • 여기서, • Mik = segment ⅰ에서의 화학물질 k의 질량, g • Cik, Cjk = segment ⅰ, j 안의 화학물질 k의 총 농도, mg/L • Eij(t) = 확산 계수 , m2/day • Aij = 경계면의 넓이, m2 • Lcij = segment 사이의 혼합 거리, m

31. WASP6 • 확산에 의한 공극수 교환은 퇴적물 부하가 낮은 수체와 비교적 용해도가 높은 화학물에 대해 하상의 오염 농도에 크게 영향을 줄 수 있다. 오염물의 용존 농도 경사에 따라 공극수 확산은 상층 수체의 오염물의 유입원이거나 제거원이 된다. 실제benthic segment ⅰ와 j 간의 확산 교환은 다음과 같다. • 여기서, • fDjk,fDik = segment ⅰ,j에서 화학물질의 용존 분율 • nij = ⅰ,j 계면에서의 평균 공극률, Lw/L • Eij(t) = 확산 계수 , m2/day • Lcij = segment 사이의 혼합 거리, m • Aij = 계면의 넓이, m2

32. WASP6 • 1.4 경계조건 • 모델 네트워크 외부로부터 교환이 일어나거나, 지류가 유입되거나, 유출되는 경우 boundary segments가 정해진다. WASP6는 사용자가 입력한 이류, 확산segment 쌍을 통해 boundary segments를 인식한다. • 경계농도(boundary concentration) CBik(mg/L)는 각각의 boundary segment ⅰ에서 대상 물질 k에 대해 정해야 한다. 이 농도는 시간에 따라 다양하게 입력할 수 있다. 상류(upstream) boundary segments에서 WASP6는 식(1.18)과 같이 질량 부하량을 적용한다.

33. WASP6 • (1.18) • 여기서, • SBik = segment ⅰ에서의 물질 k의 boundary loading rate response, g/m3 -day • Vi = boundary segment ⅰ의 부피, m3 • Q0i(t) = boundary segment ⅰ로의 유입 유량, m3/day • 하류(downstream) boundary segments에서 WASP6는 식(2.19)와 같이 질량 부하량을 적용한다.

34. WASP6 • (1.19) • 여기서, • Q0i(t) = boundary segment ⅰ로의 유입 유량, m3/day • Cik = segment ⅰ 에서의 물질 k의 내부 농도, mg/L • 교환이 있는 boundary segments에서 WASP6는 식(1.20)과 같이 질량 부하량을 적용한다. • 경계농도가 내부농도보다 높을 때 물질은 boundary segment로부터 유입되고, 반대의 경우 물질은 boundary segment로 손실된다.

35. WASP6 • 1.5 오염물 부하 • 오염물의 유입은 점오염원과 비점오염원으로 나누어 적용할 수 있다. 모두 • kg/day의 단위이며, 다음과 같이 정의된다. (1.21) • 여기서, • SLik = Loading rate response, g/m3-day • Lik = 부하량, kg/day

36. WASP6 • 1.6 화학물질의 거동 • TOXI는 화학물질 세 가지, 고형물질 세 가지를 다룰 수 있다. 대상 물질을 적용하는 과정에는 화학물질의 이송, 확산 및 몇 가지 물리․화학․생물학적 반응과 고형물질의 이송, 확산, 침전, 재부상 등 수체와 저니 사이에서 일어나는 이동이 포함된다. • TOXI는 화학물질이 겪을 수 있는 대부분의 물리, 화학, 생물학적 반응을 다룰 수 있다. 흡착, 이온화, 휘발, 가수분해, 광분해, 산화, 생분해와 여기서 언급되지 않은 여분의 반응도 사용자의 정의에 따라 다룰 수 있다. 가장 간단한 형태로 화학물질에 수체와 침전층 내에서의 이동과 화학물질의 전환, 고체로의 흡착을 적용할 수 있다. 이를 위해 1차 부패 상수(first-order decay constants)와 평형 분배계수(equilibrium partition coefficients)를 사용할 수 있는데, 조금 복잡하게는 2차 반응과 비선형 흡착 등온선이나 1차 흡착․탈착 속도 상수를 이용할 수도 있다.

37. WASP6 그림 1.4 완전혼합 수체에서 독성물질 수지의 개관

38. WASP6 • 가. 전환 • 휘발, 생분해, 가수분해, 산화, 광분해 등의 반응에 대해 각각의 일차반응 속도상수를 입력하면, 총 반응은 다음 식에 의해 각 개별 반응의 합에 기초하게 된다. (1.22) • 여기서, • Kki = 반응 k에 대한 화학물질 ⅰ의 1차 전환 상수, day-1

39. WASP6 • (1) 생분해 • 미생물에 의한 전환, 분해는 박테리아의 효소 시스템 안에서 화합물을 분해하는 것이다. • 생분해는 유기 화학물질에 대한 생물체의 효소 공격이라는 넓고 복잡한 과정을 포함한다. 박테리아와 적은 수의 조류는 지표수의 생분해에서 중요한 역할을 한다. • 생분해의 일반적인 두 가지 형식은 성장 물질대사(growth metabolism)와 공대사(cometabolism)로 알려져 있다. 성장 물질대사는 유기 화합물이 박테리아의 먹이로 쓰일 때 일어난다. 적응 기간은 2일에서 20일이다. 어떤 화학물질이나 환경에 오래 노출된 경우에는 적응 기간이 필요 없다. 분해자의 밀도가 낮으면 적응 기간이 길어진다. 분해자의 개체수에 생분해가 제한 받는 경우, 적응은 개체수가 많은 경우 빠르고 적은 경우 느려진다. 적응 이후 생분해는 빠른 1차 반응이다. 공대사는 유기 화학물질이 박테리아의 먹이가 되지 못할 때 일어난다. 적응은 거의 필요하지 않고 전환율은 성장 물질대사보다 느리다.

40. WASP6 • 독성 화학물질을 분해하는 박테리아 개체수의 성장 동역학은 잘 알려져 있지 않다. 경쟁 기질과 그 유기물을 분해하는 다른 박테리아의 존재, 화학물질에의 적응가능성 혹은 공대사는 개체수 변화를 정량화하기에 어렵다. 결과적으로 독성 화학물질모델은 직접적으로 박테리아를 모델링하기보다는 일정한 생물학적 활성을 가정한다. 때때로 다른 수계에서 측정된 1차 생분해 속도 상수가 직접 쓰이기도 한다. (1.23) • 여기서, Ki = 화학물질 ⅰ의 segment j에서의 1차 생분해 속도 상수, day-1 TOXI에서는 1차 생분해 속도 상수 대신 수체 혹은 저니에서의 반감기를 이용할 있다.

41. WASP6 (1.24) • 여기서, T1/2 = 반감기, days • 만일 이 속도 상수들이 유사한 조건에서 측정되었다면 이 일차적 접근은 좀 더 복잡한 접근법과 비슷한 수준으로 정확할 것이다. • 나. 평형 흡착 • (1) 흡착 반응의 기본 이론 • 흡착은 일반적으로 다른 반응에 비해 빠르게 일어나므로 평형이 가정된다. 적당한 농도(10-5M 미만이거나 용해도의 절반 미만)에서 흡착 평형은 용존 상태의 화학물질의 농도에 비례한다.

42. WASP6 (1.25) • 여기서, • KPS = 분배 계수(partition coefficient) • 평형상태에서 상간의 분포는 분배 계수 KPS에 의해 조절된다. 각 상에서 화학물질의 총 질량은 KPS와 존재하는 고체상(DOC상 포함)의 양에 의해 조절된다. • 식(1.25)는 순간적인 평형과 가역성이 가정될 때 사용 가능하다. • Water column과 benthic segments 안의 용존 화학물질은 고형물 입자와 용존유기탄소와 반응해 용존, DOC에 흡착, 고형물에 흡착(3가지 종류의 고형물)된 고체상의 5가지 상을 형성한다. 이 반응은 수체의 단위 부피에 대하여 기술될 수 있다.

43. WASP6 (1.26) (1.27) • 여기서, n은 공극률이다. • 정반응은 흡착이고 역반응은 탈착이다. 이들 반응은 일반적으로 빠르고 국부평형으로 고려될 수 있다. Cw와 Cs, CB는 평형 분배 계수 Kps0와 KpB(L/kg)에 의해 조절된다.

44. WASP6 • (1.28) • (1.29) • 이 식은 고형물과 DOC에 흡착될 수 있는 공간이 충분하다는 가정하에 선형 Freundlich 등온선으로 주어진다. (1.30) (1.31)

45. WASP6 • 화학물질의 총 농도는 다섯 가지 상 농도의 합이다. (1.32) • 위 두 식을 인수분해하고 용존 부분 fD로 나타내면 다음과 같다. (1.33) • 유사하게 고형물와 DOC에 흡착된 부분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

46. WASP6 (1.34) (1.35) • 이들 부분은 분배 계수, 내부적으로 계산된 공극률, 예측된 고형물 농도, 정해진 DOC의 농도로부터 모의 수행 동안 결정된다. 주어진 총농도와 다섯 상의 분율, 용존, 흡착, 생물흡착 농도는 다음과 같이 결정된다.

47. WASP6 (1.36) (1.37) (1.38) • 이들 다섯 가지 농도는 mg/L 단위이고 각 상 내에서의 농도로 표현될 수 있다. (1.39) (1.40) (1.41) • 이들 농도의 단위는 각각 mg/Lw, mg/kgs, mg/kgB이다.

48. WASP6 • (2) 분배 계수 계산 ․ Option 1 : 측정된 분배 계수 • 분배 계수를 직접 입력한다. 세 가지 고형물에 대해 각각의 분배 계수를 입력한다. 단위는 Lw/kgs이다. • ․ Option 2 : 유기탄소(organic carbon) 분배 계수 • 고형물의 유기탄소 함량으로 분배계수를 표준화한 것이 KOC(유기탄소분배 계수)인데, 그것은 다른 고형물의 특성이나 지리적인 기원에 대해 독립적이다. 많은 유기 오염물들은 비극성, 소수성 화합물로 이 화합물들의 분배 계수는 고형물의 유기물 분율과 관계가 깊다.평형계수를 실험치와 연결시킨 경험식을 제안했다.

49. WASP6 (1.43) (1.44) • 여기서, • Koc = 유기탄소 분배 계수, Lw/kgoc • focs = 고형물의 유기탄소 분율 • 1.0 = DOC의 유기탄소 분율 • ․ Option 3 : 유기탄소분배계수의 계산 • Koc와 화학물질의 용해도의 관계 혹은 화학물질의 옥탄올-물 분배계수는 물질의 분배를 추정하는데 화학물질의 소수성을 통합하는데 성공적인 예측 방법이다. • 만일 log Koc 값이 주어지지 않았다면, 옥탄올-물 분배계수 Kow(Lw/Loct)와의 관계에 따라 내부적으로 계산될 것이다.

50. WASP6 (1.44) • 여기서, a0와 a1 은 일반적으로 각각 log 0.6, 1.0 이며, Koc 값이 결정되면 분배계수계산 과정은 Option 2와 같다. • ․ Option 4 : 입자 반응 모형 • 분배계수는 흡착 대상 입자의 유기탄소 분율 뿐만 아니라 수많은 요인에 따라 결정된다. 이들 중에서 가장 근본적으로 중요하고 가장 논쟁거리가 될 만한 것은 입자의 농도 효과일텐데, 이것은 O'Connor와 Connolly(1980)가 처음 언급했다. • 실험에 기초해 O'connor와 Connolly는 분배계수가 역으로 고형물의 농도와 관계 있다는 결론을 내렸다. 많은 연구결과 이 발견은 증명되거나 반증되었다. 입자 반응 모형(particle interaction model)은 이 모델은 입자 농도의 효과를 표현한다. 이 모델은 다수의 흡착-탈착 관측 결과를 만족시킨다. 현재 이것은 실험식으로 인정받고 있다. 분배계수를 정의하는 식은 다음과 같다.