第一章初等积分法

第一章初等积分法 §1.1 微分方程与解 1.1.1 微分方程与解微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。通常分为常微分方程和偏微分方程。特点：历史悠久（与微积分同时诞生），应用广泛。

例1　受到空气阻力的自由落体运动。 t=0时自由下落，质量m，阻力与下落速度成正比。最后考虑的情形。　．．．图1-1

一些术语： 　　微分方程的阶。　　一阶隐方程: 　　一阶显方程: 　　微分形式的一阶方程: (1.9)和(1.10)可以互相转化，但是需要注意增解和失解。

阶显方程 阶隐方程阶线性微分方程　　问题: ,求满足的微分方程。解法：将关于求１到导数，联立消去参数即可。

补例　 1、求平面上一切圆所满足的微分方程； 2、求以定点为圆心的一切圆所满足的微分方程； 3、求半径为定长的一切圆所满足的微分方程。解：得 ,此即所求。此即所求。注意：此式有明显的几何意义。

此即所求。 注意：此式有明显的几何意义。

1.1.2　微分方程的解 定义1.1　如果且，则称是在区间上的一个解。验证解1--4。通解，特解，通积分，特积分。

1.1.3 初值问题 初始条件：一阶初值问题（柯西问题）阶初值问题先求通解，再由初始条件确定任意常数从而得初值解。

例2求解初值问题 前面已经验证通解为下略。 1.1.4 积分曲线 1.1.5 初等积分法无作业。

§1.2　变量可分离方程 ， 1.2.1 显式变量可分离方程的解法 1.设为常数。（不必讨论此种情形）

在 2.先设不是常数且，则是上的满足的解，是下述积分方程的解：，即显然有解，由此易知，，而由隐函数存在定理知，有通积分。 3.如果，则也是解。

例1 。例2 　例3 ，特解（。）通解

1.2.2微分形式变量可分离方程的解法 　　如果，则为解，如果，则为解。通解。

　求一曲线 ，使其具有如下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及轴围成等腰三角形（以轴为底边），且过点（1，2）。解：设，如图所示，　由题设有通解，由故得

注１：如果以 为底边，可得方程，可化为齐次或变量可分离方程，通解为注２：如果以为底边，可得方程可化为齐次或以为未知函数的线性方程，通解为 1.2），4），2.2），4），3，5。作业：

§1.3　齐次方程 1.3.1 齐次方程的解法。令

例1 。　．．．．．． 1.3.2第二类可化为变量可分离的方程显然有为齐次方程，再考虑

令时，当有唯一交点，满足，则（1.30）化为令

当时，不妨设，则，令，则，变量分离。　例2 。（亦为恰当方程。）

　一船从河边码头A点驶　　向对岸码头O点。设河宽水流速度为 , ，船的速度为。如果船总是朝着码头O点的方向　　　　　　前进，试求航线，并证明船能到　　　　达O点的充要条件是。解：如图所示，设为航线，　　，设船在速度为点的合　　　，则，，

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