Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 10: Noções Básicas sobre Erros (4)

1. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 10 Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 10: Noções Básicas sobre Erros (4)

2. Erros de Arredondamento (1) • Quando se está utilizando um equipamento computacional para processar uma determinada operação aritmética, se o número obtido não pertencer às regiões de underflow ou de overflow e este não é representável exatamente no sistema de ponto flutuante SPF, o mesmo será representado de forma aproximada por nra. • Esta aproximação será caracterizada como um arredondamento do número real nr, para que sua representação seja possível no SPF.

3. Erros de Arredondamento (2) • Um número nr na base decimal foi arredondado na posição k se todos os dígitos de ordem maior que k forem descartados segundo o seguinte critério: • O dígito de ordem k é acrescido de uma unidade se o dígito de ordem (k + 1) for maior que a metade da base. Caso contrário, o número nr é representado com os k dígitos iniciais; • Se o dígito de ordem (k + 1) é exatamente a metade da base e o de ordem k é par, então o número nr é representado com k dígitos e, se o dígito de ordem k é ímpar, então o de ordem k é acrescido de uma unidade; e • O arredondamento por corte considera que, para obter um número com k dígitos, simplesmente trunca-se na posição k.

4. Erros de Arredondamento (3) • Exemplo 1: Considere um equipamento com o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (b, n, expmín, expmáx) = SPF (10, 4, –5, 5). • Se a = 0,5324 × 103 = e b = 0,4212 × 10−2, então a× b = 0,22424688 × 101, que é arredondado e armazenado como (a× b)a= 0,2242 × 101.

5. Erros de Arredondamento (4) • Exemplo 2: Considere um equipamento com o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (b, n, expmín, expmáx) = SPF (10, 4, –5, 5). • Se a = 0,5324 × 103 = e b = 0,1237 × 102, então a +b = 0,54477 × 103, que é arredondado e armazenado como (a+ b)a = 0,5448 × 103.

6. Erros Absoluto (1) • Define-se Erro Absoluto (Eabs) como se segue, onde aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o valor aproximado da mesma grandeza. • O valor exato de aex muitas vezes não é disponível, e a definição anterior fica sem sentido. • Assim, é necessário trabalhar-se com um limitante superior para o erro, ou seja, deve-se escrevê-lo na forma, • Em que εé um limitante conhecido.

7. Erros Absoluto (2) • A desigualdade anterior pode ser entendida da seguinte maneira, • Ou ainda, • Isto é, aaprox é o valor aproximado da grandeza aex com erro absoluto não superior a ε.

8. Erros Relativo (1) • Define-se Erro Relativo (Erel) como se segue, onde aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o valor aproximado da mesma grandeza. • O valor exato de aex muitas vezes não é disponível, e a definição anterior fica sem sentido. • Assim, é necessário trabalhar-se com um limitante superior para o erro, isto é, escrevê-lo na forma a seguir, • Em que δé um limitante conhecido.

9. Erros Relativo (2) • Pode-se observar que o erro relativo fornece mais informações sobre a qualidade do erro que se está cometendo num determinado cálculo, uma vez que no erro absoluto não é levada em consideração a ordem de grandeza do valor calculado, enquanto no erro relativo esta ordem é contemplada.

10. Erros Relativo (3) • Exemplo 3: Considere o valor exato aex = 2345,713 e o valor aproximado aaprox = 2345,000. • Então, • Eabs = 0,713 • Erel = 0,00030396. • Exemplo 4: Considere o valor exato aex = 1,713 e o valor aproximado aaprox = 1,000. • Então, • Eabs = 0,713 • Erel = 0,416229. • Obs.: • Nos exemplos acima, o erro absoluto é o mesmo, embora o erro cometido pela aproximação seja muito mais significativo no Exemplo 4. No Exemplo 1, o erro relativo é da ordem de 0.03%, e no Exemplo 2, é da ordem de 41,6%.

11. Erros Relativo (4) • Em geral, nos procedimentos numéricos gera-se uma sequencia de soluções aproximadas que convergem ou não para a solução desejada do problema. • Os erros absolutos e relativos serão usados como critério de parada nestas sequencias de aproximações. • O erro relativo é preferível, devido às observações nos exemplos anteriores.

12. Erros Relativo (5) • Exemplo 5: Para se resolver a equação a seguir, Pode-se utilizar o seguinte processo iterativo abaixo, • Assim, dado o valor x0, pode-se, por meio da expressão anterior, gerar a sequencia de soluções aproximadas x1, x2, ... • Dado que a propriedade de convergência da sequência de aproximações esteja estabelecida e uma tolerância pré-fixada ε foi definida para o cálculo de uma raiz da equação f(x) = 0, pode-se verificar se a sequência de aproximações atingiu a precisão anterior ε, realizando os seguintes testes a seguir,

13. Erros Relativo (6) • Se for verdade (forma absoluta), • Diz-se que xn+1 é a raiz da equação f(x) = 0 com tolerância ε; caso contrário, deve-se calcular outro elemento da sequência. • Se for verdadeiro (forma relativa), • Concluí-se que xn+1 é a raiz da equação com a tolerância ε e, em caso contrário, deve-se proceder ao cálculo do outro termo da sequência.

14. Erros de Truncamento (1) • Quando se representa uma função por meio de uma série infinita e, por limitações do sistema de armazenamento de dados do equipamento, considerando-se apenas um número finito de termos, diz-se que se está cometendo um Erro de Truncamento.

15. Erros de Truncamento (2) • Exemplo 6: Considerando a representação de uma função f(x) usando a Série de Taylor, nas vizinhanças do ponto , Onde é o valor da n-ésima derivada da função f(x) no ponto . • Quando se trunca a série no 3º termo, ou seja, considerando-se apenas os termos até a derivada de ordem 2, na expressão anterior, tem-se um erro cometido nessa aproximação, como segue,

16. Erros de Truncamento (3) • Exemplo 7: Considerando o desenvolvimento de f(x) = ex em Série de Taylor, ou seja, ou de forma compacta, • Supondo que o equipamento utilizado para trabalhar numericamente com a série seja capaz de armazenar somente dados referentes aos 4 primeiros termos, ou seja,

17. Erros de Truncamento (4) • Neste caso, são desprezados todos os termos de potência maiores que 4, ou seja, trunca-se a série no termo de potência de ordem 3. • Destacando-se os quatro primeiros termos da série, pode-se escrevê-la da seguinte forma, • Supondo que se deseja calcular o valor de ex para x = 2 usando apenas os quatro primeiros termos da série, ou seja a série truncada. • Neste caso, tem-se e2 = 6,33333, que é um valor com erro absoluto bem significativo quando comparado com e2 = 7,38906 obtido numa calculadora científica que armazena uma quantidade maior de termos da série.

18. Propagação de Erros (1) • Quando se desenvolve um processo numérico para buscar a solução de um determinado problema, o processamento envolve um número grande de operações primitivas ou elementares. • Na maioria das vezes o erro cometido em uma operação isolada pode não ser muito significativo para a solução do problema, mas é necessário analisar como os erros se propagam quando há muitas operações no processamento. • É necessário ter conhecimento da forma com que os erros estão se propagando, ou seja, caso estejam acumulando a uma taxa crescente, diz-se que o erro é ilimitado, e a sequencia de operações é considerada instável; e • Se os erros estão se acumulando a uma taxa decrescente, diz-se que o erro é limitado e a sequencia de operações é estável.

19. Propagação de Erros (2) Erros Ilimitados e Erros Limitados.

20. Propagação de Erros (3) • Exemplo 8: Usando-se aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base decimal e arredondamento por corte, calcular o valor da seguinte soma, • Para i = 1, na aritmética definida, realiza-se inicialmente a operação que resulta no seguinte valor aproximado • Calculando o erro absoluto, tem-se que • Eabs1 = | 4,03569 – 4,034 | = 0,00169 = 0,169 × 10-2

21. Propagação de Erros (4) • Para i = 2, na aritmética definida, realiza-se a operação que resulta no seguinte valor aproximado • Calculando o erro absoluto, tem-se que • Eabs2 = | 8,06978 – 8,068 | = 0,00178 = 0,178 × 10-2 • Observar que ao se realizar a mesma operação de adição por duas vezes, comete-se um erro absoluto maior.

22. Propagação de Erros (5) • Para i = 3, na aritmética definida, realiza-se a operação que resulta no seguinte valor aproximado • Calculando o erro absoluto, tem-se que • Eabs3 = | 12,10467 – 12,10 | = 0,00467 = 0,467 × 10-2 • Para i = 4, obtém o seguinte valor aproximado • Calculando o erro absoluto, tem-se que • Eabs4 = | 16,1395 – 16,13 | = 0,0095 = 0,95 × 10-2

23. Propagação de Erros (6) • Como se pode observar, na medida em que se aumenta o número de parcelas na operação de adição, considerando a aritmética definida anteriormente, aumenta-se também o erro absoluto cometido na soma final. • Desta forma, a sequência de operações pode-se tornar instável, conforme o gráfico abaixo.

24. Propagação de Erros (7) • Exemplo 9: Para se resolver a equação a seguir, pode-se utilizar o seguinte processo iterativo abaixo, • Neste procedimento, em cada iteração estão envolvidas as operações de adição e multiplicação, que são repetidas até que se calcule o valor aproximado de xn para a solução da equação com uma precisão ε desejada. • Se o valor final xn está sujeito a um determinado tipo de erro, a cada iteração realizada este erro pode se propagar ao longo do processo.

25. Propagação de Erros (8) • Se o valor final xn está sujeito a um determinado tipo de erro, a cada iteração realizada este erro pode se propagar ao longo do processo. • Se este procedimento convergir para a solução da equação, apesar dos erros cometidos, tem-se que a sequencia de operações se torna estável, conforme o gráfico abaixo.