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如何在數學課堂 培養學生的解難能力

如何在數學課堂 培養學生的解難能力. 鄭振初先生 香港教育學院數社科技學系高級講師. 動物也解難 不知甚麼時候，一隻想吃硬殼果的猴子，把這些果子放在馬路上讓汽車碾過，於是，它便不用自己想辦法打開硬殼果。 這是一個最原始的解難過程和要求：用 工具和發現。 而發現的最重要動力是動機 ( 例如吃，玩 ，好奇 ) 。. 英國 Cockroft 報告 解難需要合適數學問題 老師要數學能力 用不同的教學方法 這是 1982 年的報告，接近四份一個世紀。 這樣多的奧數比賽，天才數學，世界 XX 數， 今天座談會還可以談甚麼 ?.

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如何在數學課堂 培養學生的解難能力

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  1. 如何在數學課堂培養學生的解難能力 鄭振初先生 香港教育學院數社科技學系高級講師

  2. 動物也解難 • 不知甚麼時候，一隻想吃硬殼果的猴子，把這些果子放在馬路上讓汽車碾過，於是，它便不用自己想辦法打開硬殼果。 • 這是一個最原始的解難過程和要求：用 工具和發現。 • 而發現的最重要動力是動機(例如吃，玩 ，好奇)。

  3. 英國 Cockroft 報告 解難需要合適數學問題 老師要數學能力 用不同的教學方法 這是1982年的報告，接近四份一個世紀。 這樣多的奧數比賽，天才數學，世界XX數， 今天座談會還可以談甚麼?

  4. 數學解難的目的是數學能力，體現在以下 4點 • 興趣 • 數學知識(不是解題) • 數學方法和思考 • 數學結構

  5. Polya 的解難「四步曲」(1945) • 理解 • 想過程 • 解決 • 回顧

  6. Mason、Burton、Stacey 的建議 • Entry (特殊和一般化) • Attack (說服自己，說服朋友，說服敵人) • Review (檢查，推演)

  7. 克魯捷茨基有關數學能力的四組討論： • information gathering, 理解資料 • information processing, 處理資料 • information retention, 存留資料 • typology 對應

  8. 2006年的 Fields Medal 得獎者 Terrence Tao 的自述。 "I don't have any magical ability," he said. "I look at a problem, and it looks something like one I've already done; I think maybe the idea that worked before will work here. When nothing's working out; then I think of a small trick that makes it a little better, but still is not quite right. I play with the problem, and after a while, I figure out what's going on.

  9. "It's not about being smart or even fast," Tao added. "It's like climbing a cliff; if you're very strong and quick and have a lot of rope, it helps, but you need to devise a good route to get up there. Doing calculations quickly and knowing a lot of facts are like a rock climber with strength, quickness and good tools; you still need a plan. That's the hard part and you have to see the bigger picture."

  10. 不是人人都是 Field Medal 得主。一位數學家 Derek Holton 這樣描述他的解題： • 第一步是找一個有趣的問題。 • 第二步是非正或地探究一下問題，不必很有結構。 • 第三步是由資料所得的規律，作出猜測和假定。 • 第四步是運用一些已知的策略證明或否定這些理論。

  11. 第五步運用技巧解部份問題。 • 第六步是推廣實，看看能學些甚麼。 • 第七步是出版。 • 第八步是回到第一步。

  12. 數學是非旁觀者的感覺 • 數學的最基本要求是思考 • 課堂上的「解難」應該是多探究

  13. 數學思考內容有三個可能。 • 第一個是學生能由一些概念發現新概念或者算式。例如能加法看出兩位的乘法，包括解簡單應用題。 • 第二是能由課程內容探討數學結構。

  14. 第三是解難。解難有三個不知道的內容 ~ 第一個不知道的是用甚麼方法。 ~ 第二個不知道的是用甚麼數學內容。 ~ 第三個不知道的是方向和是否有結果。 • 不過一般解難的題目是預定有答案或結果的。

  15. 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (3 × 2 × 1) × (5 × 4 × 3 × 2 × 1) 由左上角A至右下角B有多少種不同的行法。不能回頭，只能向下或向右。 B 答案是 = 56。 這是解題答案，而沒有「解難」。

  16. 引導式解難 問題1： 問題2： 問題3： 2 種方法 2+1 = 3 種 3+1 = 4 種

  17. A A A B B P B 問題1： 問題2： 問題3： 3 種方法 3+3 = 6 種 6+4 = 10 種

  18. 由上題而變題 由 1 至 7 有多少種不同的行法? (每次只能行至相連的六角形) 6 2 4 1 3 5 7

  19. 1 … ＋ ＋ ＋ ＋ 1 1 1 1 × 2 2 × 3 3 × 4 100 × 101 看規律是很多書本提議的解難方式 計算

  20. 1 1 … = ＋ 。 ＋ ＋ ＋ 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 = + 。 1 × 2 1 × 2 1 × 2 1 × 2 2 × 3 2 × 3 2 × 3 3 3 × 4 3 × 4 9 3 + + = = 。 100 × 101 12 4 100 ＝ 101 解題過程： 因為有 「猜答案」

  21. 1 1 1 1 1 1 … ＋ ＋ ＋ ＋ 3 4 2 2 3 ( 1 - ) + ( - ) + ( - ) + … + ( - ) ＝ 1 1 1 1 × 2 2 × 3 3 × 4 1 1 ＝ 100 101 100 × 101 100 101 用數式分柝的方法找答案 。

  22. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … ＋ ＋ ＋ ＋ 3 2 2 4 5 2 3 2 3 2 5 3 4 2 2 = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + 1 1 1 … + ( - ) 1 × 3 2 × 4 3 × 5 …+ ( - ) + ( - )] = [(1 - ) + ( - ) + ( - ) + 100 × 102 1 1 1 1 1 1 99 100 101 100 101 102 分柝還可以考慮以下的結構

  23. 手表 • 把一隻手表所有的零件組合起來，也不會保証這是一只會行的手表，更不要說能準確運行。 • 把解難的技巧組合不一定得出答案。

  24. 解難的三個元素 • 一般常規解難方法 • 數學內容和表達 • 認知之道，認知方法

  25. 一般 ( 常規 ) 的解難方法，策略和 技巧，分析 ( 所謂 generic skills ) 解難的策略可以很多，以下一些可能策略 • 試誤 • 繪圖 • 尋找規律 • 由尾做起，倒算 • 列表，分成不同的情況來考慮 • 運用邏輯推理 • 簡化問題 • 利用方程式 • 做一個類似的問題 • 以實物模擬 • 類比 • 歸納 • 利用極端例子 • 反証法 • 一般化 • 利用對稱，奇偶分析

  26. 小學生一般用得的方法是 • 試誤 • 逆算 • 圖形 • 規律

  27. 數學知識在解難過程中的關鍵作用 問題： 一個整數 A 的各個數字之和是 16，另一個整數 B 的數字和是 26。這兩個數相加時會進位 3 次。 A+B 的各個數字和是多少?

  28. 答案是 26 + 16 – 9 – 9 – 9 = 15。 結構 每進一次位，數和減少 9。 例如 38 + 27 = 65。 個位進位時，數和少了 10，十位多了 1。 所以進一次位數和減少 10 – 1 = 9。 進三次位數和便少了27。

  29. 以試誤為例，沒有整的數學知識，難以解以下問題：以試誤為例，沒有整的數學知識，難以解以下問題： 問題： 有一個 5 位數，A123B，它能被 8 整除，這個數是多少?

  30. 3 3 5 8 8 7 7 12 21 21 ， ， 。 < < 。 35 33 34 84 84 84 問題： 填上適當的分數。 < < 。 知識 1 擴分得出

  31. 3 3 8 8 7 7 21 21 如果沒有分數的概念，由試誤不能完成問題。 8 + 3 < < 。 21 + 7 11 < < 。 28 知識 2 把兩個分數的分子相加，分母相加。 新的分數一定是兩個分數之間。 所以

  32. 2 3 1 把圓形的兩個數相加，答案寫在方格內。

  33. 5 7 4 把方格的數字寫成兩個數相加，答案填入圓形內。

  34. 4 A 1 3 B C A+B 5 A+C 7 B+C 4 結構(代數的功能) 2A = (A+B) + (A+C) – (B+C) 2A = 5 + 7 – 4 = 8

  35. 在下的 6 個圓形內填入數字 1 至 6，要每邊的數和相同。

  36. 1 6 6 1 5 2 2 5 4 3 3 4 分析 1 1至6之和是 21。所以角點的3個圓形數和一定是3的倍數。 分析 2 給出左面的答案，可以推出右面的答案。

  37. 推演問題 用 1 至 7 的數字，填入圓內，要每邊數和相同。

  38. 6 5 4 2 1 7 3 由於 1 至 7 的數和是 28。 三個角點的數和應為 8，11，14… 一個答案

  39. 推演問題 用 1 至 8 的數字，填入圓內，要每邊數和相同。

  40. 6 1 2 3 5 7 4 8 1 至 8 的數和是 36。所以3個角點的數和是 3 的倍數。 一個答案

  41. 推演問題 用 1 至 8 的數字，填入圓內，要每邊數和相同。

  42. 5 8 7 3 1 2 6 4 一個答案

  43. 一次過的解難問題 以下每一個英文字母代表一個數目字， 找出所有符合這些字母的等式。 一個答案

  44. 一次過的解難問題 解題之後，可能再把問題推演 新問題 一個答案

  45. 可以找尋規律的解難題 找出以下的A和B所代表的字。 問題： (3，2) (2，7) (1，2)

  46. 一步推算的問題 問題 2： 問題 1： 找出 B 和 C 所代表的數字 找出 A，B 和 C 所代表的數字 由問題 1 的答案，可以推算答題 2 的答案，A = 1。

  47. 問題 2 的答案是問題 1 的 2 倍。 問題 2： 問題 1： 找出 A 和 B 所代表的數字 找出 A 和 B 所代表的數字

  48. 問題 1 的答案是 16。 由於 78 比 48 大 30，所以問題 2 的答案是 26。 問題 2： 問題 1： 找出 A 和 B 所代表的數字 找出 A 和 B 所代表的數字

  49. A B C D E F G 選題原則 多答案的可能。 在以下的 A 至 G 中，填入 1、2、3、4、5、6、7 的數字， 使得每個大圓形的數字和(即是 4 個英文字母的數和)相同。

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