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3.2 電気回路のベクトル表示と ベクトル図

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3.2 電気回路のベクトル表示と ベクトル図. このテーマの要点 電圧、電流、電力、インピーダンスのベクトル表示 計算方法 ベクトル図の描き方 教科書の該当ページ 2.2 正弦波の複素数表示  [p.36] 2.3 インピーダンスベクトル  [p.40]. 電圧 :  E = | E | / 0 °. 電流 :  I = | I | / q. 基準ベクトル. 電圧、電流のベクトル表示. 電圧電流の瞬時値 e ( t ) = E m sin ( w t ) , i ( t ) = I m sin ( w t + q ).

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3.2 電気回路のベクトル表示とベクトル図
  • このテーマの要点
  • 電圧、電流、電力、インピーダンスのベクトル表示
  • 計算方法
  • ベクトル図の描き方
  • 教科書の該当ページ
  • 2.2 正弦波の複素数表示 [p.36]
  • 2.3 インピーダンスベクトル [p.40]
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電圧: E = |E|/ 0°

電流: I = |I|/ q

基準ベクトル

電圧、電流のベクトル表示
  • 電圧電流の瞬時値

e(t) = Emsin(wt), i(t) = Imsin(wt+q)

  • 電圧ベクトル、電流ベクトル
    • 大きさを実効値|E|, |I|、方向をt=0の初期位相qで表す
  • 定常状態を扱うので、電圧電流の相対的な関係が重要
  • 通常、電源電圧を基準ベクトル(偏角 0°)とする
  • 瞬時値は実効値と初期位相から逆算
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Em =R2 + (wL)2 Im j = tan-1(wL/R)

|Z|

ベクトル表示

オームの法則

Z = R + jwL

インピーダンスベクトル
  • RL回路で e(t) = Emsin(wt) のとき i(t) = Imsin(wt-j)

E = |E| / 0°,I = |I| /-j

Z = E/I = |E| / 0°/|I| /-j

= |E|/|I| /j= |Z| /j

  • 図よりインピーダンスベクトルは

Re{Z} = R, Im{Z} = wL

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ex ex ex

微分  積分

インピーダンスは

微積分とベクトル表示
  • RLC 直列回路において
  •  電流をi(t) = |I| /wt= |I|ejwtとすると

e(t) = Ri(t) + Ldi(t)/dt + (1/C)∫i(t)dt

= R|I|ejwt+L|I| jwejwt+(1/C)|I|(1/jw)ejwt

= {R+jwL+1/(jwC)}|I|ejwt

= Z|I|ejwt

  • sin,cosの微分:jw
  • sin,cosの積分: 1/(jw)
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=R2+{wL-1/(wC)}2 /tan-1{wL-1/(wC)}/R

|I|

例:RLC 直列回路
  • インピーダンスは
  • Z=R+jwL+1/(jwC)= R+j{wL-1/(wC)}

= |Z| /j

  • 電流は
  • I=E/Z=|E| / 0°/|Z| /j =|E|/|Z| /-j
  • 端子電圧は
  • ER=RI=R|I| /-j

電流と同相

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位相関係

EとIはjずれる

ERはIと同相

ELはIより90°進み

ECはIより90°遅れ

電圧の平衡条件

E=ER+EL+EC

ベクトル図

EL=jwLI

=wL / 90°|I| /-j

=wL|I|/ -j + 90°

電流より 90°進み

EC=-j/(wC)I

=1/(wC)/ -90°|I| /-j

=1/(wC)|I|/ -j -90°

電流より 90°遅れ

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(60+j80)

(4-j3)

240-j180+j320+240

=

=

(4+j3)

(4-j3)

42+32

共役複素数

例題 [p.36]
  • E = 60+j80(V), I = 4+j3(A)のとき、Zは?
  • 解法1
    • E = 60+j80 = 100 / 53.13°I = 4+j3 = 5 / 36.87°
    • Z = E/I = 100 / 53.13°/5 / 36.87°
    • = 20 / 16.26°(W)
  • 解法2
    • Z = E/I = (60+j80)/(4+j3)

= 19.2+j5.6 (W)

2 p 45 14
実効値

初期位相

f= 50(Hz), Im = 2 |I| = 3.1(A)

例題2 [p.45 (14)]
  • f=50(Hz), |E|=110(V), Z=30+j40(W)のとき、Iとi(t)は?

E=110 / 0°(V), Z=30+j40=50/ 53.13°(W)

基準ベクトル

I = E/Z = 110/ 0°/50/ 53.13°

= 2.2/ -53.13°= 1.32-j1.76(A)

i(t) = Imsin(wt+j)

= 3.1sin(100pt-53.13°)(A)

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