بسم الله الرحمن الرحیم

1. بسم الله الرحمن الرحیم

2. موضوع : آخرین قضیه فرما (حدس فرما)

3. پیِر فرما ریاضیدان فرانسوی قرن 17 میلادی که بسیاری او را پدر نظریه جدید اعداد به حساب می آورند،عادتی غریب و نامتناسب با این نقش داشت.شخصاً یافته هایش را بسیار کم منتشر می کرد و ترجیح می داد آنها را در نامه هایی خطاب به دوستانش مطرح کند یا به صورت یادداشتهایی برای خود محفوظ دارد. فرما اغلب قضایای خود را بدون ذکر برهان بیان می کرد،و بدین ترتیب تهیه براهین آنها را به عهده ریاضیدانان بعدی می گذاشت.

4. غیر ممکن است مکعبی را به صورت مجموع دو مکعب ، توان چهارمی را به صورت مجموع دو توان چهارم ،و به طور کلی هر توانی فراتر از توان دوم را به صورت مجموعی از دو توان مشابه نوشت. اگرn>2 ،آنگاه معادله دیوفانتی xn+yn=znزیر به جز جواب های بدیهی، یعنی جوابهایی که در آنها حداقل یکی از متغیرها صفر باشد، جوابی در اعداد صحیح ندارد. حدس فرما :

5. فرمادر حاشیه کتابی نوشته بود که اثبات این قضیه را در ذهن دارد ولی جای کافی برای نوشتن در اختیار ندارد. این قضیه تا 1994 حل‌نشده باقی مانده بود. اندرو وایلز استاد دانشگاه پرینستون در سال 1993 با استفاده از نظریه اعداد پیشرفته اثباتی برای این قضیه ارائه کرد که دارای مشکلی بود ولی در سپتامبر 1994 اشکال این راه حل توسط خود وایلز و با همکاری یکی از شاگردانش به نام ریچارد تیلر برطرف شد.

6. تعریف:سهتایی فیثاغورسی مجموعه ای از سه عدد صحیح x ،y وz است به طوریکه x²+y²=z². چنین سه تایی اولیه نامیده می شود اگر gcd(x,y,z)=1 • z=2n²+2n+1وy=2n²+2nوx=2n+1 که در آنn عدد صحیح مثبت دلخواهی است تعدادی نا متناهی از مثلث های قائم الزاویه با اضلاع صحیح ولی نه همه ی آنها را بدست می دهد. • کافیست تلاش خود را فقط صرف تعیین همه سه تایی های اولیه کنیم،زیرا هر سه تایی فیثاغورثی از ضرب سه تایی اولیه ای در عدد صحیح ناصفر مناسبی به دست می آید. سهتایی های فیثاغورسی :

7. لم 1 : اگر x,y,zسه تایی اولیه ای باشند آنگاه یکی از اعداد x یا y فرد و دیگری زوج است. • لم 2 : اگر gcd(a,b)=1و ab=cn ، آنگاه هر یک از a وb به صورت توان n ام است یعنی وجود دارند a1 و b1 به طوریکه b=b1n،a=a1n . • با این مقدمات،اکنون رده بندی همه سه تایی های اولیه را آغاز می کنیم.

8. همه ی جوابهای معادله فیثاغورسی x²+y²=z² که در شرط های gcd(x,y,z)=1 ,2|x ,z>0,y>0x>0 , صدق کنند، از فرمول های x=2st ، y=s²-t² ، z=s²+t² نتیجه می شوند که در آنها sو t عددهای صحیح اند، s>t>0،gcd(s,t)=1 و s و tبه پیمانه 2همنهشت نیستند. قضیه :

9. برهان : فرض می کنیمz,y,z سه تایی فیثاغورسی اولیه مثبتی باشد.چون توافق کرده ایم x را زوج و y و z را فرد بگیریم، z-yو z+yعددهای صحیح زوجی هستند،مثلاً z-y=2uو z+y=2v. داریم: x2+y2=z2 z-y)(z+y))=x²=z²-y² بنابراین می دانیم u و v متباین هستند(؟). حال با استفاده از لم 2 نتیجه می گیریم که uوv مربع کامل هستند بنابراین: u=t² و v=s² کهs و t عددهای صحیح مثبتی هستند.

10. z=u+v=s²+t² y=v-u=s²-t² x=4uv=4S2t2 x=2st چون هر عامل مشترک s و t هر دوی y و z را می شمارد،از شرطgcd(y,z)=1 نتیجه می شود gcd(s,t)=1 همچنینs و t یکی زوج و دیگری فرد است (؟). • بر عکس :فرض می کنیم دو عدد صحیح sو tمقید به شرط های توضیف شده در فوق باشند. نشان می دهیم x=2st ، y=s²-t² ، z=s²+t²تشکیل یک سهتایی فیثاغورسی اولیه می دهند.(؟) ادامه برهان قضیه :

11. برخی از سه تایی های فیثاغورسی اولیه

12. قضیه : طول شعاع دایره محاطی مثلث فیثاغورسی همواره عددی صحیح است. • برهان : rطول شعاع دایره محاطی است. مساحت مثلث برابر است با مجموع مساحتهای سه مثلثی که مرکز دایره راس آنهاست ½ xy= ½ rx + ½ ry + ½ r z = ½ r(x+y+z) مثلث فیثاغورسی با طول اضلاع صحیح : z x • r y

13. با توجه به قضیه قبل x=2kst,y=k(s²-t²), z=k(s²+t²).با جایگذاری این مقادیر داریم xy=r(x+y+z) و با حل معادله نسبت به r داریم در نتیجه r=kt(s-t)که عددی صحیح است ادامه برهان :

14. میدانیم که ممکن است مثلث های فیثاغورسی متفاوتی مساحت برابر داشته باشند. برای مثال مساحت دو مثلث (20،21،29) و (12،35،57) برابر 210 است.فرما در این باره حکم زیر را ثابت کرد : به ازای هر عدد صحیح n>1 ، n مثلث فیثاغورس با وترهای متفاوت و مساحتهای یکسان وجود دارد. نکته جالب :

15. تنها حالتی از حدس فرما که خود فرما اثباتی برای آن ارائه کرد برای n=4 بود. روش به کار رفته در این اثبات صورتی از استقراء است که روش نزول نامتناهیفرما نامیده می شود. فرض کنیم (x1,y1,z1)یک جواب دلخواه معادله باشد که در آن z1>0 . فرض کنیم از این جواب بتوانیم جواب دیگری مانند(x2,y2,z2) استخراج کنیم که در آن0<z2<z1 . در این صورت،می توانیم جواب دیگری مانند(x3,y3,z3)استخراج کنیم که در آن .0<z3<z2<z1 ” آخرین قضیه ” معروف فرما :

16. ادامه این روش به یک تناقض منجر می شود، زیرا نمی توانیم دنباله ای به دلخواه طولانی از اعداد صحیح مابین 0 و z0 داشته باشیم. بنابراین،از ابتدا جوابی نمی توانسته وجود داشته باشد. تعریف:به هر معادله با یک یا چند متغیر که دامنه متغیرهای آن اعداد صحیح هستند،معادله سیاله گفته می شود. با توجه به اینکه نخستین کتاب در این زمینه کتاب علم حساب دیوفانتوس یا دیوفانت است،معادله سیاله را معادله دیو فانتوس یا دیوفانتی می نامند.

17. معادله دیوفانتی x4+y4=z2 جوابی بر حسب عددهای مثبت x,y,z ندارد. برهان خلف : فرض می کنیم جواب مثبت x0 و y0 و z0موجود باشند بدون کاستن از کلیت مسئله فرض می کنیم که 1=(gcd(x0, y0حال داریم + (y0²)² = z0² x0²)²( ملاحظه می کنیم که که x0²و y0²و z0در شروط سه تایی فیثاغورسی اولیه صدق می کنند. قضیه فرما :

18. با زوج اختیار کردن x0²عددهای صحیح متباین s>t>0وجود دارند به طوری که x0² = 2st y0 ² = s² - t² z0 = s² + t² و فقط یکی ازsو t زوج است .اگر s زوج باشد، داریم: ≡1y0 ² = s² - t²3≡0-1 ≡(به پیمانه 4) که ممکن نیست.پس sفرد و در نتیجه t زوج است. ادامه برهان:

19. در نتیجه داریم: با توجه به لمی از قبل حاصلضرب دو عدد متباین فقط وقتی مربع کامل است که هر یک از آن دو مربع کامل باشد.r= w1 ² وs= z1 ² در نتیجه t²+ y0 ²= s² 1=gcd(s,t)در نتیجه :gcd(t, y0,s)=1 پس t=2uvوy0 =u²-v²و u²+v²s= ادامه برهان :

20. در نتیجه uv=t/2=r= w1 ² یعنی uو v هر دو مربع کامل هستند،بنابراین u =x12و v=y12 y14 +z1² = s=u² + v² =x14 داریم : 0 < z1 ≤ z12 = s ≤ s2 < s2+t2 = z0 با تکرار نامتناهی این فرآیند دنباله ی نامتناهی نزولی زیر از اعداد صحیح مثبت تولید می شود : z0>z1>z2>… و چون تعداد اعداد صحیح مثبت کوچکتر از Z0 متناهی است ، به تناقض می رسیم. ادامه برهان :

21. یک نتیجه مستقیم این قضیه چنین است: فرع:معادله x4+y4=z4درمجموعه عددهای صحیح مثبت جواب ندارد. اثبات:اگر z0 ,y0 ,x0جواب مثبتی از x4+y4=z4 باشد،آنگاهz02 ,y0 ,x0 در معادله x4+y4=z2 صدق می کند،واین با قضیه قبل سازگار نیست. یعنی x4+y4=z2 در مجموعه عددهای صحیح مثبتحل پذیر نیست.

22. به عنوان حسن ختام ، شایان ذکر است که کوشش های به عمل آمده برای اثبات حدس فرما بسیار بارور بوده است. ریاضیات جدیدی که پدید آمد ، مبانی نظریه ی جبری اعداد و نیز نظریه ی ایده آنها در جبر مجرد نوین را پایه ریزی کرد . این قضیه ، به عنوان مسئله ای ریاضی که درباره آن بیشترین تعداد اثبات های نادرست به چاپ رسیده است ، شهرت دارد ! بحث آخر :

23. 1)نظریه مقدماتی اعداد دیوید.ام.برتن 2)آشنایی با نظریه اعداد ویلیام دبلیو . آدامز ، لری جوئل گولدشتین منابع:

24. با تشکر از توجه شما