刚体运动的描述

1. 刚体的定轴转动 • 刚体运动的描述 • 力矩 刚体定轴转动微分方程 • 定轴转动刚体的动能 动能定理 • 动量矩和 动量矩守恒定律

2. §5.1 刚体和刚体的基本运动 一. 刚体 体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。 二. 平动和定轴转动转动 刚体最简单的运动形式是平动和转动。 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线， 在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。

3. 1.刚体平动刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所质点的位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。1.刚体平动刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所质点的位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。 2.刚体转动刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。

4. d 复杂运动= 平动+ 转动

5. 3. 刚体的定轴转动 • 定轴转动： 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。

6. 角位移，角速度和角加速度均相同； 质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。质点的线速度，线加速度不一定相同. • 特点： 角位移 角速度 角加速度

7. p 0 x 角位移: • 刚体定轴转动的运动学 转动平面: 刚体上垂直转轴 的平面 坐标系如图：O 点是转轴 和平面的交点 转动方向逆时针方向为正 P 为刚体上的任一质点其角坐标可确定刚体在空间的位置 左式为定轴转动的运动方程 角坐标:

8. 角速度矢量 角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。 在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。 角速度矢量 角速度与转速的关系 角加速度:

9. O 。  。 O 定轴转动 （匀变速）各点速度、加速度与r 有关； (1)、角量与线量的关系： S = r  定轴 (2)、刚体绕定轴的匀变速运动

10. r a 例: 一条缆索绕过一定滑论拉动一升降机,滑论半径为 0.5m, 如果升降机从静止开始以 匀加速上升，求： (1) 滑轮的角加速度。 (2) 开始上升后,5 秒末滑轮的角速度 (3) 在这5 秒内滑轮转过的圈数。 (4) 开始上升后,1 秒末滑轮边缘上 一点的加速度(不打滑) 。 解:(1) 轮缘上一点的切向加速度与 物体的加速度相等

11. r a (2) (3) 圈 (4) 合加速度的方向与轮缘切线方向夹角

12. 对O 点的力矩： 沿Z轴分量为 对Z 轴力矩 §5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程 一. 力矩 转动平面

13. 转动 平面 只能引起轴的 变形, 对转动无贡献。 力不在转动平面内 注（1）在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。

14. （2） 是转轴到力作用线的距离，称为力臂。 转动 （3）对转轴的力矩为零， 平面 在定轴转动中不予考虑。 （4）在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。

15. 二. 刚体定轴转动定律 O’ ω 对刚体中任一质量元 -外力 -内力 O 应用牛顿第二定律，可得： 采用自然坐标系，上式切向分量式为：

16. 用 乘以上式左右两端： 设刚体由N个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N个方程左右相加，得： 根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：

17. 得到： 上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以J 表示。于是得到 刚体定轴转动定律 刚体定轴转动定律

18. 讨论： β 转动惯量是转动 （1） M 一定，J 惯性大小的量度； （2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正； （3）J 和质量分布有关； （4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。

19. m r r O dm 三、转动惯量 —— 表示刚体相对于确定转轴的特征的物理量 单位：kg m2 理论计算 例： 一质点对O点：J = m r 2 同样质量做成半径r的圆环，对中心轴 O

20. 转动惯量与转轴位置有关 刚体对任一轴的转动惯量 J, 等于对过中 心的平行轴的 转动惯量与二轴间的垂直距离 h 的平方和刚体质量的乘积之和。 决定转动惯量的大小的因素 转动惯量与质量分布有关 转动惯量与材料性质有关 转动惯量是描述刚体对轴转动惯性大小的物理量 平行轴定理:

21. dm 0 dm x dx 例 计算质量为 M , 长为 L 的均匀细杆的转动惯量 • 假定转轴通过杆中心并与杆垂直; • 假定转轴通过杆的端点与杆垂直。 解: 0 x dx

22. 实验验证转动定律: M一定: J J一定: M 圆 柱 m 圆 桶 m

23. N M Mg T mg 四、 刚体定轴转动定律的应用 例 图示,已知 M R m 求: 解:

24.  R T2 T1 a m2 m1 m1g m2g T2 T1 例. 物体 m1>m2，滑轮（R，m）。阻力 矩Mf ， 绳子质量忽略，不伸长、不打滑。 求重物的加速度及绳中张力 解： a Mf

25. 不计轴上摩擦、不计滑轮质量(Mf=0, m=0)

26. 应用刚体转动定律解刚体定轴体转动问题的方法和步骤如下：应用刚体转动定律解刚体定轴体转动问题的方法和步骤如下： 1、选取研究对象，采用隔离法，把研究对象从一切和它有牵连的其他物体中“隔离“出来。称之为隔离体。 2、选取坐标系，这是一个重要的步骤，坐标选取正确，可使运算简化。 3、分析受力情况，画出受力图。找出力矩。 4、列方程求解。根据坐标系分别写出研究对象的运动方程，用牛顿第二定律（对质点），和转动定律（对刚体）。方程采取投影式。还应写出必要的辅助方程。 5、讨论

27.  R r d e dr 例 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？ 解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。

28. 此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是 因m=eR2，代入得 根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度.

29. 设圆盘经过时间t停止转动，则有 由此求得

30. Oi §5.3 绕定轴转动刚体的动能 一、刚体的转动动能: 质点运动的动能: 刚体是由许多质点组成的, 第 小块质元的质量 其动能： 绕定轴转动刚体的总动能:

31. 力 对P点作功： 0 0‘ 二.力矩的功 力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。

32. 因 0 0‘ 力矩作功： 对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。

33. 则物体在 时间内转过角位移 时 三.定轴转动的动能定理 根据定轴转动定理 外力矩所做元功为： 总外力矩对刚体所作的功为：

34. 刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。

35. 对于一个不太大的质量为 的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。 五.刚体的重力势能 即： 质心高度为： 表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。

36. O  解 先对细棒OA所受的力作一分析；重力 作用在棒的中心点C，方向竖直向下；轴和棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支承力 垂直于棒和轴的接触面且通过O点，在棒的下摆过程中，此力的方向和大小是随时改变的。 A A G  例 一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA（如图），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。

37. 在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通过O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则是变力矩，大小等于mg(l /2) cos  ，棒转过一极小的角位移d 时，重力矩所作的元功是 在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是 应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角速度0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为 ，按力矩的功和转动动能增量的关系式得

38. 因 代入上式得 由此得 所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为

39. §5.4 动量矩和动量矩守恒定律 一. 质点的动量矩 质点对圆心的角动量

40. 行星在公转轨道上的动量矩

41. 定义：质点对点的角动量为 角动量大小 （面积） 角动量方向

42. （2） 方向的确定 讨 论 （1）质点对点的动量矩，不但与质点运动有关，且与参考点位置有关。

43. 3）做圆周运动时，由于 ，质点对圆心的动量矩大小为 方向不变 方向不变 方向不变 大小不变 大小不变 大小不变 质点对圆心O 的动量矩为恒量

44. 二. 质点动量矩守恒定律

45. v1 r 光滑的桌面上质量m的球以v1的速度作半径为r1的匀速圆周运动，实验中发现当穿过小孔的绳子将桌面上的绳子拉成r2时 表明小球对圆心的 角动量保持不变

46. 行星绕太阳的运动 表明行星在运动过程中，对太阳的角动量保持不变。

47. 对t 求导 质点的动量矩定理：如果作用在质点上的外力对某给定点 的力矩 为零，则质点对 点的角动量在运动过程中保持不变。这就叫做角动量守恒定律。

48. O 质元 对转轴 o 的动量距 。 。 O 三、刚体的动量距 大小： 方向： 刚体对转轴的动量距为: 定轴

49. 由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为 、 、…， 四、 定轴转动刚体的动量矩定理 刚体定轴转动定理： 则该系统对该轴的动量矩为： 对于该系统还有

50. 定轴转动刚体的角动量定理 在外力矩作用下，从 ， 动量矩 变为 ， 为 时间内力矩 M对给定轴 的冲量矩。 得 则由 动量矩定理的积分形式：