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１変数の関数と微分

１変数の関数と微分. 一変数の ( 実 ( 数値 )) 関数. 実数を一つ決めたとき、実数が一つ決まる 例　 x 2 -2 x +5 x : 変数 (variable). 線形関数. 鉛筆が一本 p 円で、 x 本買うと、 p x 円 x : 変数 (variable) とすると線形関数 a x と同じ 原点を通り傾きが p の直線 アフィン関数 (1 次関数 ) 最初 b 円持っていて、 p 円の鉛筆、 x 本買うと、残りは b - p x 円 切片が b で傾きが - p の直線. 変数とパラメータ.

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１変数の関数と微分

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  1. １変数の関数と微分

  2. 一変数の(実(数値))関数 • 実数を一つ決めたとき、実数が一つ決まる • 例　x2-2x+5 • x:変数(variable)

  3. 線形関数 • 鉛筆が一本p円で、 x本買うと、 p x円 x:変数(variable)とすると線形関数 a xと同じ 原点を通り傾きがpの直線 • アフィン関数(1次関数) 最初b円持っていて、p円の鉛筆、 x本買うと、残りは b-p x円 切片がbで傾きが-pの直線

  4. 変数とパラメータ • 鉛筆が一本p円で、 x本買うと、 p x円 pを変えると様々な関数になる。 このとき、 xが変数だとpはパラメータ • 何が変数で何がパラメータかは、文脈で決まる • 推測統計学のパラメータとは異なる。

  5. １変数の関数の例 線形関数、 アフィン関数、 多項式 有理関数

  6. べき(冪 )関数(power function)

  7. べき関数(つづき) xのm乗根 のn乗 極限を取る x>0,aは実数

  8. べき関数のグラフ x>0, 1>a>0右上がり、上に凸(凹関数) x>0,a>1右上がり、下に凸(凸関数)

  9. 反比例と直角双曲線 a=-1 反比例 グラフは直角双曲線 x>0, 0>a右下がり、下に凸・・直角双曲線(a=-1)と似た形

  10. 指数関数

  11. 指数関数 のグラフ a>1, 右上がり、下に凸 1>a>0, 右さがり、下に凸

  12. 普通の指数関数(exponential function) にとる(自然対数の底・ネピア数) 微分しても不変

  13. 対数関数(logarithmic function) • 普通の対数関数(自然対数)はa=e • 微分すると

  14. 片対数のグラフ 水準に関係なく、二倍になるのが同程度難しい経済変数(例　物価)の長期変動は、縦軸を対数にとったほうが分かりやすい 消費者物価指数(CPI) CPIの対数

  15. 対数関数の和と指数関数の積 自信がなくなったら、2とか3を入れて確認

  16. 逆関数(inverse function) が厳密に増加的あるいは厳密に減少的な関数 の逆関数

  17. 三角関数 (0,1)から円周上に計った弧の長さ 必要に応じて説明

  18. 関数の微分 • 関数(function) 実数を一つ決めると、実数が一つ決まる 写像(mapping)と同じ f(x),g(x)など 経済学では、 D(p):需要関数 定義域(domain) 有理式では、分母が0でない領域 対数関数やベキ関数では、正の実数 値の範囲が値域

  19. 連続関数 εｰδ式の定義

  20. εｰδ式の定義の例

  21. 開区間と閉区間 a<bの (a,b)aとbを含まない [a,b] aとbを含む (-¥,b)bより厳密に小さい実数の集合 Exteded real number ¥と-¥を含む 測度論で出てくる (-¥) +¥や¥/¥は、0/0のように定義できないようにすればいい(¥×0=0)

  22. 区間での連続 f (x)が (a,b)の各点で連続のとき f (x)は(a,b)で連続 (a,b]などのときは、片側の区間でいい

  23. 一様連続 • 普通の連続はεｰδ式で、 δが評価点に依存 • 評価点に依存しないで、区間で一定に取れれば一様連続

  24. 区間のいたるところ不連続な関数の例 • 有理数で1無理数で0をとる関数

  25. (ii)関数の微分(differentiation)

  26. 導関数 区間の各点で微分可能なら区間で微分可能 中に何が入っているか文脈で判断

  27. より一般的な議論 は∞、－ ∞を入れれば必ず存在 両者が一致して有限のとき 中括弧の中は、単調減少なので必ず極限がある

  28. 微分可能性と連続性 • 微分可能な関数は連続 • 導関数が連続な関数は連続微分可能 • 導関数が微分可能なときその微分が二階微分 • 二階微分が連続のとき二階連続微分可能 • 連続なのは、微分(導関数)のほう • このあたりだと、微分と積分が逆になるなど、だいたい都合のいい性質を持つ

  29. 主な微分公式 • 導くのは難しくないが略 • これと、積と合成関数の公式をくみあわせれば、いくらでも練習問題ができる。

  30. 積の微分 定理 f(x)と g(x)がある区間 (a,b)で微分可能であるとする。 h(x)=f(x)g(x)とするとh(x)は(a,b)で微分可能で h’(x)=f’(x) g(x)+ f(x)g’(x) • 「数学者の仕事は、定理(theorem)を証明する(prove)ことである」 • 定義(definition)を作ること? • 命題(proposition)・・定理とほとんど同じ • 補題(lemma)・・・主要な定理・命題の証明に使う小定理 • 系(Corollary) ・・・定理や命題からすぐに出る命題

  31. 積の微分の説明

  32. 積の公式の応用例

  33. (v)合成関数の微分 合成関数 h(x)=f(g(x)) xの値⇒ g(x)の値 ⇒ h(x)=f(g(x))の値 合成関数の微分の公式 h’(x)=f’(g(x)) g’(x) f’(g(x)) :導関数f’(・)にg(x) の値を入れる

  34. 合成関数の微分公式の説明

  35. 微分公式を使った例

  36. 商の微分の公式

  37. 対数微分

  38. 逆関数の微分

  39. 平均費用と限界費用 あるものをx作るのに必要な(総)費用 平均費用 限界費用

  40. 平均費用と限界費用(続き)

  41. x 生産量 平均費用と限界費用(続き2) 限界費用が平均費用より 大きい(小さい)ときは、 平均費用が右上がり(右下がり)、 限界費用と平均費用が等しいときは、 平均費用の傾きが0

  42. 中間値の定理、 [a,b],a<bでf (x)が連続、 min[f (a), f (b)] <c < max[f (a), f (b)] なら f (z)= cがスパッと成り立つzが一つとは限らないが存在する。

  43. 関数の極大極小 極大

  44. Rolleの定理

  45. 平均値の定理 fは微分可能

  46. 平均値の定理(序) aの近くでのf (x)の近似

  47. 平均値の定理 fは微分可能

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