第三章歐式股票選擇權的評價

第三章歐式股票選擇權的評價 Black and Scholes的模型財務工程呂瑞秋著

選擇權 • 選擇權有兩種：買權與賣權 • 賣權也是一種買賣契約，其擁有者(買入歐式股票賣權的人)在未來該賣權到期時，有權利以契約上約定的履約價格來賣出標的股票予發行者(賣出歐式股票賣權的人) • 買權的到期價值為Max(S T -K, 0) • 賣權的到期價值為Max(K-S T, 0) • S T：標的股票到期價格財務工程呂瑞秋著

韋納過程(Wiener process) • dwt = wt+dt-wt =ε(dt)1/2 dwt表示韋納過程在t時經過dt時間後的變化量或增量，ε為服從標準常態分配(standard normal distribution)的隨機變數 • 變化量或增量dwt與t時以前(含t時點)的韋納過程是不相關(馬可夫特性) • wt為平均數(mean)w0且變異數(variance)為t的常態分配財務工程呂瑞秋著

一般化韋納過程(generalized wiener process) • dxt = xt+dt-xt = μdt +σdwt • xt的分配為平均數x0+μt，變異數為σ2t的常態分配財務工程呂瑞秋著

幾何布朗運動 • dSt = St+dt-St = μS t dt +σS t dwt • St服從對數常態分配(lognormal distribution) • 投資股票的平均報酬率與持有時間同步增加，而投資風險，若以標準差來衡量，與持有時間的平方根同步增加財務工程呂瑞秋著

伊藤過程(Ito process) • dyt = yt+dt-yt = μ(y t ,t) dt +σ(y t ,t) dwt • 具有馬可夫特性 • 韋納過程、一般化韋納過程與幾何布朗運動其實都是伊藤過程的特例 • 伊藤過程也常被稱為擴散過程(diffusion process) • 伊藤過程有一特性是，即使經某些特定條件下的函數轉換，仍然維持著伊藤過程的容貌。此即Ito’s lemma 財務工程呂瑞秋著

Ito’s lemma • 若yt是一個伊藤過程，其隨機微分式為： dyt = μ(y t ,t) dt +σ(y t ,t) dwt 而且F是y t與t的可微分(differentiable)的函數，則F(y t ,t)也是一個伊藤過程，其隨機微分式為：財務工程呂瑞秋著

Ito’s lemma的應用 • St服從幾何布朗運動財務工程呂瑞秋著

複製法 • 利用股票與買權(兩種風險資產)來合成銀行帳戶(無風險資產)以完成評價工作 • 由買進一單位股票衍生性商品與賣出單位的股票組合而成 • 組合的價值為財務工程呂瑞秋著

複製法(Cont) • 又 • 結合以上可導出著名的Black-Scholes-Merton微分方程式 • 此微分方程式加上買權的邊界條件可解出著名的Black-Scholes公式 • 複製法在文獻上也稱為PDE法財務工程呂瑞秋著

Black-Scholes買權公式 財務工程呂瑞秋著

買賣權等價關係(Put-Call Parity) • Ct代表買權價格，Pt代表賣權價格財務工程呂瑞秋著

Black-Scholes賣權公式 財務工程呂瑞秋著

風險中立評價法 • 計算被評價資產在風險中立世界下未來現金流量的期望值後，再以無風險利率折現即得該資產之現值 • 風險中立評價法其實是平賭方法(Martingale approach)的一個特例財務工程呂瑞秋著

風險中立世界股價的隨機過程 • 運用Girsanov 定理作機率測度的改變(probability measure change) λ=(μ-r)/σ 財務工程呂瑞秋著

買權的評價方程式 財務工程呂瑞秋著

影響歐式選擇權價值的因素 財務工程呂瑞秋著

選擇權的財務特性 • 可由買進標的股票與賣出零息債券組合而成 • 若股價上漲1%，則買權價值會上漲超過1% • 標的股價與履約價格同時增加一倍，買權或賣權價值也隨之增加一倍 • 當標的股價為0時，歐式買權的價值也是0 • 歐式買權的價值不會超過標的股價 • 美式買權在股票無現金股利下，持有者是不會提前執行。但是，美式賣權就有可能提前執行財務工程呂瑞秋著

Black and Scholes模型後續的研究 • 資產價格服從其他隨機過程 • 隨機利率下的Black and Scholes模型 • 其他商品的選擇權 • 美式選擇權 • 數值方法 • 新奇選擇權財務工程呂瑞秋著

第三章 歐式股票選擇權的評價