単位名 学部 : 天体輻射論 I 大学院：恒星物理学特論 IV 教官名 中田 好一

1. F：　エディントン近似 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２００６年１１月１３日　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 単位名 　　学部　 :天体輻射論I 　　大学院：恒星物理学特論IV 教官名中田　好一 授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。 成績は「レポート＋出欠」でつけます。 授業の内容は下のHPに掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html

2. Ｆ．１．平面大気 全ての物理量ＡがＸ軸に垂直な平面内で一定と仮定する。　Ａ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝Ａ（Ｘ） 　（１）　ーＸ軸方向（上向き）の輻射強度 Ｉ に対する方程式は、ｄＩ/ｄｘ＝κＩ－ε 　（２）　Ｘ軸に角度θを成す直線(μ＝cosθ)に沿って、輻射方程式を考える。 Iλ (μ,τλ=0) τλ＝０ Ｙ Ｚ ｔ τλ Ｘ θ Iλ (μ,τλ) 直線に沿っての長さを ｔ とすると、ｄＩ/ｄｔ＝ κＩ－εｄ ｌ となる。 ｄｔ と Ｘ軸に沿っての深さｄＸとの関係は、ｄt＝ｄｘ／μ なので、書き直して μdI(μ,x)/dx＝I(μ,x)κ(x)－ε(x)

3. 形式解 μdI(μ,x)/dx＝I(μ,x)κ(x)－ε(x)　：以下 Ｉλ 、κλ等を Ｉ、κと省略する 　ｄτ＝κｄＸ　とおいて、 μdI / dτ＝I－S dτは光線に沿っての光学的深さでなく、Ｘ軸に沿っての光学的深さ、に注意。 光学的深さ＝τの点で、Ｘ軸に対し角度θの輻射 I(τ,μ) は下のように 与えられる。 ｔ＝０ μ>0：I(τ,μ)=∫∞τS(t)exp[－(t－τ)/μ]dt/μ =eτ/μ∫∞τS(t,λ)e－t/μdt/μ μ>0 μ<0：I(τ,μ)= －∫τ0S(t,λ)exp[ (τ－t)/μ]dt/μ = －eτ/μ∫τ0 S(t,λ) e－t/μdt /μ =∫τ0 S(t,λ) e－(τ－t) / (－μ) dt / (－μ) τ μ<0 ｔ

4. τo 表面からの輻射強度 表面から角度θで出る輻射Ｉの解は下のように与えられる。 I(τ=0 、μ) = (1/μ)∫∞0 S(τ) exp(－τ/μ) dτ 上式を見るとＳをSource Function と呼ぶことが納得される。 S(τλ)＝Ｓ＝一定（０<τ<τo）のスラブ表面での Ｉ(τ=0 , μ)を計算すると、 I(τ=0 , μ) =(1/μ)∫τo0S exp( -τ/μ) dτ 　　　　　　　＝　S[1－exp(－τo /μ) ] θ I(τ=0 , μ) S(τ）

5. 線形大気の表面輻射強度 θ τ＝０ τ＝μ＝ｃｏｓθ τ＝１ S(τ)= a + bτ I(τ=0 ,μ>0) = (1/μ)∫∞0S(t)exp( ‐t/μ) dt 　　　　　　＝(1/μ)∫∞0(ａ＋ｂt)exp( ‐t/μ) dt 　 ＝ (1/μ)[ a∫∞0 exp(‐t /μ) dt + b∫∞0 t exp(‐t /μ) dt] ＝ a+ bμ= S(τ=μ)　　　　（μ＞０） I(τ=0 ,μ<0) = 0 （μ＜０） 下図で光線に沿ったτ＝１に注意

6. リム・ダークニング ( limb darkening )と表面輻射強度 θ α０ Ｉ（θ） α １ 天体表面で輻射強度が鉛直方向からの角度θにより、 Ｉ（cosθ）で表されるとする。レポート問題１．１でやった 通り、Ｉ（cosθ）は星の表面輝度分布Ｆ（α）に反映される。 上の図で なので、 逆に、Ｆ（α）が求まったら、 ２ ところで、表面輝度分布Ｉ（cosθ）は源泉関数Ｓ（τ）と関係している。 仮に、Ｓ（τ）＝a+b・τ＋ｃ・τ２＋．．．と展開されたとすると、

7. θ ここでも逆に Ｉ(cosθ) からＳ（τ）を以下のように求められる。 Ｉ(cosθ)＝Ａ＋Ｂ・cosθ＋Ｃ・cos２θ＋．．． なら、 Ｓ（τ）＝Ａ＋Ｂ・τ＋（Ｃ/２）・τ２＋(D/6)・τ３＋．．． τ S(τ) ３ 恒星大気内でＬＴＥが成立していると、源泉関数Ｓ（τν）＝Ｂ（Ｔ, ν） から、τνの深さでの温度が決まる。 結局、星の表面の輝度分布がある波長（周波数）で決まると、大気内の温度変化がその波長での光学的深さの関数Ｔ（τν）として求まることが判った。

8. ４ 前頁の変換をグラフで示すと下図の ようになる。 Ｔ（τν）を逆に表現すると、ある周波数（波長）での光学的深さτνが温度Ｔの関数τν（Ｔ）として 表される。が このプロセスを二つの波長λ１と λ２で繰り返して、τ１（Ｔ）と τ２（Ｔ）を得た。 I(α） I(θ） ５ これは、同じ温度Ｔの地点までの 光学的深さが波長によって異な るためである。したがって、各波 長での吸収係数をｋ１、ｋ２とする と、 １ ０ １ cosθ １ sinθ

9. 線形大気のフラックス 　　Ｆλ＝∫μIλ(μ,τ=0)ｄΩ＝ 2π∫１0μ( aλ+ bλμ)dμ=２π(aλ/2 +bλ/3) Source Function Sλ (τ)=aλ+bλτ　だったから、 Ｆλ＝π[aλ+(2/3)bλ]=πSλ(τλ=2/3)　である。 　温度Ｔの黒体表面からのフラックスがπＢλ(T),ここにＢλ(Ｔ)は輻射強度、 　だったことを考えると、線形大気では、τλ＝２/３の深さの所を見て 　いると言える。 Ｉ（τ＝０） ａ ０ τλ＝０ 1/３ τλ＝μ＝ｃｏｓθ S(τ＝２/３) ２/３ １ S τλ＝１ ａ＋ｂ ａ＋ｂμ

10. Ｆ．２． モーメント方程式 ｎ I(x,θ,φ）＝ I(x,θ）　輻射が軸対称の時、μ＝cosθとして、 Ｎ次モメント　MＮ　を以下のように定義する。 Ω ＭＮ（x, λ）＝(1/4π)∫(cosθ)Ｎ　I (θ, x, λ) dΩ 　　　　　　　＝(1/4π) ∫∫ (cosθ)Ｎ　I (θ, x,λ) (sinθ) dφdθ 　　　　　　　＝(1/2)∫μＮ I (μ, x, λ)dμ θ ０次モーメント　　Ｍ0（x,λ）＝(1/4π)∫I (μ, x, λ) dΩ 　 　　　　　　　　　　　＝ (1/2)∫I (μ, x, λ) dμ = J （x,λ）＝平均輻射強度(mean intensity) Ｘ １次モーメント Ｍ1（x,λ）＝(1/4π)∫cosθI(θ,x,λ) dΩ ＝ (1/2)∫μI(μ, x,λ) dμ = H（x,λ） ＝∫ cosθ I (θ,x,λ) dΩ　 　　 　 　 ＝2π∫μI(μ, x,λ) dμ＝ 4πH ( x, λ) エネルギーフラックスF（n, x ,λ)

11. ２次モーメント Ｍ2（x,λ）=(1/4π)∫ (cosθ)2I(cosθ, x,λ) dΩ = (1/2)∫μ2 I(μ, x,λ)dμ =K （x,λ） 光圧力 P(ν) = (4π/c)K(ν) 斜め方向の輻射方程式 Iλ (μ,τλ=0) Ｘ軸に沿って光学的深さτを定める。μ方向の光線に沿っては、 τλ＝０ (表面) ｔ θ ｄｔ＝ｄX/μ ｄτ＝κｄX　　　なので、 Ｘ Iλ (μ,τλ) τ

12. μdI/dτ＝I－S ( i ) 両辺をdΩ/4πで積分する。 ∫[μdI/dτ]dΩ/4π＝∫IdΩ/4π－ ∫ＳdΩ/4π = d[∫μIdΩ/4π]/dτ dＨλ/dτλ= Jλ– Sλ (ii) 両辺にμをかけてdΩ/4πで積分 d[∫μ2IdΩ/4π]/dτ 　＝∫μIdΩ/4π－∫μSdΩ/4π 　　　∫1-1μdμ=0 に注意すると、 dK λ/dτλ= Hλ

13. Ｆ.３. エディントン近似 （Eddington approximation） μdI/dτ＝I－S　　（平面近似） 　　　　モーメント方程式 × ∫dΩ/4π　　　： × ∫μdΩ/4π　：　 この系列はμ2 μ3 と上げても閉じない。式の数＜変数の数 モーメント方程式をどこかでむりやり閉じる必要。  　　　エディントン近似　　　 エディントン近似が正確に成り立つ例 （i) 完全等方輻射 I(Ω)=Ioの場合 J=Io, Ｋ＝(1/2)∫1-1Ioμ2dμ=Io/3 =J/ 3

14. (ii) I(τ,λ,μ)=Io(λ)+I1(λ)μ θ Jλ=(1/2)∫1-1I dμ=(1/2)∫1-1(Io+I1μ)dμ=Io(λ) Hλ=(1/2)∫1-1Iμdμ=(1/2)∫1-1(Io+I1μ)μdμ＝(1/3)I1(λ) Kλ=(1/2)∫1-1Iμ2dμ=(1/2)∫1-1(Io+I1μ)μ2dμ=(1/3)Io(λ) I+ (iii) I(τ,λ,μ)= I+(λ) μ>0 = I‐(λ) μ<0 I‐ J=(I+ + I‐)/2 H=[I+ /2 – I‐/2]/2=(I+ – I‐)/4 K=[I+ /3+ I‐ /3]/2=J/3 ４Ｈ

15. Ｆ．４．Rossland mean opacity κR を全波長積分、Ｋ＝∫Ｋλｄλ、Ｈ＝∫Ｈλｄλ、に対する式に変換したい。 のようにならないか？ Ｋλ＝Jλ／３＝(1/3) Ｂλ(T)とすると、　（エディントン近似、局所熱平衡仮定） なので上の要求は、 にしたいということである。 を考えると可能である。 それは、

16. したがって、 次のような、平均κを考えると、 つまり 以下のように初めの要求が達成される。

17. Bi Fi ∝ΔBi(T) /κi Bi＋ΔBi κＲの意味 κＲに効くのは、κiが小さい所とΔBiが大きい所でκiが大きい所は効かない。 Ｆ∝∑ΔBi /κi＝ΔB /κＲ

18. Ｆ.５. 恒星大気のエディントンモデル （１） （２） 仮定:（a）∫Jλκλdλ＝∫ελdλ ：輻射平衡 ( Radiative Equilibrium) 　この仮定は（１）を とすると分かるように、総フラックスＨ＝一定　を意味する。 これは、大気中では新しいエネルギー発生（核反応）が起きていないからである。

19. 仮定（b） Ｊλ(x)＝ Bλ(T(x)) 仮定（c ）Kλ(x)=(1/3)Jλ(x) 　　 ：エディントン近似 ∫Hλｄλ＝Ｈ,　 ∫Kλｄλ＝K とする。 （１）式は仮定（ａ）によって、 　　　　　　　　　Ｈ(ｘ)＝Ｈｏ　　　　　　　（３）　 （２）式から、　 で定義されるκR＝Rosseland mean pacityを使うと （４）

20. 平均光学深さτRを τR=∫ρ(x)κR(x)dx と定義すると、（３）、（４）から H(τR)=Ho＝一定 K(τR)=τRＨo+ C　　　　　Ｃ＝積分定数で後で決める。 J(τR)＝S(τR)=B(τR)=３・K(τＲ)=3(HoτR+C)＝(σ/π)T4 (τR) 　　Ｓ＝3C+3・Ho・τは、ａ＋ｂτの形なので、線形大気の結果が適用 　　できる。 S=a+bτの大気では、Ｆ＝π・S(τ＝2/3) ＝π・（３・Ｃ＋２・Ｈｏ） Ｈの定義から、Ｆ＝４πＨ＝４πＨ０　　　　　　　　　　　　　　　　であるから、 Ｃ＝（2/3）Ho したがって、 Ｂ（τＲ）＝３・[（2/3）Ho+Ho・τＲ]＝３・Ｈｏ・[τR+(2/3)]=(σ/π)・Ｔ４

21. ここまでの結果は、エディントン近似モデルの　(iii) I(τ)= I+ (τ)μ>0 = I‐ (τ)μ<0 でも考えられる。 H(τ)=Ho＝一定＝(I+ – I‐)/4 K(τ)=τＨo+ C＝(I+ + I‐)/６　を解いて、 I+ (τ) ＝２Ｈ(τ)＋３K(τ)=２ Ho ＋３(τＨo+ C) I‐(τ)＝３(τＨo+ C)－ ２ Ho 仮定 ： 表面τ＝０で、Ｉ＝Io (μ＞０) ＝0 (μ＜０) とすると、Ｃ＝(２/３)Ｈo , Io=4Ho H(τ)=Ho＝一定 K(τ)=τＨo+ (２/３)Ｈo ＝Ｈo (τ+ ２/３) で、前ページと同じになる。

22. τ＝０ Io 4Ho 4Ho エディントン近似モデル(iii) 4Ho

23. 有効温度　Ｔｅ エディントンモデルに入るパラメターはＨｏだけである。 パラメターＨｏを温度で表現する為、Ｆ＝ 4πＨｏ ＝σＴe４　で有効温度　Ｔｅ　 を導入する。すると、 Ｈｏ＝σＴe４／４π J(τ)＝S(τ)=B(τ)=(３σＴe４／４π) (τ+2/3)＝(σ/π)T4 (τ) 表面(τ＝０)温度 To はＴｅよりやや低く、　 To4 =(1/2)Te4、(To=0.84Te) また、　T(τ=2/3)＝Ｔｅ　 ここにも、τ=2/3　が現れている。

24. 0 2/3 1 2 3 τ 0 2/3 1 2 3 τ Ｊ，Ｈ，Ｋのτによる変化 温度Ｔのτによる変化 ４H １.５ J ３H K Te To ２H H H 表面

25. Ｆ.６.　黒体輻射スペクトルからのずれ エディントン大気からの総フラックスＦは、 Ｆ＝σTe4 であることが分かった。ここにTeは、ロスランド平均光学的深さτＲ＝2/3のところでの大気温度である。 もし、全波長でκλ＝κ0=一定（グレイ）であったら、全波長でτλ＝τＲである。したがってτλ＝2/3になる深さはτＲと共通で、温度はTeである。 グレイ大気からのフラックスは Ｆλ＝πＢ(Te) この大気のスペクトルは温度Teの黒体輻射スペクトルとなる。 通常は波長毎にκλが異なるから、τλ＝κλ・Ｌλ＝2/3 となる深さＬλが、 したがって波長毎に覗き込む温度Ｔ（Ｌλ）が異なる。このために波長毎に異な る温度の黒体フラックスが出る。これが、星からのスペクトルが黒体輻射スペ クトルと異なる原因である。

26. κλが一定 κλが波長で変化 κ κ λ λ τλ＝０ τλ＝０ Ｔ０ Ｔ１ Ｔ２ τR＝2/3 τλ＝2/3 λ τλ＝2/3 λ Ｆλ Ｆλ πＢλ（Ｔｅ） λ λ

27. Ｆλ＝π・Ｂλ[Ｔ（τλ=2/3）]　なので、　Ｔ（τλ=2/3）を決める必要がある。Ｆλ＝π・Ｂλ[Ｔ（τλ=2/3）]　なので、　Ｔ（τλ=2/3）を決める必要がある。 大気中の温度はロスランド平均光学的深さτＲにより、 で与えられる。したがって、Ｔ（τλ=2/3）をＴ（τＲ）で表せばよい。 右図から分かるように なので、 Ｌ τλ＝κλ・Ｌ τＲ＝κＲ・Ｌ この式にτλ＝2/3を代入して これをさらに２行目のＴ（τＲ）の式に代入して 結局 κλ＝ κＲＦλ＝πＢλ [Te] κλ< κＲ Ｆλ＝πＢλ [T>Te] κλ> κＲ Ｆλ＝πＢλ [T<Te] ただし、

28. Ｆ．７．温室効果 地球表面の温度は基本的には、 　　　太陽輻射による熱流入（主に可視域）＝地表からの熱放射（主に赤外域） で決まる。 Ｆ（λ） 太陽　　　　　　　　　地球 λ 可視 赤外 F σＴｇ４ 地表 この時の熱平衡の式は、地表温度＝Ｔｇとおくと、 　　　Ｆ（太陽）＝σＴｇ４　である。

29. （１）単層モデル 地球表面は赤外で不透明な（τ＞１）大気に覆われている。 すると輻射の収支は前図から下図のように修正される。 　　Ｔａ＝大気温度、　Ｔｇ＝地表温度、　Ａ＝可視光反射率　である。 Ｆ（λ） 太陽　　　　　　　　　地球 λ Fo A・Fo (1- A)・Fo 可視 赤外 大気　　　Ta (1- A)・Fo 2(1- A)・Fo 地表　　　Tg

30. 単層モデルの仮定 　１）大気は一様な温度Ｔａを持つ。　　　２）太陽光は可視、地上からは赤外のみ放射 　３）大気は可視で透明、赤外は不透明で黒体　　　４）可視太陽光の地表反射率＝Ａ To=太陽有効温度＝５７８０Ｋ、　Ｒｏ＝太陽半径、　　Ｄ＝１ＡＵ＝２１５Ｒｏ Fo=σTo4(Ro/D)2：　太陽から地上に向かう総フラックス（真上からとして） σTa4＝大気から上方向、宇宙空間への赤外放射＝下方向、地表への赤外放　　　　　　 σTg4＝ 地表から大気への赤外放射 なので、 Fo=σTa4＋ＡＦo　　：大気の上での輻射収支 　Ｆo＋ σTa4＝ σTg4＋ＡＦo　　：大気と地表の間での輻射収支 太陽 Fo Fo=σTa4＋ＡＦo σTa4 AFo 大気 σTa4 Fo σTg4 AFo 　Ｆo＋ σTa4＝ σTg4＋ＡＦo 大地

31. 　（１－A)Ｆo＝σTa4 σTg4＝２σTa4 太陽表面でのフラックス＝σTo４、　太陽半径＝Ro、　地球太陽距離＝D とおくと、 Fo=σTo４（Ro/D)２であるから、上の式に代入すると、 Ｔａ＝ To(Ro/D)1/2 (1-A) 1/4,　Ｔｇ＝２ 1/4Ｔａ 　　Ａ　　　　０．１　　　　０．３　　　　　０．５　　　　　０．７　　　　０．８　　　０．８５　　０．９ 　　Ｔａ　　　３８４　　　　３６０　　　 　　３３１　 　２９２　　　　２６４　　　２４５　　　２２２ 　　Ｔｇ　　　４５５　　　　４２８　　　　　３９４　　　　　３４７　　　　３１３　　　２９２　　　２６３ このように、大気が毛布の役をするので地上温度は大気の1割以上高温 となる。 単層モデルでのTgとTaとの関係が、エディントン大気でのTeとToとの関係と同じであるのは面白い。

32. レポート問題Ｆ　　　　　出題１１月１３日　　　　提出１１月２０日レポート問題Ｆ　　　　　出題１１月１３日　　　　提出１１月２０日 　　　　　　　　レポートには、問題番号、学生証番号、学科、学年、氏名を書くこと。 次ページの表は太陽表面の輝度分布である。表を見ると分かるように、表面輝度は中央から縁に向かって低下する。これを太陽のリムダークニングと呼ぶ。 Ｆ．１ λ＝0.3737μｍのＩ（α）を横軸α/α０、縦軸Ｉ（W/m2/μm)のグラフにせよ。 　　次に与えられた表のαをcosθに直し、横軸cosθ、縦軸Ｉ（W/m2/μm)のグラ 　　フにせよ。 Ｆ．２． 　　Ｉ（cosθ）をa+b×cosθで近似するaとｂを定めよ。 Ｆ．３． 　　他波長についても　Ｉλ（cosθ）=aλ+bλ×cosθ　で近似し、全８波長に対し aλと bλを求めよ。 Ｆ．４． 　　Ｆ３より、Ｓ（τλ）＝aλ+bλ×τλ だが、ＬＴＥを仮定すると、 　　Ｓ（τλ）＝Ｂ（λ、Ｔ）なので、 　　Ｂ（λ、Ｔ）＝aλ+bλ×τλ θ Ｉ（θ） α０ α

33. Ｆ．４．（続き） 　　この式は、波長λでの光学的深さがτλの所での温度がＴという意味である。 　　したがって、大気内で温度Ｔの地点までの光学的深さτλ（波長毎に異なる） 　　を定める式と読み替えられる。 　　Ｔ＝６０００Ｋまでの光学的深さτλ（Ｔ＝６０００Ｋ）を８波長に対して求め表とグラ 　　フで表せ。グラフの横軸は波長λ（μｍ）、縦軸はlog10τλとする。 　　大気内、Ｔ＝６０００Ｋまでの幾何学的深さをＬとすると、τλ＝<κλ>Ｌ、よって 　　グラフは平均吸収係数の相対的変化を表している。 κλのピークと谷は何を表していると思うか？ 　　黒体輻射の輻射強度は、下の式を使え。Ｔ４＝（Ｔ/１０４Ｋ）である。

34. λ（μｍ） α 0.3737 0.4260 0.5010 0.6990 0.0 4.198E+07 4.476E+07 4.022E+07 2.473E+07 2.0 4.173E+07 4.452E+07 4.003E+07 2.465E+07 4.0 4.096E+07 4.380E+07 3.944E+07 2.441E+07 6.0 3.962E+07 4.253E+07 3.841E+07 2.398E+07 8.0 3.761E+07 4.061E+07 3.686E+07 2.331E+07 10.0 3.476E+07 3.784E+07 3.461E+07 2.232E+07 12.0 3.068E+07 3.381E+07 3.135E+07 2.084E+07 14.0 2.440E+07 2.744E+07 2.621E+07 1.840E+07 16.0 6.027E+06 7.875E+06 1.045E+07 1.032E+07 太陽表面での８つの 波長の輝度分布。 α＝太陽中央から 　　　の角距離（分） 太陽半径＝１６分角 輝度　Ｉλの単位は 　　　Ｗ/ｍ２/μｍ λ（μｍ） α 0.8660 1.2250 1.6550 2.0970 0.0 1.547E+07 7.692E+06 3.595E+06 1.598E+06 2.0 1.543E+07 7.678E+06 3.590E+06 1.596E+06 4.0 1.531E+07 7.633E+06 3.576E+06 1.591E+06 6.0 1.510E+07 7.552E+06 3.549E+06 1.581E+06 8.0 1.476E+07 7.425E+06 3.507E+06 1.565E+06 10.0 1.426E+07 7.230E+06 3.441E+06 1.539E+06 12.0 1.351E+07 6.928E+06 3.337E+06 1.499E+06 14.0 1.224E+07 6.412E+06 3.153E+06 1.426E+06 16.0 7.969E+06 4.596E+06 2.482E+06 1.160E+06 16′ α