《 第25讲 点位真误差及点位误差 》

1. 《第25讲 点位真误差及点位误差》 主讲人：李海峰

2. 提纲： 一、点位真误差 二、点位误差 三、任意方向上的位差

3. 点在坐标平面中的位置是用一对平面坐标来确定的，由于观测存在误差，所以表征点位的坐标也存在误差，如图所示，在一个确定的坐标系中，A点点在坐标平面中的位置是用一对平面坐标来确定的，由于观测存在误差，所以表征点位的坐标也存在误差，如图所示，在一个确定的坐标系中，A点 是已知点，假定坐标不带误差，P 为待定点真实位置，P′为平差值 位置，其真位置和平差值位置坐标 分别是 ， 它们之间的差异 为 ， ,P′与P间距 离△P称为P点的点位真误差(真位差). 且 △x△y为真位差 在x轴和y轴方向上的两个位差分量。 一、点位真误差

4. 若△x△y的中误差分别为 且二者相互独立，则有 上式中 就是点P的点位方差， 是点P的点位中误差。 若将坐标系旋转一个角度，得出另一个新坐标系，在新坐标系中P点的点位真误差（真位差）是 ,仿照前面的公式P点的点位方差是 这说明，尽管点位真 误差△P在不同坐标系的两个坐 标轴上的投影长度不同，但点位 方差 总是两个互相垂直的方向 上的坐标方差之和，与坐标系的选 取无关。 一、点位真误差

5. 考虑到坐标系变化是随意的，所以结论为：点位方差 等于点位真误差在任意两个相互垂直方向上投影的方差之和。若设 是△P在AP方向的连线方向的投影值, 是与垂直方向的投影值,则有 ,根据误差传播定律可知 式中 分别称为纵向误差和横向误差。 工程实践中仅仅知道点位中误差是不够的，精密工程测量有时要研究任意方向的位差大小，这一般通过求待定点误差椭圆来实现，分析待定点在任意方向的位差，可形象全面而精确的分析点位精度。 一、点位真误差

6. 待定点的纵、横坐标的方差是按照下式计算的：待定点的纵、横坐标的方差是按照下式计算的： 点位方差是 其中 表示未知 参数协因数阵 主对角线上第的i个元素 实际工作中，由于样本容量有限，只能求 的估值 ，所以公式为 。 可见，只要求出Qxx、Qyy及单位权方差，即可求出点位误差。在间接平差法中，对于三角网通常以未知点坐标为参数，法方程系数矩阵的逆矩阵就是参数的协因数阵。例如有s个待定点时，未知数的协因数阵为： 二、点位误差

7. 二、点位误差 • 对角线上的元素是待定点坐标的权倒数，相关权倒数则在主权倒数连线的两侧。

8. 三、任意方向的位差 • 平差时，一般只求待定点坐标的中误差和点位中误差。点位中误差虽然可以用来评定待定点的点位精度，但是它却不能代表该点在某一任意方向上的位差大小。而前面提到的也都是在某些特定方向上的位差，不具有普遍性，在工程上经常关心任意方向上的位差问题。 • (1)用方位角表示任意方向的位差 • 如图所示P为待定点的真实位置， • P′为点经过平差所得到的位置， • 为了求P点在某一方向 上的位 • 差，需要先找出待定点在该方向

9. 三、任意方向的位差 • 的真误差 与纵坐标和横坐标的真误差△x、△y之间的函数关系，然后在求该方向上的位差。由图可知点位真误差PP′在 方向上的投影为 且有下式存在： • 应用协因数传播律得： • 待定点P在该方向上的位差为 • 若将上式的 用 来替换

10. 三、任意方向的位差 • 将以上两个式子相加，得 • 这再一次证明，任何一点的点位方差总等于两个互相垂直方向上的分量之和。注意到位置误差是相对其真实位置的，由于已知点间假定没有误差，所以P点真误差是P点相对已知点的真误差。 • 在众多位差权倒数(Qxx、Qyy…)必定存在极大值和极小值分别设为QEE、QFF,而相应的方向分别为 ,其中在 方向上的位差具有极大值，而在 方向上具有极小值，显然二者之差为90°。 • 利用线性代数中特征方程求特征根的方法求QEE、QFF等参数如下。

11. 三、任意方向的位差 • E、F分别代表位差的极大值和极小值，QEE、QFF分别代表极大值和极小值方向。

12. 三、任意方向的位差 • (2)用极值EF表示任意方向的位差 • 利用极值EF也可以表示任意方向的位差，若以 • E轴为坐标轴，计算任意方向 的位差，必须先 • 找出 之间的关系,再利用协因数传播 • 定律求 。仿照前面的求法可得 • 为两个极值方向的互协因数,其值为0.所以

13. 三、任意方向的位差 • 用E、F表示任意方向 的位差公式为

14. 【例25-1】 • 已知某平面控制网平差后点P的坐标协因数阵为： • 单位权方差 ，试求E、F和 • 解:

15. 谢 谢！