ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ

1. u q FI Γ B B Γ h k VΒΑ VΓΔ A Δ l ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Η απλούστερη δυνατή μορφή ταλάντωσης μονοβάθμιου ταλαντωτή, είναι όταν η εξωτερική διέγερση f(t) και η απόσβεση c, είναι μηδενικές. Η ταλάντωση οφείλεται στην επιβολή, την χρονική στιγμή t = 0, αρχικής μετατόπισης u0ή/και αρχικής ταχύτηταςu’0, ενώ μετά την απομάκρυνση από την αρχική θέση ισορροπίας το σύστημα αφήνεται να ταλαντωθεί ελεύθερα.

2. A1T=1 sec U(0)=0.03m U'(0)=0 m/sec ξ=0

3. A2T=1 sec U(0)=0.03m U'(0)= +/- 0.1 m/sec ξ=0

4. A3T=1 sec U(0)=0.03 & 0.05m U'(0)= 0.03 m/sec ξ=0

5. A4T=1 & 0.5 sec U(0)=0.03 m U'(0)= 0 m/sec ξ=0

6. Η εξίσωση της ταλάντωσης είναι:m u’’(t) +ku(t) = 0 Η λύση της ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης 2ου βαθμού , είναιu(t) = Aert με χαρακτηριστική εξίσωση(mr2 + k) = 0 m,k >0  r2 <0 η οποία έχει ρίζες: r =  iω, όπου ω2 = k/m Από την ταυτότητα του Euler: e iωt= cos ωt  sin ωt,προκύπτει τελικά u(t) = R1 cos ωt+ R2 sin ωt = R sin(ωt+θ) Όπου R2 = R12 + R22και tan θ = R1/R2 Εξίσωση αρμονικής ταλάντωσης εύρους R και κυκλικής συχνότητας ω.

7. u(t) = R1 cos ωt+ R2 sin ωt u’(t) = R1 [-sin ωt]ω+ R2 [cos ωt]ω Oι συντελεστές R1και R2προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες u0και u’0, με τις σχέσειςR1 = u0, R2= u’0 /ω Γιατί?? Αντικαθιστώντας, η εξίσωση κίνησης παίρνει την μορφή: u(t) = u0cos ωt + u’0 /ω sin ωt • Κατά συνέπεια, η ελεύθερη ταλάντωση μονοβάθμιου συστήματος χωρίς απόσβεση είναι μία ΑΡΜΟΝΙΚΗ κίνηση της οποίας το, ΑΜΕΙΩΤΟ με την πάροδο του χρόνου, εύρος εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες, ενώ η συχνότητά της εξαρτάται τα μηχανικά του χαρακτηριστικά (μάζα και ακαμψία).

8. Για τον λόγο αυτό, η συγκεκριμένη συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται ελεύθερα ο μονοβάθμιος ταλαντωτής – ανεξάρτητα από το είδος της αρχικής του διαταραχής - ονομάζεται ιδιοσυχνότητα ωο του ταλαντωτή, ενώ ο χρόνος που απαιτείται για την εκτέλεση μιας πλήρους ελεύθερης ταλάντωσης, καλείται ιδιοπερίοδος Το. ωο = [k/m]1/2 (σε rad/s), To = 2π/ω0(σε s)

9. u’0 2 R u0 1 3 t(s) 5 R 4 To = 2π/ωο 4 1 2 3 5

10. Παράδειγμα 2.2 Αβαρείς στύλοι διατομής 30/30 cm. Στατική μεταφορική δύναμη fst = 174.75 kN, προκαλεί αρχική μετατόπιση u0.Κατόπιν το σύστημα αφήνεται να ταλαντωθεί ελεύθερα. Να υπολογισθούν η ιδιοπερίοδος, η θέση & η ταχύτητα του φορέα μετά παρέλευση χρόνου t = 0.5 s. Να ληφθούν: g = 10 m/s2και E = 25*109N/m2. 10 kN/m B Γ 3,0 m 5,0 m A Δ 10,0 m

11. ΛΥΣΗ (α) Μετατροπή μονάδων (σε kN-m). a = 30cm = 0.3m. Ε = 25*109 N/m2 = 25*106 kN/m2 (β) Υπολογισμός μάζας:w = q*L = 10*10 = 100 kNm = W/g = 100/10 = 10 kN*sec2/m = 10 tn (γ) Υπολογισμός δυσκαμψίας: k = kAB + kΓΔ. Η ροπή αδράνειας της κοινής τετραγωνικής διατομής είναι: I = a4/12 = 0.34/12 = 6.75*10-4 m4 kAB = 3*EI/h3 = 3*(2.5*107)*( 6.75*10-4) / 33 =1875 kN/mkΓΔ = 12*EI/h3 = 12*(2.5*107)*( 6.75*10-4) / 53 = 1620 kN/m Συνολικά, k = 1875 + 1620 = 3495 kN/m

12. (δ) Ιδιοσυχνότητα ω (rad/sec) – Ιδιοπερίοδος Τ (sec) ω = [k/m]1/2 = [3495/10]1/2 = 10.69 rad/sec T = 2π/ω = 0.336 sec (ε) Αρχική μετατόπιση λόγω στατικού φορτίου u0 = Fst/k = 174.75/3495 = 0.05 m Αρχική ταχύτητα u’0 = 0 (στ) Εξίσωση ταλάντωσης -ταχύτητας: u(t) = u0cos ωt + u’0 /ω sin ωt = 0.05 cos 10.69t u’(t) = -0.05*10.69 sin 10.69t Για t = 0.5 sec u(0.5) = 0.0296 m, u’(0.5) = 0.431 m/sec ΠΡΟΣΟΧΗ  Γωνίες σε rad